Homomorphismes de groupes

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Énoncé du test

Soit $(G,\star)$ un groupe et soit $\mathcal{A}_{\text{bij}}(G)$ l'ensemble des applications bijectives de $G$ dans $G$. On définit une application $f$ de $G$ vers $\mathcal{A}_{\text{bij}}(G)$ de la façon suivante: $$\begin{eqnarray*} f\,:\, G & \longrightarrow & \mathcal{A}_{\text{bij}}(G)\\ a & \longmapsto & f(a) \doteq f_{a}\end{eqnarray*}$$ (le symbole $\doteq$ veut dire "... est définie par ...")
Telle que $f_{a}$ soit définie par: $$\begin{eqnarray*} f_{a}\,:\, G & \longrightarrow & G\\ x & \longmapsto & f_{a}(x)=a\star x\star a^{-1}\end{eqnarray*}$$ On a déjà montré que $f_{a}$ est un homomorphisme du groupe $(G,\star)$ vers lui-même (donc un endomorphisme), montrer maintenant que $f$ elle même est aussi un homomorphisme du groupe $(G,\star)$ vers le groupe $(\mathcal{A}_{\text{bij}}(G),\circ)$ [Essayez de faire cet exercice]

Attention $f$ n'est pas la même application que $f_{a}$, $f_{a}$ est l'image de l'élément $a \in G$ par l'application $f$, cette image $f_{a}$ est elle-même une autre application, voila ce qui s'est passé: on a appliqué l'application $f$ sur un élément $a$ de $G$ et on a trouvé une application $f_{a}$, on définit cette dernière en l'appliquant sur un autre élément $x$ de $G$, elle nous donne alors aussi un élément de $G$.

Indications

Un homomorphisme du groupe $(G,\star)$ vers le groupe $(G',\Delta)$ est une application $f$ de $G$ vers $G'$ telle que: $$f(x \star y) = f(x) \Delta f(y)$$ pour tout $x$ et $y$ de $G$.
Dans notre cas, le premier groupe est noté de la même façon ($(G,\star)$), mais $(G',\Delta)$ représente le groupe $(\mathcal{A}_{\text{bij}}(G),\circ)$.

Correction du test

On veut montrer que c'est un homomorphisme de $(G,\star)$ vers $(\mathcal{A}_{\text{bij}}(G),\circ)$, on prend donc deux éléments $a$ et $b$ de $G$, et on regarde l'image de leur composition via $f$ qui est $f_{a\star b}$, si elle est égale à la composée des deux images (les deux applications) $f_{a} \circ f_{b}$ alors on pourra dire que c'est un homomorphisme. C'est à dire on doit montrer que: $$\forall (a,b) \in G^{2} : f_{a \star b} = f_{a} \circ f_{b}$$ Bien entendu, on ne peut pas travailler avec $f_{a}$ toute seule, car c'est une application, il faudra l'appliquer sur un élément $x$ de $G$: $$\forall (a,b,x) \in G^{3} : f_{a \star b}(x) = (f_{a} \circ f_{b})(x)$$ Démontrons donc cela: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,x)\in G^{3}\,:\, f_{a\star b}(x) & = & (a\star b)\star x\star(a\star b)^{-1}\\ & = & a\star b\star x\star b^{-1}\star a\text{ (car }\star\text{ est associative)}\\ & = & a\star(b\star x\star b^{-1})\star a\text{ (car }\star\text{ est associative)}\\ & = & a\star f_{b}(x)\star a\\ & = & f_{a}\left[f_{b}(x)\right]\\ & = & \left(f_{a}\circ f_{b}\right)(x)\end{eqnarray*}$$ Et ceci esr valable quel que soit $x$, donc: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b)\in G^{2},\,\forall x\in G\,:\, f_{a\star b}(x) & = & \left(f_{a}\circ f_{b}\right)(x)\\ \Longrightarrow\forall(a,b)\in G^{2},\,:\, f_{a\star b} & = & f_{a}\circ f_{b}\end{eqnarray*}$$

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