Applications linéaires et images

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• Exercice 1 Soit l'application $l$ définie par: $$\begin{eqnarray*} l:\;\mathbb{R}^{2} & \to & \mathbb{R}^{3}\\ (x,y) & \mapsto & l[(x,y)]=(x,2y,x+y)\end{eqnarray*}$$
  1. Vérifier que c'est une application linéaire
     
  2. Trouver l'image de la famille $E=\{(1,3),(-5,0),(6,-2),(0,1),(1,0)\}$
     
  3. Y a-t-il au moins un vecteur dont l'image est:
     • $(0,2,1)$
       
     • $(1,0,0)$
       
     • $(0,0,0)$
• Correction 1
  1. $l$ est linéaire car: $$\begin{eqnarray*} l[\alpha.(x,y)] & = & l[(\alpha.x,\alpha.y)]\\ & = & (\alpha.x,2.\alpha.y,\alpha.x+\alpha.y)\\ & = & (\alpha.x,\alpha.2y,\alpha.(x+y))\\ & = & \alpha.(x,2y,x+y)\\ & = & \alpha.l[(x,y)]\end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} l[(x,y)+(x',y')] & = & l[(x+x',y+y')]\\ & = & (x+x',2(y+y'),(x+x')+(y+y'))\\ & = & (x+x',2y+2y',(x+y)+(x'+y'))\\ & = & (x,2y,x+y)+(x',2y',x'+y')\\ & = & l[(x,y)]+l[(x',y')]\end{eqnarray*}$$
     
  2. Cherchons les vecteurs $(a,b)$ qui ont pour image:
     • $(0,2,1)$: $$\begin{eqnarray*} l[(x,y)]=(0,2,1) & \iff & (x,2y,x+y)=(0,2,1)\\ & \iff & \begin{cases} x=0\\ 2y=2 & \iff y=1\\ x+y=1 & \iff0+1=1\,\text{(vrai)}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ Donc le vecteur existe bien et c'est $(0,1)$
       
     • $(1,0,0)$: $$\begin{eqnarray*} l[(x,y)]=(1,0,0) & \iff & (x,2y,x+y)=(1,0,0)\\ & \iff & \begin{cases} x=1\\ 2y=0 & \iff y=0\\ x+y=0 & \iff1+0=0\,\text{(faux)}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ Le vecteur n'existe donc pas car on a trouvé une assertion logique fausse.
       
     • $(0,0,0)$: $$\begin{eqnarray*} l[(x,y)]=(0,0,0) & \iff & (x,2y,x+y)=(0,0,0)\\ & \iff & \begin{cases} x=0\\ 2y=0 & \iff y=0\\ x+y=0 & \iff0+0=0\,\text{(vrai)}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ Donc le vecteur nul a comme image le vecteur nul.
• Exercice 2 Soit l'application projection sur $OYX$ (appelée parfois projecteur) définie par: $$\begin{eqnarray*} g:\,\mathbb{R}^{3} & \to & \mathbb{R}^{3}\\ (x,y,z) & \mapsto & g[(x,y,z)]=(x,y,0)\end{eqnarray*}$$
  1. Est-elle linéaire?
     
  2. Trouver le noyau et l'image de cette application ainsi que leur dimensions.
     
  3. Est-elle injective?
• Correction 2 Voila l'action du projecteur sur un vecteur $(x,y,z)$:
  
  
  1. Le projecteur est linéaire car: $$\begin{eqnarray*} g[\alpha.(x,y,z)] & = & g[(\alpha.x,\alpha.y,\alpha.z)]\\ & = & (\alpha.x,\alpha.y,0)\\ & = & (\alpha.x,\alpha.y,\alpha.0)\\ & = & \alpha.(x,y,z)\end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} g[(x,y,z)+(x',y',z')] & = & g[(x+x',y+y',z+z')]\\ & = & (x+x',y+y',0)\\ & = & (x+x',y+y',0+0)\\ & = & (x,y,0)+(x',y',0)\\ & = & g[(x,y,z)]+g[(x',y',z')]\end{eqnarray*}$$
     
  2. Le noyau est: $$Ker(g)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}/g[(x,y,z)]=(0,0,0)\}$$ $$\begin{eqnarray*} g[(x,y,z)]=(0,0,0) & \iff & (x,y,0)=(0,0,0)\\ & \iff & \begin{cases} x=0\\ y=0\end{cases}\end{eqnarray*}$$ Donc: $$\begin{eqnarray*} Ker(g) & = & \{(0,0,\alpha)/\alpha\in\mathbb{R}\}\\ & = & ZZ'\end{eqnarray*}$$ Le noyau est une droite donc sa dimension est 1. L'image est: $$Im(g)=\{(X,Y,Z)\in\mathbb{R}^{3}/(X,Y,Z)=g[(x,y,z)]\;,(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\}$$ $$\begin{eqnarray*} (X,Y,Z)=g[(x,y,z)] & \iff & (X,Y,Z)=(x,y,0)\\ & \iff & \begin{cases} X=y\\ Y=y\\ Z=0\end{cases}\end{eqnarray*}$$ Le vecteur $(a,b)$ doit balayer (prendre toutes les valeurs possibles de) $\mathbb{R}^{2}$ c'est à dire que $a$ et $b$ doivent balayer tout les deux $\mathbb{R}$, l'image est donc: $$\begin{eqnarray*} Im(g) & = & \{(\alpha,\beta,0)/\alpha,\beta\in\mathbb{R}\}\\ & = & OYX\end{eqnarray*}$$ L'image est un plan donc sa dimension est 2.
     On remarque que le théorème de la dimension est vérifié: $$\overset{dim(\mathbb{R}^{3})}{3}\overset{=}{=}\overset{dim(Ker(g))}{1}\overset{+}{+}\overset{dim(Im(g))}{2}$$
     
  3. Pour qu'elle soit injective il faut que j'ai toujours: $$g[(x,y,z)]=g[(x',y',z')]\Longrightarrow(x,y,z)=(x',y',z')$$ Mais cette implication n'est clairement pas vérifiée comme on peut le voir avec un contre-exemple: $$g[(2,3,4)]=g[(2,3,5)]=(2,3,0)\not\Longrightarrow(2,3,4)=(2,3,5)$$
• Exercice 4 Soit l'application: $$\begin{eqnarray*} T:\mathbb{R}^{3} & \to & \mathbb{R}^{3}\\ (x,y,z) & \mapsto & T[(x,y,z)]=(x+2y-z,y+z,x+y-2z)\end{eqnarray*}$$ Trouver des bases pour le noyau et l'image de $T$ et vérifier le théorème de dimension.
  
• Correction 4 On commence toujours par chercher le noyau, car sa recherche est plus simple que celle de l'image, et sa dimension va nous indiquer quelle sera la dimension de l'image (via le théorème de dimension) donc va nous donner un indice sur l'espace qui représentera l'image: $$ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}/T[(x,y,z)]=(0,0,0)\}$$ $$\begin{eqnarray*} T[(x,y,z)]=(0,0,0) & \iff & (x+2y-z,y+z,x+y-2z)=(0,0,0)\\ & \iff & \begin{cases} x+2y-z=0 & \text{(1)}\\ y+z=0 & \text{(2)}\\ x+y-2z=0 & \text{(3)}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ Ici on s'attend a pouvoir trouver les trois inconnus $x$,$y$ et $z$ car on a trois inconnus avec trois équations, mais ce n'est pas le cas, car on remarque que l'équation (2) est en faite "cachée" dans les deux équations (1) et (3): $$\text{(1)-(3)}\iff x+z=0\iff\text{(2)}$$ Donc c'est comme si on n'avait que deux équations pour trois inconnus, la méthode à suivre est donc de laisser un des inconnus libre ($z$ par exemple) et trouver $x$ et $y$ en fonction de ce paramètre libre: $$\begin{eqnarray*} \text{(2)} & \Rightarrow & \beta=-\gamma\\ \text{(3)} & \Rightarrow & \alpha=3\gamma\end{eqnarray*}$$ On a donc trouver deux équations qui lient $x$, $y$ et $z$.
  Une équation qui lie $x$, $y$ et $z$ définie un plan dans l'espace $\mathbb{R}^{3}$, si on a deux telles équations, cela veut dire qu'elle définissent l'intersection entre ces deux plans, donc une droite, le noyau de $T$ est donc une droite définie par ces deux équations: $$ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}/y=-z\,,\, x=3z\}$$ Cherchons maintenant une base pour $ker(T)$: Soit $(\alpha,\beta,\gamma)\in \mathbb{R}^{3}$ on a alors la relation suivante entre ses composantes: $$\begin{eqnarray*} \beta & = & -\gamma\\ \alpha & = & 3\gamma\end{eqnarray*}$$ On peut donc l'écrire sous la forme: $(3\gamma,-\gamma,\gamma)$, un tel vecteur se décompose sur un base: $$(3\gamma,-\gamma,\gamma)=\gamma.(3,-1,1)$$ La base ne comporte donc qu'un seul vecteur, $Ker(T)$ est de dimension une. $$\mathcal{B}(ker(T))=\{(3,-1,1)\}\iff dim(ker(T))=card(\mathcal{B}(ker(T)))=1$$ Selon le théorème de dimension, on a déjà une idée sur ce que sera l'espace $Im(T)$, ce sera un plan car: $$\begin{eqnarray*} dim(Im(T)) & = & dim(\mathbb{R}^{3})-dim(ker(T))\\ & = & 3-1\\ & = & 2\end{eqnarray*}$$ La définition de l'image est: $$\begin{eqnarray*} (X,Y,Z)=T[(x,y,z)] & \iff & (X,Y,Z)=(x+2y-z,y+z,x+y-2z)\\ & \iff & \begin{cases} X=x+2y-z & \text{(1)}\\ Y=y+z & \text{(2)}\\ Z=x+y-2z & \text{(3)}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ On a déjà vu tout à l'heure que l'équation (2) est en fait "cachée" dans (1) et (3), et on sait que $Im(T)$ va être un plan, donc on devra trouver UNE SEULE équation qui lie $x$, $y$ et $z$, on va donc faire: $$\text{(1)-(3)-(2)}\iff X-Z-Y=(x+2y-z)-(x+y-2z)-(y+z)=0$$ Donc: $$Im(T)=\{(X,Y,Z)\in\mathbb{R}^{3}/X-Z-Y=0\}$$

Combinaisons linéaires et familles génératrices

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• Exercice 11 Soit $E=\{(2,1),(-3,1),(-1,1)\}$ une famille de $\mathbb{R}^{2}$. Peut-on exprimer $(1,2)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$? Même question pour un élément $(a,b)$ quelconque. Est-elle une famille génératrice? Est-elle une base?
  
• Correction 11 On écrit la combinaison linéaire: $$\begin{eqnarray*} (1,2)=\alpha(2,1)+\beta(-3,1)+\gamma(-1,1) & \iff & (1,2)=(2\alpha,\alpha)+(-3\beta,\beta)+(-\gamma,\gamma)\\ & \iff & (1,2)=(2\alpha-3\beta-\gamma,\alpha+\beta+\gamma)\\ & \iff & \begin{cases} 1=2\alpha-3\beta-\gamma & \text{...(1)}\\ 2=\alpha+\beta+\gamma & \text{...(2)}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ On remarque qu'on a 3 inconnus et seulement deux équations, on laisse l'un des inconnus comme paramètre libre (par exemple $\beta$) et on exprime les deux autres en fonction de ce paramètre: $$\text{(1)+(2)}\Longrightarrow3=3\alpha-2\beta\iff\alpha=1+\frac{2}{3}\beta$$ $$\begin{eqnarray*} \text{(2)}\Longrightarrow\gamma & = & 2-\alpha-\beta\\ & = & 2-1-\frac{2}{3}\beta-\beta\\ & = & 1-\frac{5}{3}\beta\end{eqnarray*}$$ Donc il suffit de choisir une valeur pour $\beta$ et on obtiendra un triplet $(\alpha,\beta,\gamma)$, ce qui veut dire qu'on peut écrire $(1,2)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$ en plus d'une infinité de manières. Voyons si c'est aussi le cas pour un élément $(a,b)$ quelconque: $$\begin{eqnarray*} (a,b)=\alpha(2,1)+\beta(-3,1)+\gamma(-1,1) & \iff & (a,b)=(2\alpha,\alpha)+(-3\beta,\beta)+(-\gamma,\gamma)\\ & \iff & (a,b)=(2\alpha-3\beta-\gamma,\alpha+\beta+\gamma)\\ & \iff & \begin{cases} a=2\alpha-3\beta-\gamma & \text{...(1)}\\ b=\alpha+\beta+\gamma & \text{...(2)}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ $$\text{(1)+(2)}\Longrightarrow a-b=3\alpha-2\beta\iff\alpha=\frac{a-b}{3}+\frac{2}{3}\beta$$ $$\begin{eqnarray*} \text{(2)}\Longrightarrow\gamma & = & 2-\alpha-\beta\\ & = & 2-\frac{a-b}{3}-\frac{2}{3}\beta-\beta\\ & = & 2-\frac{a-b}{3}-\frac{5}{3}\beta\end{eqnarray*}$$ On peut alors toujours écrire $(a,b)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$, $E$ est donc une famille génératrice, mais est-elle une base? Pour être une base, il faut qu'elle soit une famille libre en plus d'être génératrice, voyons donc si elle est libre: [bientôt...]

Combinaisons linéaires

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• Exercice 9 Soit $E=\{(1,3),(-1,-2)\}$ une famille de $\mathbb{R}^{2}$. Peut-on exprimer $(2,0)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$? Même question pour une élément quelconque $(a,b)$ de $\mathbb{R}^{2}$. Que peut-on conclure?
  
• Correction 9 On écrit $(2,0)$ comme combinaison linéaire des éléments deux $E$ avec des coefficients inconnus et on cherche si ces coefficients existent:
  $$\begin{eqnarray*} (2,0)=\alpha(1,3)+\beta(-1,-2) & \iff & (2,0)=(\alpha,3\alpha)+(-\beta,-2\beta)\\ & \iff & (2,0)=(\alpha-\beta,3\alpha-2\beta)\\ & \iff & \begin{cases} 2=\alpha-\beta & \text{...(1)}\\ 0=3\alpha-2\beta & \text{...(2)}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ $$\text{3}\times\text{(1)-(2)}\iff6=-\beta\iff\begin{cases} \beta=-6\\ \alpha=2+\beta=-4\end{cases}$$ On a pu trouver $\alpha$ et $\beta$, donc $(2,0)$ peut être écrit comme combinaison linéaire des éléments de $E$: $$(2,0)=-4(1,3)-6(-1,-2)$$ On peut facilement vérifier que cette dernière relation est juste. Voyons maintenant si n'importe quel vecteur $(a,b)$ peut aussi l'être: $$\begin{eqnarray*} (a,b)=\alpha(1,3)+\beta(-1,-2) & \iff & (a,b)=(\alpha,3\alpha)+(-\beta,-2\beta)\\ & \iff & (a,b)=(\alpha-\beta,3\alpha-2\beta)\\ & \iff & \begin{cases} a=\alpha-\beta & \text{...(1)}\\ b=3\alpha-2\beta & \text{...(2)}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ $$\text{3}\times\text{(1)-(2)}\iff3a-b=-\beta\iff\begin{cases} \beta=b-3a\\ \alpha=2+\beta=2+b-3a\end{cases}$$ On voit donc que $\alpha$ et $\beta$ existent toujours quel que soit $(a,b)$, donc n'importe quel vecteur $(a,b)$ peut être exprimé comme combinaison linéaire des éléments de $E$. On dit alors que $E$ est une famille génératrice car à partir de elle ont construire n'importe quelle autre vecteur, autrement dit, générer tout l'espace vectoriel.
  
• Exercice 10 Soit $E=\{(4,6),(-6,-9)\}$ une famille de $\mathbb{R}^{2}$. Peut-on exprimer $(2,0)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$? Même question pour un élément quelconque $(a,b)$ de $\mathbb{R}^{2}$. Que peut-on conclure?
  
• Correction 10 On procède comme auparavant: $$\begin{eqnarray*} (2,3)=\alpha(4,6)+\beta(-6,-9) & \iff & (2,3)=(4\alpha,6\alpha)+(-6\beta,-9\beta)\\ & \iff & (2,3)=(4\alpha-6\beta,6\alpha-9\beta)\\ & \iff & \begin{cases} (2=4\alpha-6\beta) & \times3\\ (3=6\alpha-9\beta) & \times2\end{cases}\\ & \iff & \begin{cases} 6=12\alpha-18\beta\\ 6=12\alpha-18\beta\end{cases}\\ & \iff & 6=12\alpha-18\beta\end{eqnarray*}$$ On voit alors que les deux équations sont en fait une seule et unique, on se retrouve avec deux inconnus $\alpha$ et $\beta$ mais une seule équation à résoudre, le mieux qu'on puisse faire donc, c'est de laisser l'un des inconnus ($\beta$ par exemple) comme paramètre libre et faire sortir l'autre en fonction de ce paramètre libre. $$6=12\alpha-18\beta\iff\alpha=\frac{6+18\beta}{12}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\beta$$ Tout les couples $(\alpha,\beta)$ qui sont reliés par cette relation donc donnent $(2,3)$ comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille $E$, par exemple: $$\begin{eqnarray*} \beta=0\Longrightarrow\alpha=\frac{1}{2} & \iff & (2,3)=\frac{1}{2}(4,6)+0(-6,-9)\\ \beta=-1\Longrightarrow\alpha=-1 & \iff & (2,3)=-1(4,6)-1(-6,-9)\end{eqnarray*}$$ Donc la réponse est oui, on peut écrire $(2,3)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$, et en plus, d'une infinité de manières (tous les couples $(\alpha,\beta)$ qui satisfont la relation), voyons maintenant si c'est le cas pour un vecteur $(a,b)$ arbitraire: $$\begin{eqnarray*} (a,b)=\alpha(4,6)+\beta(-6,-9) & \iff & (a,b)=(4\alpha,6\alpha)+(-6\beta,-9\beta)\\ & \iff & (a,b)=(4\alpha-6\beta,6\alpha-9\beta)\\ & \iff & \begin{cases} (a=4\alpha-6\beta) & \times3\\ (b=6\alpha-9\beta) & \times2\end{cases}\\ & \iff & \begin{cases} 3a=12\alpha-18\beta & \text{...(1)}\\ 2b=12\alpha-18\beta & \text{...(2)}\end{cases}\\ \\\end{eqnarray*}$$ $$\text{(1)-(2)}\iff3a-2b=0\iff a=\frac{2}{3}b$$ On voit donc que le vecteur $(a,b)$ ne peut pas être n'importe lequel, mais doit être tel que la relation précédente soit satisfaite, on ne peut donc pas écrire n'importe quel vecteur $(a,b)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$; ce n'est pas une famille génératrice.

Sous-espaces vectoriels

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• Exercice 5 Est-ce que $\mathbb{Q}$ est un sous espace vectoriel de $\mathbb{R}$?
  
• Correction 5 On doit utiliser le théorème de caractérisation d'un sev, que j'ai déjà donné ici, dans ce théorème, on voit qu'on doit connaître sur quel corps on travaille, ce qui n'a pas été donné dans l'exercice, on va donc considérer les deux cas:
  • $\mathbb{R}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel: c'est à dire que les vecteurs sont des réels et les scalaires aussi
    
  • $\mathbb{R}$ est un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel: c'est à dire que les vecteurs sont des réels mais les scalaires sont des rationnels
  On commence donc:
  1. $\mathbb{R}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel
     
     • $\forall (v,v') \in \mathbb{Q} : v + v' \in \mathbb{Q}$ (toujours vérifiée)
       
     • $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall v \in \mathbb{Q} : \alpha . v \in \mathbb{Q}$ (pas toujours vérifiée exemple: $\sqrt{2}.v \not\in \mathbb{Q}$)
     On voit donc que $\mathbb{Q}$ est fermé sous l'addition vectoriel mais n'est pas fermé sous la multiplication par un scalaire, il ne peut donc pas être un sev de $\mathbb{R}$
  2. $\mathbb{R}$ est un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel
     
     • $\forall (v,v') \in \mathbb{Q} : v + v' \in \mathbb{Q}$ (toujours vérifiée)
       
     • $\forall \alpha \in \mathbb{Q}, \forall v \in \mathbb{Q} : \alpha . v \in \mathbb{Q}$ (toujours vérifiée)
     On voit donc que $\mathbb{Q}$ est fermé sous les deux opérations, l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire.
  Cet exercice confirme donc ce que j'ai déjà dénoncé, que dire: $E$ est un espace vectoriel. SANS préciser sur quel corps $\mathbb{K}$ il est défini est un manque d'information.
• Exercice 6 Est-ce que $\mathbb{R}$ est un sous espace vectoriel de $\mathbb{C}$?
  
• Correction 6 On doit utiliser le théorème de caractérisation d'un sev, que j'ai déjà donné ici, dans ce théorème, on voit qu'on doit connaître sur quel corps on travaille, ce qui n'a pas été donné dans l'exercice, on va donc considérer les deux cas:
  • $\mathbb{C}$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel: c'est à dire que les vecteurs sont des complexes et les scalaires aussi
    
  • $\mathbb{C}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel: c'est à dire que les vecteurs sont des complexes mais les scalaires sont des réels
  On commence donc:
  1. $\mathbb{C}$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel
     
     • $\forall (v,v') \in \mathbb{R} : v + v' \in \mathbb{R}$ (toujours vérifiée)
       
     • $\forall \alpha \in \mathbb{C}, \forall v \in \mathbb{R} : \alpha . v \in \mathbb{R}$ (pas toujours vérifiée exemple: $i.v \not\in \mathbb{R}$)
     On voit donc que $\mathbb{R}$ est fermé sous l'addition vectoriel mais n'est pas fermé sous la multiplication par un scalaire, il ne peut donc pas être un sev de $\mathbb{C}$
  2. $\mathbb{C}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel
     
     • $\forall (v,v') \in \mathbb{R} : v + v' \in \mathbb{R}$ (toujours vérifiée)
       
     • $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall v \in \mathbb{R} : \alpha . v \in \mathbb{R}$ (toujours vérifiée)
     On voit donc que $\mathbb{R}$ est fermé sous les deux opérations, l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire.

L.C.I: Loi de composition interne

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Les but des 4 parties principales de ce nouveau chapitre des espaces vectoriels sont:

1. Comment montrer qu'un ensemble $E$ muni de deux lois (l'une interne $+$ appelée addition vectoriel et l'autre externe $.$ appelée multiplication par un scalaire) forme un espace vectoriel pour un certain corps $\mathbb{K}$, on dira alors que c'est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, abrégé en $\mathbb{K}$-ev. (généralement on prendra $\mathbb{K} = \mathbb{R}$)
   
2. Étant donné un $\mathbb{K}$-ev $E$, comment montrer qu'un sous ensemble $E'$ de $E$ forme lui aussi un $\mathbb{K}$-ev
   
3. Les éléments d'un $\mathbb{K}$-ev sont appelés vecteurs et ceux du corps $\mathbb{K}$ scalaires, avec ceci, savoir comment écrire un vecteur en fonction d'autres vecteurs (avec des scalaires comme coefficients), c'est ce qu'on appelle une combinaison linéaire
   
4. Et enfin savoir détecter si une famille de vecteurs peut être suffisante pour écrire tout autre vecteur (on dit qu'elle génère le $\mathbb{K}$-ev ou que c'est une famille génératrice), et si c'est le cas, savoir s'il n'existe pas de vecteurs dépendants entre eux dans cette famille (on dit que tout les vecteurs sont indépendants ou qu'ils ne sont pas liés), si c'est le cas on l'appellera base du $\mathbb{K}$-ev

Vous avez déjà eu affaire à des $\mathbb{R}$-ev: $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^{2}$ et $\mathbb{R}^{3}$ sont tous de $\mathbb{R}$-ev, vous aviez l'habitude de représenter les éléments de ces $\mathbb{R}$-ev par des segments de droite, qui sont orientés et qui ont une longueur, c'est ainsi alors que vous imaginiez un vecteur. Maintenant, l'ensemble $E$ peut être absolument n'importe quoi: un ensemble de fonctions, un ensemble d'ensembles, ...etc, il faudra alors pouvoir imaginer une fonction ou un ensemble comme un vecteur! et abandonner cette idée qu'un vecteur ne peut être représenté que par une flèche. Maintenant, les définitions qui nous permettent de faire ces déductions:

1. Un ensemble $E$ muni de deux lois de composition, l'une interne notée $+$ et appelée addition vectorielle: $$\begin{eqnarray*} +:E\times E & \Longrightarrow & E\\ (v,w) & \Longrightarrow & v+w\in E\end{eqnarray*}$$ et l'autre externe notée $.$ et appelée multiplication par un scalaire: $$\begin{eqnarray*} .\,:\mathbb{K}\times E & \Longrightarrow & E\\ (\alpha,w) & \Longrightarrow & \alpha.w\in E\end{eqnarray*}$$ où $(\mathbb{K},+,.)$ est un corps, est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel (abrégé $\mathbb{K}$-ev) si les axiomes suivants sont vérifiés:
   1. $(E,+)$ est un groupe abélien
      
   2. $\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}^{2},\,\forall v\in E\;:\;(\alpha+\beta).v=\alpha.v+\beta.v$
      
   3. $\forall\alpha\in\mathbb{K}\,,\forall(v,w)\in E^{2}:\,\alpha.(v+w)=\alpha.v+\alpha.w$
      
   4. $\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}^{2},\,\forall v\in E\;:\;\alpha.(\beta.v)=(\alpha.\beta).v$
      
   5. $\forall v\in E\;:\;1_{\mathbb{K}}.v=v$
   où $1_{\mathbb{K}}$ est l'élément neutre par rapport à la deuxième loi de $\mathbb{K}$
2. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $E'$ un sous ensemble de l'ensemble $E$, alors $E'$ est appelé $\mathbb{K}$-sous-espace vectoriel de $E$ si lui-même est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. On peut montrer (voir cours) qu'il suffit simplement de vérifier les deux choses suivantes:
   1. $E'$ est fermé sous l'addition vectoriel, c-à-d: $$\forall(v,w)\in E^{2}:\,(v+w)\in E$$
      
   2. $E'$ est fermé sous la multiplication par un scalaire c-à-d: $$\forall\alpha\in\mathbb{K}\,,\forall v\in E:\,\alpha.v\in E$$
3. Une combinaisons linéaire d'un ensemble de vecteurs $\{v_{1},\,v_{2},\,v_{3},\,\dots\}$ du $\mathbb{K}$-ev $E$ est un autre vecteur $w$ de $E$ qui s'exprime ainsi: $$w=\alpha . v_{1}+\beta . v_{2}+\gamma . v_{3}+\dots$$ où $(\alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\dots)$ sont des scalaires (des éléments de $\mathbb{K}$)
   
4. Une famille (un ensemble) de $n$ vecteurs $\{v_{1},\, v_{2},\, v_{3},\,\dots,\, v_{n}\}$ du $\mathbb{K}$-ev $E$ est appelée famille génératrice de $E$ si tout vecteur $w$ de $E$ peut s'écrire comme combinaison linéaire de ces $n$ vecteurs. Si en plus tout les éléments de cette famille sont indépendants, on l'appelle base pour le $\mathbb{K}$-ev $E$. Pour montrer qu'ils sont indépendants il suffit de vérifier l'implication suivante: $$\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}+\dots+\alpha_{n}v_{n}=0\,\Longrightarrow\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\dots=\alpha_{n}=0$$

Quelques remarques:

• Il y a deux sortes d'addition ici, et deux sortes de multiplications, en effet il y'a l'addition vectorielle qui apparaît dans le groupe $(E,+)$ et l'addition des scalaires qui apparaît dans le corps $(\mathbb{K},+,.)$, aussi, il y a la multiplication par un scalaire qui compose un scalaire avec un vecteur $\alpha v$, et il y a la multiplication entre les scalaires qui apparaît dans $(\mathbb{K},+,.)$. Bien comprendre de quelle opération on parle dans les axiomes est primordiale pour la bonne compréhension de ce chapitre.
  PS: essayez de réécrire les axiomes en utilisant différentes couleurs pour les deux genres d'opérations qui s'écrivent de la même façon, vous verrez alors que ces axiomes ne sont pas du tout triviaux.
  
• Une remarque très importante qu'il faut dire, c'est qu'il ne faut jamais dire "espace vectoriel" tout court, mais préciser sur quel corps on travaille et dire "un $\mathbb{K}$-espace vectoriel" ou "un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$", si vous me demandez pourquoi, je peux vous donner une infinité de raisons:
  • L'ensemble $\mathbb{R}$ vu comme un $\mathbb{R}$-ev est de dimension $1$, mais vu comme un $\mathbb{Q}$-ev est de dimension infinie! Je vais y revenir quand on parlera de bases, mais pour linstant, voyez que ne pas préciser sur quel corps on travaille est une grave erreur!
• Il est facile de voir que la condition d'indépendance de la famille génératrice: $$\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}+\dots+\alpha_{n}v_{n}=0\,\Longrightarrow\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\dots=\alpha_{n}=0$$ est belle et bien équivalente à dire que tout les vecteurs sont indépendants, en effet, si l'implication n'arrive pas, c-à-d si il existe au moins un $\alpha_{p}$ qui ne soit pas nul, on pourra écrire:
  • Si il existe un seul $\alpha_{p}$ non nul on aura: $$\alpha_{p}v_{p}=0\Longrightarrow v_{p}=0$$ mais alors $v_{p}$ peut être écris en fonction des autres membres de la famille: $$v_{p}=0.v_{1}+0.v_{2}+0.v_{3}+\dots$$
    
  • Si il existe deux non nuls, $\alpha_{p}$ et $\alpha_{q}$ on pourra écrire: $$\alpha_{p}v_{p}+\alpha_{q}v_{q}=0\Longrightarrow v_{p}=\frac{\alpha_{q}}{\alpha_{p}}v_{q}$$ On voit alors que les deux vecteurs ne sont pas indépendants (on dit qu'ils sont colinéaires)
    
  • Ainsi de suite, on aura toujours un vecteur ou plusieurs qui seront dépendants d'un autre vecteur ou de plusieurs autres. Ainsi, la condition: $$\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\dots=\alpha_{n}=0$$ nous assurera que cela n'arrive jamais.

• Exercice 4 Montrer que l'ensemble $\mathbb{R}^{3}$ muni de la l.c.i $+$ et de la l.c.e $.$ définies comme suit: $$\begin{eqnarray*} (a,b,c)+(d,e,f) & = & (a+d,b+e,c+f)\\ \alpha.(a,b,c) & = & (\alpha.a,\alpha.b,\alpha.c)\end{eqnarray*}$$ est un $\mathbb{R}$-ev
  
• Correction 4 Il suffit de vérifier tout les axiomes qui définissent un $\mathbb{R}$-ev:
  1. $(\mathbb{R}^{3},+)$ est un groupe abélien car:
     • $+$ est commutative car: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,c),(d,e,f)\in(\mathbb{R}^{3})^{2}\,:\,(a,b,c)+(d,e,f) & = & (a+d,b+e,c+f)\\ & = & (d+a,e+b,f+c)\\ & = & (d,e,f)+(a,b,c)\end{eqnarray*}$$
       
     • $+$ est une l.c.i car: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,c),(d,e,f)\in(\mathbb{R}^{3})^{2}\,:\,(a,b,c)+(d,e,f) & = & (a+d,b+e,c+f)\\ & = & (d+a,e+b,f+c)\in\mathbb{R}^{3}\end{eqnarray*}$$ parce que $+$ est une l.c.i dans $\mathbb{R}$
       
     • $(0,0,0) \in \mathbb{R}^{3}$ est l'élément neutre car: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,c)\in\mathbb{R}^{3}\,:\,(a,b,c)+(0,0,0) & = & (a+0,b+0,c+0)\\ & = & (a,b,c)\end{eqnarray*}$$
       
     • $(-a,-b,-c) \in \mathbb{R}^{3}$ est le symétrique de $(a,b,c) \in \mathbb{R}^{3}$ car: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,c)\in\mathbb{R}^{3}\,:\,(-a,-b,-c)+(a,b,c) & = & (-a+a,-b+b,-c+c)\\ & = & (0,0,0)\end{eqnarray*}$$
       
     • $+$ est associative car: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)\in(\mathbb{R}^{3})^{3}:\\{} [(a,b,c)+(d,e,f)]+(g,h,i) & = & (a+d,b+e,c+f)+(g,h,i)\\ & = & ([a+d]+g,[b+e]+h,[f+c]+i)\\ & = & (a+[d+g],b+[e+h],f+[c+i])\\ & & \text{ (car +est associative dans }\mathbb{R}\text{ )}\\ & = & (a,b,c)+(d+g,e+h,c+i)\\ & = & (a,b,c)+[(d,e,f)+(g,h,i)]\end{eqnarray*}$$
  2. $$\begin{eqnarray*} \forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^{2},\,\forall(a,b,c)\in\mathbb{R}^{3}\;:\\ \;(\alpha+\beta).(a,b,c) & = & ([\alpha+\beta].a,[\alpha+\beta].b,[\alpha+\beta].c)\\ & = & (\alpha.a+\beta.a,\alpha.b+\beta.b,\alpha.c+\beta.c)\\ & = & (\alpha.a,\alpha.b,\alpha.c)+(\beta.a,\beta.b,\beta.c)\\ & = & \alpha.(a,b,c)+\beta.(a,b,c)\end{eqnarray*}$$
     
  3. $$\begin{eqnarray*} \forall\alpha\in\mathbb{R},\,\forall(a,b,c),(d,e,f)\in(\mathbb{R}^{3})^{2}\;:\;\\ \alpha.[(a,b,c)+(d,e,f)] & = & \alpha(a+d,b+e,c+f)\\ & = & (\alpha.[a+d],\alpha.[b+e],\alpha.[c+f])\\ & = & (\alpha.a+\alpha.d,\alpha.b+\alpha.e,\alpha.c+\alpha.f)\\ & & \text{(car . est distributive par rapport a +dans }\mathbb{R}\text{)}\\ & = & (\alpha.a,\alpha.b,\alpha.c)+(\alpha.d,\alpha.e,\alpha.f)\\ & = & \alpha.(a,b,c)+\alpha.(d,e,f)\end{eqnarray*}$$
     
  4. $$\begin{eqnarray*} \forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^{2},\,\forall(a,b,c)\in\mathbb{R}^{3}\;:\;\\ \alpha.[\beta.(a,b,c)] & = & \alpha.(\beta.a,\beta.b,\beta.c)\\ & = & (\alpha.[\beta.a],\alpha.[\beta.b],\alpha.[\beta.c])\\ & = & ([\alpha.\beta].a,[\alpha.\beta].b,[\alpha.\beta].c)\\ & & \text{(car . est associative dans }\mathbb{R}\text{)}\\ & = & (\alpha.\beta).(a,b,c)\end{eqnarray*}$$
     
  5. $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,c)\in\mathbb{R}^{3}\;:\;1.(a,b,c) & = & (1.a,1.b,1.c)\\ & = & (a,b,c)\end{eqnarray*}$$
  On a donc montré que tout les axiomes sont vérifiés.

Anneaux

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• Exercice 4 Montrer que dans un anneau $(A,+,.)$, pour tous éléments $a$ et $b$ on a:
  $a.0=0.a=0$
  $a.(-b)=(-a).b=-(a.b)$
  où $0$ est l'élément neutre de $+$, et que si $1$ est l'élément neutre de $.$ et $A\not=\{0\}$ on ne peut jamais avoir $1=0$.
  
• Corrigé 4 Avant de commencer, il faut bien comprendre que les symboles qu'on utilise ici $(+,.,0,1)$ ne sont rien de plus que des symboles, par exemple $+$ n'est pas la vraie addition même si on va par abus de langage continuer à l'appeler addition, $0$ n'est pas le nombre nul mais l'élément neutre de la loi qu'on a noté par $+$. Dans l'exercice précédant par exemple (l'anneau $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap))$ on a:
  $+ \doteq \Delta$
  $. \doteq \cap$
  $0 \doteq \emptyset$
  $1$ n'existe pas car l'anneau n'est pas unitaire
  Les preuves de ces propositions sont simples à comprendre mais plutôt difficiles à trouver, c'est pour cela que je vais donner en détail l'acheminement des idées qui vont nous amener à trouver ces preuves.
  Pour la première proposition, on voit qu'elle fait entrer en jeu la loi $.$ et l'élément $0$, la question qu'on doit se poser est donc: que savons-nous de ces deux objets quand on a affaire à un anneau?.
  La réponse est bien sûr:
  • On sait que $.$ est associative et distributive par rapport à $+$
    
  • On sait que $0$ est l'élément neutre de $+$
  Cela étant dit, on devra utiliser ces deux propriétés de façon combinée (car on se trouve dans une même équation), on voit que le lien entre les deux est l'opération $+$, donc on garde:
  • On sait que $.$ est distributive par rapport à $+$
    
  • On sait que $0$ est l'élément neutre de $+$
  On va donc montrer que $$a.0=0$$ Pour utiliser les deux propriétés citées plus haut on a besoin de faire apparaître la loi $+$ tout en gardant les éléments $a$ et $0$ présents, la seule façon de le faire est d'écrire: $$\begin{eqnarray*} a.0 & = & a.(0+0) \text{ (car 0 est element neutre de +)}\\ & = & (a.0)+(a.0) \text{ (car . est distributive par rapport a +)} \end{eqnarray*}$$ La question est donc maintenant, quel est l'élément $x=a.0$ qui vérifie: $$x=x+x$$ Le seul élément vérifiant cette propriété est bien sûr l'élément neutre de $+$ à savoir $0$, donc on a réussi à montrer que: $$a.0=0$$ On peut refaire la même chose pour montrer que $0.a=0$ Maintenant, pour montrer la deuxième proposition: $a.(-b)=-(a.b)$ il faudra montrer que $a.(-b)$ est le symétrique de $(a.b)$ (c'est bien ce que cette relation dit!), c'est à dire montrer que: $$[a.(-b)]+[(a.b)]=0$$ On va encore une fois utiliser la distributivité de $.$ par rapport à $+$ $$\begin{eqnarray*} [a.(-b)]+[(a.b)] & = & a.[(-b)+(b)]\\ & = & a.0\\ & = & 0\end{eqnarray*}$$ On a donc réussi à montrer qu'ils sont symétriques, la même chose peut être répétée pour montrer que (-a).b=-(a.b). Maintenant on pourrait imaginer que les deux éléments $0$ et $1$ puissent être égaux (on sait que ce n'est pas le cas pour l'anneau connu $(\mathbb{R},+,.)$ car les nombres $1$ et $0$ sont bel et bien différents), le but de la troisième question est de montrer qu'il est impossible que cela arrive, que $1\not= 0$ quel que soit l'anneau! La façon la plus simple de montrer qu'une proposition est fausse est de supposer qu'elle soit vraie et de montrer que ça nous mène vers une contradiction, donc supposons que $1=0$, voyons ce qu'il va arriver: $$\begin{cases} \forall a :& a.0=0\\ \forall a :& a.1=a\\ \forall a :& a.0=a.1\text{ (car 0=1)}\end{cases}\iff\forall a\,: a=0$$ On voit dont qu'on tombe sur une contradiction (tout les éléments de l'anneau sont l'élément neutre) sauf si l'anneau n'est constitué que de l'élément neutre $A=\{0\}$ ce qui a été écarté dans l'exercice ($A\not=\{0\}$).
• Exercice 5 Dans $\mathbb{Z}^{2}$, définissons une addition et une multiplication par les relations suivantes: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:\begin{cases} (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\\ (a,b).(c,d)=(a.c,b.d)\end{cases}$$
  1. Prouver que $\mathbb{Z}^{2}$ muni de ces deux lois est un anneau commutatif unitaire.
     
  2. Quels sont les éléments inversibles de cet anneau?
     
  3. Est-il intègre?
     
  4. Soit $H=\{(a,0),\,a \in \mathbb{Z}\}$, montrer que c'est un sous-anneau unitaire de $\mathbb{Z}^{2}$
     
  5. que remarquez vous?
• Indications pour la correction 5
  1. Pour que $(\mathbb{Z}^{2},+,.)$ soit un anneau commutatif unitaire on doit avoir:
     • $(\mathbb{Z}^{2},+,.)$ doit être un anneau c'est à dire:
       • $(\mathbb{Z}^{2},+)$ doit être un groupe abélien, c'est à dire
         • $+$ est commutative
           
         • $+$ est une l.c.i
           
         • $+$ admet un élément neutre
           
         • tout les éléments de $\mathbb{Z}^{2}$ sont symétrisable par rapport à $+$
           
         • $+$ est associative
       • $.$ doit être associative et distributive par rapport à $+$
     • pour qu'il soit commutative $.$ doit être commutative
       
     • pour qu'il soit unitaire $.$ doit admettre un élément neutre.

     Indications pour les démonstrations:

     [Faites les démonstrations!]
     • $+$ est commutative ssi: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)$$
       
     • $+$ est une l.c.i ssi: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:(a,b)+(c,d)\in\mathbb{Z}^{2}$$
       
     • $+$ admet un élément neutre (le zéro de l'anneau) noté $0_{\mathbb{Z}^{2}} = (e_{1},e_{2})$ ssi: $$\forall(a,b)\in\mathbb{Z}^{2}:(a,b)+(e_{1},e_{2})=(e_{1},e_{2})+(a,b)=(a,b)$$
       
     • tout les éléments de $\mathbb{Z}^{2}$ sont symétrisable par rapport à $+$ ssi: $$\forall(a,b)\in\mathbb{Z}^{2},\,\exists [-(a,b)]\in\mathbb{Z}^{2}:\,(a,b)+[-(a,b)]=[-(a,b)]+(a,b)=(e_{1},e_{2})$$
       
     • $+$ est associative ssi: $$\forall(a,b),(c,d),(e,f)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{3}:\,\left[(a,b)+(c,d)\right]+(e,f)=(a,b)+\left[(c,d)+(e,f)\right]$$
       
     • $.$ est associative ssi: $$\forall(a,b),(c,d),(e,f)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{3}:\,\left[(a,b).(c,d)\right].(e,f)=(a,b).\left[(c,d).(e,f)\right]$$
       
     • $.$ est distributive par rapport à $+$ ssi: $$\forall(a,b),(c,d),(e,f)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{3}:\,\left[(a,b)+(c,d)\right].(e,f)=\left[(a,b).(e,f)\right]+\left[(c,d).(e,f)\right]$$
       
     • $.$ est commutative ssi: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:(a,b).(c,d)=(c,d).(a,b)$$
       
     • $.$ admet un élément neutre (le $1$ de l'anneai) notée $1_{\mathbb{Z}^{2}} = (e'_{1},e'_{2})$ ssi: $$\forall(a,b)\in\mathbb{Z}^{2}:(a,b)+(e'_{1},e'_{2})=(e'_{1},e'_{2})+(a,b)=(a,b))$$
  2. Les éléments inversibles de cet anneau sont les éléments inversibles par rapport à $.$, c'est à dire ce sont les éléments $(a,b) \in \mathbb{Z}$ tels qu'il existe pour chacun d'entre eux un élément inverse noté $(a,b)^{-1}$ qui vérifie: $$(a,b).(a,b)^{-1}=(a,b)^{-1}.(a,b)=(e'_{1},e'_{2})$$ Il reste donc à chercher à quoi est égale $(a,b)^{-1}$ et pour quels $(a,b)$ il existe.[Faites le!]
     
  3. $(\mathbb{Z}^{2},+,.)$ est intègre s'il est différent de l'anneau nul $\{0\}$ et ne possède aucun diviseur de zéro, c'est à dire ssi: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:(a,b).(c,d)=(e_{1},e_{2})\Longrightarrow\begin{cases} (a,b) & =(e_{1},e_{2})\\ \vee\\ (c,d) & =(e_{1},e_{2})\end{cases}$$ Il suffit donc de montrer cette implication [Faites le!], où $(e_{1},e_{2})$ est l'élément neutre de $+$, autrement dit c'est le zéro de l'anneau ($0_{\mathbb{Z}^{2}}$), la relation qu'on a donné est concordante avec le fait de dire "ne possède pas de diviseur de zéro", en effet, si ce qui est à droite de l'implication n'arrive pas (c'est à dire si ni $(a,b)$ ni $(c,d)$ ne sont égaux au zéro de l'anneau $0_{\mathbb{Z}^{2}} = (e_{1},e_{2})$), on pourra écrire: $$(a,b)=\frac{(e_{1},e_{2})}{(c,d)}=\frac{0_{\mathbb{Z}^{2}}}{(c,d)}$$ C'est à dire qu'on peut diviser le $0_{\mathbb{Z}^{2}}$ par un élément $(c,d)$, et l'anneau ne sera donc pas intègre.
     
  4. Pour que $H$ soit un sous-anneau de $\mathbb{Z}^{2}$ il faut que:
     • $H \not= \emptyset$
       
     • $\forall (a,0),(b,0) \in H^{2} : (a,0) + [-(b,0)] \in H^{2}$
       
     • $\forall (a,0),(b,0) \in H^{2} : (a,0) . (b,0) \in H^{2}$
     Il faut donc vérifier ces trois conditions. Pour qu'il soit unitaire, il faut que sa deuxième loi $.$ admette un élément neutre $(e'',0) \in H$ $$\forall (a,0) \in H : (a,0) . (e'',0) = (a,0)$$
  5. Que remarquer à propos des deux éléments neutres par rapport aux deuxièmes lois des deux anneaux (l'anneau et le sous-anneau)
• Exercice 6 $(\mathcal{B}(E),+,\circ)$ désigne l'ensemble des applications bijéctives de $E$ dans $E$ muni de l'addition $+$ des applications et de la composition d'applications $\circ$. Est-il un anneau? Rasions?
  
• Indications pour la correction 6 Pour que $(\mathcal{B}(E),+,\circ)$ soit un anneau il faut que (on doit appliquer toutes les applications sur un élément $x \in E$):
  • $(\mathcal{B}(E),+)$ soit un groupe abélien c'est à dire
    • $+$ est commutative c-à-d; $$\forall (f,g) \in \mathcal{B}(E)^{2},\,\forall x \in E : (f+g)(x)=(g+f)(x)$$
      
    • $+$ est une l.c.i dans $\mathcal{B}(E)$ $$\forall (f,g) \in \mathcal{B}(E)^{2},\,\forall x \in E : (f+g)(x) \in E $$
      
    • $+$ admet un élément neutre $$\exists e \in \mathcal{B}(E),\,: \forall f \in \mathcal{B}(E),\,\forall x \in E: (f + e)(x) = (e + f)(x) = f(x)$$
      
    • chaque élément de $\mathcal{B}(E)$ est symétrisable par rapport à $+$ $$\forall f \in \mathcal{B}(E) : \exists [-f] \in \mathcal{B}(E),\,\forall x \in E, (f + [-f])(x) = ([-f] + f)(x) = e(x)$$
      
    • $+$ est associative $$\forall (f,g,h) \in \mathcal{B}(E)^{3},\,\forall x \in E :[(f+g)+h](x)=[f+(g+h)](x)$$
  • $\circ$ est associative et distributive par rapport à $+$ $$\forall(f,g,h)\in\mathcal{B}(E)^{3},\,\forall x\in E:\begin{cases} [(f\circ g)\circ h](x) & =[f\circ(g\circ h)](x)\\{} [(f+g)\circ h](x) & =[(f\circ h)+(g\circ h)](x)\end{cases}$$
  Il faut donc voir si toutes ces conditions sont vérifiées, si on trouve ne serait-ce qu'une seule qui ne soit pas vérifiée, il ne sera donc pas un anneau.
  Question (#Q-REX1) Si elle existe, laquelle de ces conditions n'est pas vérifiée? Et pourquoi? Répondre à la question (+points à la clé) [[Réponses]]
• Exercice 7 Dans l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times)$ où l'on suppose que $n\geq 2$, quel est l'élément symétrique de $\dot x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times)$ soit un corps.
  
• Corrigé 7 Rappelons que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est l'ensemble des sacs (les classes d'équivalences), chaque sac regroupe tout les éléments de $\mathbb{Z}$ qui sont équivalents (via une relation d'équivalence $\mathcal{R}$), cette équivalence dit que: deux éléments $a$ et $b$ de $\mathbb{Z}$ sont équivalents via $\mathcal{R}$ ($a \mathcal{R} b$) si et seulement si $(a-b)$ est un multiple de $n$ ($a \star b^{-1} \equiv a - b \in n\mathbb{Z}$ dans ce cas $n\mathbb{Z}$ est le sous-groupe par lequel on "quotionne")
  Donc on veut savoir quel est le sac $\dot{x}^{-1}$ qui est le symétrique du sac $\dot x$ (par rapport à $\otimes$), pour rappel le sac $\dot x$ est le sous-ensemble des éléments $y \in \mathbb{Z}$ qui sont en relations avec $x$ via $\mathcal{R}$ ($y \mathcal{R} x$).
  Maintenant, pour connaitre un symétrique, il faut d'abord savoir quel est l'élément neutre, ou le sac neutre. Par définition de $\dot \times$ $$\dot a \dot \times \dot b = \dot{\overline{a\times b}}$$ Donc à votre avis le sac neutre (appelons le $1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$) est le sac de quel élément? Prouvez le.
  $$\forall \dot a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : \dot a \dot\times 1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} = 1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} \dot\times \dot a = \dot a$$ La question est donc: $1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ est la classe d'équivalence de quel élément $\epsilon \in \mathbb{Z}$: $$1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} = \dot\epsilon$$ Pour ce faire, il faut résoudre les équations: $$\begin{eqnarray*} \forall\dot{a}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}:\begin{cases} \dot{a}\dot{\times}\dot{\epsilon} & =\dot{a}\\ \dot{\epsilon}\dot{\times}\dot{a} & =\dot{a}\end{cases} & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} \dot{\overline{a\times\epsilon}} & =\dot{a}\\ \dot{\overline{\epsilon\times a}} & =\dot{a}\end{cases}\\ & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} (a\times\epsilon)\,\mathcal{R}\,(a)\\ (\epsilon\times a)\,\mathcal{R}\,(a)\end{cases}\\ & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} a\times\epsilon-a & \in n\mathbb{Z}\\ \epsilon\times a-a & \in n\mathbb{Z}\end{cases}\\ & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} a\times(\epsilon-1) & =nk\,\,\text{ avec }\,\,k\in\mathbb{Z}\\ (\epsilon-1)\times a & =nk\,\,\text{ avec }\,\,k\in\mathbb{Z}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ Dans la première ligne on a exploité le faite que dire "quelle que soit la classe d'équivalence de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$" est équivalent à dire "quel que l'élément de $\mathbb{Z}$" et on a aussi utilisé la définition de la loi $\dot\times$, dans la seconde ligne on a exploité le fait que si deux classes d'équivalences se confondent (sont les même) cela veux dire que les éléments qui les représentent sont en relation via $\mathcal{R}$, dans la troisième ligne on a explicité cette relation d'équivalence (celle qui définie le groupe quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$), maintenant dans la quatrième ligne on a par exemple: $a\times(\epsilon-1) = nk$ quel que soit $a$, cela veut dire que $(\epsilon-1)$ lui-même est un multiple de $n$: $$\begin{eqnarray*} \epsilon-1=nk & \iff & \epsilon=nk+1\\ & \iff & \epsilon\in\dot{1}\\ & \iff & \dot{\epsilon}=\dot{1}\end{eqnarray*}$$ car les nombres qui s'écrivent sous la forme $nk+1$ forment la classe d'équivalence de $1$ (en effet $(nk+1)-1=nk\in n\mathbb{Z}$)
  Donc l'élément neutre de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ par rapport à $\dot\times$ est $\dot 1$
  Ayant fait cela, voyez la définition du sac symétrique $(\dot{x})^{-1}$ (supposons que $(\dot{x})^{-1}$ est la classe d'équivalence d'un certain élément $x^{*}$ c'est-à-dire $(\dot{x})^{-1} \equiv \dot{\left(x^{*}\right)}$, le tout est donc de trouver ce ${x}^{*}$) $$\begin{eqnarray*} \begin{cases} \dot{x}\dot{\times}\left(\dot{x}\right)^{-1} & =\dot{1}\\ \left(\dot{x}\right)^{-1}\dot{\times}\dot{x} & =\dot{1}\end{cases} & \iff & \begin{cases} \dot{x}\dot{\times}\dot{\left(x^{*}\right)} & =\dot{1}\\ \dot{\left(x^{*}\right)}\dot{\times}\dot{x} & =\dot{1}\end{cases}\\ & \iff & \begin{cases} \dot{\overline{(x\times x^{*})}} & =\dot{1}\\ \dot{\overline{(x^{*}\times x)}} & =\dot{1}\end{cases}\\ & \iff & \begin{cases} (x\times x^{*})-1 & =nk\,\,\text{ pour un }\,\, k\in\mathbb{Z}\\ (x^{*}\times x)-1 & =nk\,\,\text{ pour un }\,\, k\in\mathbb{Z}\end{cases}\\ & \iff & x^{*}=\frac{nk+1}{x}\,\,\text{ pour un }\,\, k\in\mathbb{Z}\end{eqnarray*}$$ Mais le problème est que ${x}^{*}$ doit être un élément de $\mathbb{Z}$ (un entier relatif), mais dans la dernière relation, on n'est pas certain qu'on tombe sur un ${x}^{*}$ entier à tout les coups! En fait, ${x}^{*}$ s'avère être un entier pour seulement quelques valeurs de $n$, d'où la question suivante à propos du corps
  Maintenant pour que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times)$ soit un corps il faut que tout éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ soient inversibles (par rapport à $\dot\times$ bien sûr), autrement dit, il faut que le $x^{*}$ qu'on vient de trouver soit toujours entier!.
  Reprenons l'avant-dernière ligne des calculs qu'on vient de faire, le premier cas par exemple: $$(x^{*}\times x)-1=nk\iff x^{*}x-nk=1$$ $k$ est un nombre quelconque de $\mathbb{Z}$ sans grande importance, on peut alors faire une redéfinition $k \to -k$ on aura alors: $$x^{*}x+nk=1$$ Et cela doit être le cas quel que soit le $x$ qu'on choisit (rappelez vous, TOUT les éléments doivent être inversibles pour qu'il soit un corps), donc: $$\forall x\in\mathbb{Z}\,:\, x^{*}x+nk=1$$ Ceci est une équation a inconnus $x^{*}$ et $k$, (en effet on a fixé le $x$ pour lequel on veut chercher le symétrique et on connait le $n$ qui définit $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$), il existe un théorème qu'on appelle le théorème de Bézout (que normalement vous connaissez, sinon jetez un coup d'oeil ici) qui dit que:
  
  L'équation $ax+by=1$ admet des solutions (pour $x$ et $y$) si et seulement si $a$ et $b$ sont premiers entre eux (c'est-à-dire que le plus grand diviseur commun entre eux est 1)
  
  Si on applique ce théorème à notre cas, cela veut dire que $x$ et $n$ doivent être premiers entre eux, mais cela doit se passer QUEL QUE SOIT $x$, c'est-à-dire que $n$ lui-même doit être premier. (si c'est le cas, le plus grand diviseur commun entre les deux sera toujours 1 car $n$ étant entier lui-même n'admet pour diviseur que le 1!)
  Voila, on a répondu à la question: pour que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times)$ soit un corps il faut que $n$ soit premier (exemples: $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, ...etc)
  
• Exercice 8 Dans $\mathbb{R}^{2}$, on définit pour tous couples $(a,b)$ et $(c,d)$ les opérations suivantes: $$\begin{cases} (a,b)\oplus(c,d) & =(a+b,c+d)\\ (a,b)\otimes(c,d) & =(ac-bd,ad+bc)\end{cases}$$ Montrer que le triplet $(\mathbb{R}^{2},\oplus,\otimes)$ est un corps commutatif et que $\mathbb{R}$ en est un sous-corps.
  
• Indications pour la correction 7 [Bientôt...]

[En cours de rédaction ...] [Vous pouvez poser des questions, faire des commentaires ou signaler une erreur en cliquant sur Commentaires ci dessous, vous pouvez aussi écrire des éxpressions mathématiques, voir comment]

(P(E),Δ,∩) est un anneau commutatif

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Dans cette séance on a résolu l'exercice n°03 de la fiche TD n°03, il s'agissait de montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)$ est un anneau commutatif, où $\Delta$ est ce qu'on appelle la différence symétrique entre deux sous-ensembles (deux parties) et est définie par: $$\forall (A,B) \in \mathcal{P}(E)^{2} : A \Delta B = (A\backslash B) \cup (B\backslash A)$$ Voici à quoi ressemble la différence symétrique pour deux cas concrets: On remarque que la différence symétrique (représentée en hachurée dans le dessin) est seulement l'union moins l’intersection. Passons maintenant à l'exercice:

• Exercice 3 Montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)$, où $\mathcal{P}(E)$ désigne l'ensemble des parties de $E$, possède une structure d'anneau commutatif.
  
• Corrigé 3 Pour montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)$ est un anneau on doit montrer les choses suivantes:
  • que $(\mathcal{P}(E),\Delta)$ est un groupe abélien, c'est à dire que:
    • $\Delta$ est commutative
      
    • $\Delta$ est une l.c.i
      
    • $\Delta$ admet un élément neutre
      
    • chaque élément de $\mathcal{P}(E)$ est symétrisable par rapport à $\Delta$
      
    • $\Delta$ est associative
  • que $\cap$ est associative et distributive par rapport à $\Delta$
  Et pour montrer que c'est un anneau commutatif, il suffit de montrer encore que:
  • $\cap$ est commutative
  Ce qui est souligné est ce qu'on sait déjà (en cours en utilisant la logique), il nous reste à démontrer les autres propriétés.

  Commutativité de $\Delta$

  $\Delta$ est commutative car: $$\begin{eqnarray*} \forall(A,B)\in\mathcal{P}(E)^{2}\,:\, A\Delta B & = & (A\backslash B)\cup(B\backslash A)\\ & = & (B\backslash A)\cup(A\backslash B)\text{ (car }\cup\text{ est commutative)}\\ & = & B\Delta A\end{eqnarray*}$$

  $\Delta$ est une l.c.i

  $\Delta$ est une l.c.i car elle est définie par les deux l.c.i $\backslash$ et $\cup$, en d'autres termes, la différence symétrique de deux sous-ensembles est aussi un sous-ensemble.

  Élément neutre de $\Delta$

  $\emptyset$ est l'élément neutre de $\Delta$ car: $$\begin{eqnarray*} \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\, A\Delta\emptyset & = & (A\backslash\emptyset)\cup(\emptyset\backslash A)\\ & = & A\cup\emptyset\\ & = & A\end{eqnarray*}$$ il en sera de même pour $\emptyset \Delta A$ car on a déjà démontré que $\Delta$ est commutative.

  Les Éléments inverses

  Notons par $A^{-1}$ l'élément inverse de $A\in E$, et cherchons à quoi est égale ce $A^{-1}$, par définition on a: $$\begin{eqnarray*} \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\, A\Delta A^{-1}=\emptyset & \iff & \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\,(A\backslash A^{-1})\cup(A^{-1}\backslash A)=\emptyset\\ & \iff & \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\,\begin{cases} (A\backslash A^{-1}) & =\emptyset\\ \wedge\\ (A^{-1}\backslash A) & =\emptyset\end{cases}\\ & \iff & \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\, A^{-1}=A\end{eqnarray*}$$ pour passer de la première ligne à la deuxième on a utilisé le fait que si l'union de deux sous-ensembles est vide alors forcément que ces deux sous-ensembles sont eux-mêmes vides, le passage de la deuxième à la troisième ligne est évident. La condition $A^{-1} \Delta A=\emptyset$ donnera forcément le même résultat car on a déjà vu que $\Delta$ est commutative. Le symétrique de chaque élément par rapport à $\Delta$ est donc ... lui même!

  $\Delta$ est associative

  On doit démontrer que $$\forall(A,B,C)\in\mathcal{P}(E)^{3}\,:\, A\Delta(B\Delta C)=(A\Delta B)\Delta C$$ Démontrer cette relation en utilisant seulement la définition de $\Delta$ s'avère être une tâche difficile, c'est pour cela qu'on va utiliser les fonctions indicatrices dont j'ai déjà parlé, c'est à dire qu'on va démontrer que: $$\forall(A,B,C)\in\mathcal{P}(E)^{3}\,:\,\phi_{A\Delta(B\Delta C)}=\phi_{(A\Delta B)\Delta C}$$ Mais avant cela petit rappel: $\phi_{A \cap B} = \phi_{A}\phi_{B}$ $\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B}$ $\phi_{A\backslash B} = \phi_{A} - \phi_{A}\phi_{B}$ Maintenant, pour pouvoir calculer des expressions telles que $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$ on a d'abord besoin de calculer $\phi_{A \Delta B}$, c'est ce qui va suivre: $$\begin{eqnarray*} \phi_{A\Delta B} & = & \phi_{(A\backslash B)\cup(B\backslash A)}\\ & = & \phi_{(A\backslash B)}+\phi_{(B\backslash A)}-\phi_{(A\backslash B)}\phi_{(B\backslash A)}\\ & = & (\phi_{A}-\phi_{A}\phi_{B})+(\phi_{B}-\phi_{B}\phi_{A})-(\phi_{A}-\phi_{A}\phi_{B})(\phi_{B}-\phi_{B}\phi_{A})\\ & = & \phi_{A}+\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{B}+(-\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}^{2}+\phi_{A}^{2}\phi_{B}-\phi_{A}^{2}\phi_{B}^{2})\end{eqnarray*}$$ On va montrer maintenant que ce qui est entre parenthèses dans la dernière ligne est nul, pour ceci remarquons que puisque $\phi$ ne peut prendre pour valeurs que le $0$ ou le $1$, et puisque $1^{n}=1$ et $0^{n}=0$, on à $\phi^{n}=\phi$, donc l'expression entre parenthèses est bien nulle: $$\begin{eqnarray*} -\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}^{2}+\phi_{A}^{2}\phi_{B}-\phi_{A}^{2}\phi_{B}^{2} & = & -\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}-\phi_{A}\phi_{B}\\ & = & 0\end{eqnarray*}$$ On obtient en fin de compte: $$\phi_{A\Delta B}=\phi_{A}+\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{B}$$ Calculons maintenant $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$ $$\begin{eqnarray*} \phi_{A\Delta(B\Delta C)} & = & \phi_{A}+\phi_{B\Delta C}-2\phi_{A}\phi_{B\Delta C}\\ & = & \phi_{A}+(\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C})-2\phi_{A}(\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C})\\ & = & \phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C}-2\phi_{A}\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{C}+4\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C}\end{eqnarray*}$$ La prochaine étape serait de calculer aussi $\phi_{(A\Delta B)\Delta C}$ et de comparer les deux résultats, c'est juste, mais ici je vais suivre un raccourcie, sans passer par le calcul de $\phi_{(A\Delta B)\Delta C}$. Réécrivons d'abord $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$ d'une autre manière: $$\begin{eqnarray*} \phi_{A\Delta(B\Delta C)} & = & \phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C}-2\phi_{A}\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{C}+4\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C}\\ & = & (\phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C})-2(\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{B}\phi_{C}+\phi_{C}\phi_{A})+4(\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C})\end{eqnarray*}$$ Je n'ai fait que réarranger les termes d'une autre manière, cette manière nous permet de voir que l’expression de $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$ est invariante sous la permutation cyclique des éléments $(A,B,C)$, mais d'abord, qu'est ce qu'une permutation cyclique? Rien ne vaut un schéma pour la comprendre: Ici on a fait 3 permutations cycliques successives sur $(A,B,C)$ pour obtenir dans l'ordre: $(B,C,A)$ puis $(C,A,B)$ et enfin revenir à $(A,B,C)$ (d'où l’adjectif "cyclique", car après un cycle on retombe sur la configuration initiale) Revenons donc à notre expression de $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$, si on fait une permutation cyclique sur $(A,B,C)$ voilà ce qu'on trouve: $$\phi_{B\Delta(C\Delta A)}=(\phi_{B}+\phi_{C}+\phi_{A})-2(\phi_{B}\phi_{C}+\phi_{C}\phi_{A}+\phi_{A}\phi_{B})+4(\phi_{B}\phi_{C}\phi_{A})$$ Mais on remarque que c'est la même chose que pour $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$: $$\begin{eqnarray*} \phi_{B\Delta(C\Delta A)} & = & (\phi_{B}+\phi_{C}+\phi_{A})-2(\phi_{B}\phi_{C}+\phi_{C}\phi_{A}+\phi_{A}\phi_{B})+4(\phi_{B}\phi_{C}\phi_{A})\\ & = & \overset{\updownarrow=}{(\phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C})}-\overset{\updownarrow=}{2(\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{B}\phi_{C}+\phi_{C}\phi_{A})}+\overset{\updownarrow=}{4(\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C})}=\phi_{A\Delta(B\Delta C)}\end{eqnarray*}$$ On vient de montrer que: $$\phi_{B\Delta(C\Delta A)} = \phi_{A\Delta(B\Delta C)}$$ Mais on sait aussi que $\Delta$ est commutative, on peut donc inverser dans la partie de droite pour enfin obtenir: $$\phi_{B\Delta(C\Delta A)} = \phi_{(B\Delta C)\Delta A}$$ On vient de démontrer que les fonctions indicatrices des deux sous-ensembles $B\Delta(C\Delta A)$ et $(B\Delta C)\Delta A$ sont égales, ce qui est équivalent à dire que ces deux sous ensembles sont égaux: $$B\Delta(C\Delta A) = (B\Delta C)\Delta A$$ Cette égalité n'est rien d'autre que la preuve de la commutativité de $\Delta$.

  $\cap$ est associative

  On l'a vu dans le cours

  $\cap$ est distributive par rapport à $\Delta$

  Encore une fois, il serait difficile de le montrer en n'utilisant que la définition de $\Delta$, et encore une fois on va utiliser les fonctions indicatrices, c'est à dire qu'il faut montrer que: $$\forall(A,B,C)\in\mathcal{P}(E)^{3}\,:\, A\cap(B\Delta C)=(A\cap B)\Delta(A\cap C)$$ Je vous laisse donc le soin de le faire [À faire absolument!]

  $\cap$ est commutative

  On l'a vu dans le cours On a donc réussi à montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta)$ est un anneau commutatif.

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Homomorphismes de groupes

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Énoncé du test

Soit $(G,\star)$ un groupe et soit $\mathcal{A}_{\text{bij}}(G)$ l'ensemble des applications bijectives de $G$ dans $G$. On définit une application $f$ de $G$ vers $\mathcal{A}_{\text{bij}}(G)$ de la façon suivante: $$\begin{eqnarray*} f\,:\, G & \longrightarrow & \mathcal{A}_{\text{bij}}(G)\\ a & \longmapsto & f(a) \doteq f_{a}\end{eqnarray*}$$ (le symbole $\doteq$ veut dire "... est définie par ...")
Telle que $f_{a}$ soit définie par: $$\begin{eqnarray*} f_{a}\,:\, G & \longrightarrow & G\\ x & \longmapsto & f_{a}(x)=a\star x\star a^{-1}\end{eqnarray*}$$ On a déjà montré que $f_{a}$ est un homomorphisme du groupe $(G,\star)$ vers lui-même (donc un endomorphisme), montrer maintenant que $f$ elle même est aussi un homomorphisme du groupe $(G,\star)$ vers le groupe $(\mathcal{A}_{\text{bij}}(G),\circ)$ [Essayez de faire cet exercice]

Attention $f$ n'est pas la même application que $f_{a}$, $f_{a}$ est l'image de l'élément $a \in G$ par l'application $f$, cette image $f_{a}$ est elle-même une autre application, voila ce qui s'est passé: on a appliqué l'application $f$ sur un élément $a$ de $G$ et on a trouvé une application $f_{a}$, on définit cette dernière en l'appliquant sur un autre élément $x$ de $G$, elle nous donne alors aussi un élément de $G$.

Indications

Un homomorphisme du groupe $(G,\star)$ vers le groupe $(G',\Delta)$ est une application $f$ de $G$ vers $G'$ telle que: $$f(x \star y) = f(x) \Delta f(y)$$ pour tout $x$ et $y$ de $G$.
Dans notre cas, le premier groupe est noté de la même façon ($(G,\star)$), mais $(G',\Delta)$ représente le groupe $(\mathcal{A}_{\text{bij}}(G),\circ)$.

Correction du test

On veut montrer que c'est un homomorphisme de $(G,\star)$ vers $(\mathcal{A}_{\text{bij}}(G),\circ)$, on prend donc deux éléments $a$ et $b$ de $G$, et on regarde l'image de leur composition via $f$ qui est $f_{a\star b}$, si elle est égale à la composée des deux images (les deux applications) $f_{a} \circ f_{b}$ alors on pourra dire que c'est un homomorphisme. C'est à dire on doit montrer que: $$\forall (a,b) \in G^{2} : f_{a \star b} = f_{a} \circ f_{b}$$ Bien entendu, on ne peut pas travailler avec $f_{a}$ toute seule, car c'est une application, il faudra l'appliquer sur un élément $x$ de $G$: $$\forall (a,b,x) \in G^{3} : f_{a \star b}(x) = (f_{a} \circ f_{b})(x)$$ Démontrons donc cela: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,x)\in G^{3}\,:\, f_{a\star b}(x) & = & (a\star b)\star x\star(a\star b)^{-1}\\ & = & a\star b\star x\star b^{-1}\star a\text{ (car }\star\text{ est associative)}\\ & = & a\star(b\star x\star b^{-1})\star a\text{ (car }\star\text{ est associative)}\\ & = & a\star f_{b}(x)\star a\\ & = & f_{a}\left[f_{b}(x)\right]\\ & = & \left(f_{a}\circ f_{b}\right)(x)\end{eqnarray*} $$ Et ceci esr valable quel que soit $x$, donc: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b)\in G^{2},\,\forall x\in G\,:\, f_{a\star b}(x) & = & \left(f_{a}\circ f_{b}\right)(x)\\ \Longrightarrow\forall(a,b)\in G^{2},\,:\, f_{a\star b} & = & f_{a}\circ f_{b}\end{eqnarray*}$$

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Addition modulo n et multiplication modulo n

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Dans cette séance on a découvert que les lois $\dot{+}$ et $\dot{\times}$ définies dans l'exercice n°01 de la fiche TD n°03 sont en fait les lois de l'addition modulo 10 et de la multiplication modulo 10.
La définition des ces deux opérations est somme toute simple: deux nombres $a$ et $b$ sont égaux (ou équivalents) modulo $n$ si leur différence est un multiple de $n$, ou, formulée d'une autre manière, si $b$ est le reste de la division de $a$ sur $n$. $$a \equiv b [n] \iff a = n . k + b \text{ (pour un certain } k \in \mathbb{Z} \text{)}$$ Par exemple:

$3 \equiv 13 [10]$
$5 \equiv 33 [14]$
$-1 \equiv 13 [14]$
etc...

Il y a une relation très étroite entre cette définition du calcul modulo (c'est ce qu'on appelle l'arithmétique modulaire) et ce qu'on a vu la dernière fois concernant les groupes quotients $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, car, regardez bien:

• On a dit que deux nombres (de $\mathbb{Z}$) sont égaux ou équivalents modulo $n$ si leur différence $a-b$ est un multiple de $n$ (donc si la différence appartient à $n\mathbb{Z}$), c'est à dire si $a \star b^{-1} \in \mathbb{Z}$ (avec $\star \doteq +$ et $b^{-1} \doteq -b$, $\doteq$ voulant dire est définie par...), cette dernière définition on la connait! Elle veut dire que $a$ et $b$ appartiennent à la même classe d'équivalence du groupe quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ [se rafraîchir la mémoire avec le résumé de la séance].
  
  Donc, faire de l'arithmétique (du calcul) modulaire revient à faire des opérations entre des classes d'équivalence du groupe quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, par exemple si on dit que $3 \equiv 14 [11]$ cela veut dire que $3$ et $14$ appartiennent à la même classe d'équivalence du groupe quotient $\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$, cette classe d'équivalence qu'on peut représenter par le plus petit élément $\dot{3}$ et qui vaut $\dot{3} = \{\dots, -19, -8, 3, 14, 25, \dots\}$, c'est parce que les deux éléments $3$ et $14$ appartiennent à une même classe d'équivalence de $\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$ qu'on dit qu'ils sont égaux ou équivalents modulo 11, et le groupe quotient est l'ensemble des classes d'équivalence $\mathbb{Z}/11\mathbb{Z} = \{\dot{0},\dot{1},\dot{2},\dot{3},\dot{4},\dot{5},\dot{6},\dot{7},\dot{8},\dot{9},\dot{10}\}$

Le calcul modulaire, malgré sa simplicité est très important et est utilisé dans de nombreux domaines, par exemple, on l'utilise dans l'élaboration de clés cryptographiques pour sécuriser les connexions internet, voilà comment ça se passe:

• Quand vous voulez vous connecter à un site (se trouvant dans un serveur) pour consulter par exemple votre boîte email, la connexion établie doit être cryptée pour qu'aucune personne ayant le contrôle d'un des ordinateurs qui permettent de faire le relais entre votre PC et le serveur ne soit en mesure de décrypter et lire les données, une des méthodes de cryptage possibles (et très sûre) est ce qu'on appelle le chiffrement RSA [voilà deux liens 1 et 2 pour lire de quoi il s'agit] qui est basé sur l’arithmétique modulaire, vous pouvez voir qu'on y utilise $mod$ pour dire modulo (c'est la même chose que notre $[...]$), vous pouvez voir aussi que vous êtes en ce moment même surement entrain d'utiliser une connexion cryptée RSA qui utilise le calcul modulaire dont on parle ici (ouvrez votre boîte email, vous verrez que l'adresse internet, l'URL, ne commence plus par http:// mais https://, le "s" veut dire "sécurisée", si vous cliquez sur l'icone à coté, et que vous lisez bien, vous trouverez à coup sur le mot RSA)
  
  Pour pouvoir décrypter ou cracker ce genre de clés, il est donc primordiale d'avoir de bonnes connaissances en mathématiques, en particulier en calcul combinatoire, en arithmétique modulaire (ce qu'on fait ici) et même en théorie de groupes (ce qu'on fait dans ce semestre), mais je vous rassure, les clés RSA que vous utilisez sont très sûres (enfin... officiellement...)

C'était une petite parenthèse que j'ai voulu ouvrir pour montrer que les mathématiques qu'on fait (à l'université) ne servent pas seulement à donner la migraine et à collecter des zéros, mais qu'elles peuvent s’avérer très importantes même cruciales pour (ou contre) la sécurité des gouvernements (voyez ce qui se passe en ce moment avec l'affaire wikileaks). Maintenant, revenons à nos moutons:

• Exercice 1 l'ensemble $E = \{0,2,4,6,8\}$ est muni de deux lois $\dot+$ et $\dot\times$ définies comme suit:
  
  $\forall (a,b) \in E^{2} : a \dot+ b = c \text{ }$ où $c$ est le chiffre des unités de $a+b$
  $\forall (a,b) \in E^{2} : a \dot\times b = d \text{ }$ où $d$ est le chiffre des unités de $a\times b$
  
  
  1. Construire les tables des opérations $\dot+$ et $\dot\times$
     
  2. Montrer que $(E,\dot+,\dot\times)$ possède une structure d'anneau commutatif unitaire et que tout élément de $E$ autre que $0$ est symétrisable
     
  3. Calculer le nombre: $$x = \frac{4 \dot\times (4 \dot+ 8)^{2} \dot+ 8}{(2\dot+ 4)^{3} \dot+ 2}$$
• Corrigé 1 Avant de répondre aux questions remarquons que les deux lois $\dot+$ et $\dot\times$ peuvent être définies en utilisant l'arithmétique modulaire, en effet: $$\forall (a,b) \in E : \, a \dot+ b \equiv (a + b) [10]$$ $$\forall (a,b) \in E : \, a \dot\times b \equiv (a \times b) [10]$$ On aura besoin aussi d'une autre relation, démontrons la avant de commencer:
  On remarque tout d'abord que si $a \in E$ on peut écrire l'égalité $a = a [10]$
  Maintenant, on sait que $\forall (a,b) \in E^{2}:\; a \dot+ b \in E$ car $\dot+$ est une l.c.i, donc on peut écrire: $$(a \dot+ b) = (a \dot+ b) [10]$$ Et on utilisant la définition de $a \dot+ b$ on trouve: $$(a \dot+ b) [10] \equiv (a + b) [10]$$ Cette relation veut dire que quand on travaille à l’intérieure d'une classe d'équivalence $[10]$, on peut remplacer $a \dot+ b$ par $a + b$, cela va nous être utile par la suite.
  
  
  1. Tables des opérations $\dot+$ et $\dot\times$
     

     $\dot+$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
     $0$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
     $2$	$2$	$4$	$6$	$8$	$0$
     $4$	$4$	$6$	$8$	$0$	$2$
     $6$	$6$	$8$	$0$	$2$	$4$
     $8$	$8$	$0$	$2$	$4$	$6$

     $\dot\times$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
     $0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
     $2$	$0$	$4$	$8$	$2$	$6$
     $4$	$0$	$8$	$6$	$4$	$2$
     $6$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
     $8$	$0$	$6$	$2$	$8$	$4$

  2. Pour que $(E,\dot+,\dot\times)$ soit un anneau commutatif unitaire on doit avoir:
     • pour que $(E,\dot+,\dot\times)$ soit un anneau
       • $(E,\dot+)$ doit être un groupe abélien c'est à dire:
         1. $\dot+$ doit être une l.c.i dans $E$
            
         2. $\dot+$ doit être commutative
            
         3. $\dot+$ doit admettre un élément neutre
            
         4. chaque élément de $E$ doit être symétrisable par rapport à $\dot+$
            
         5. $\dot+$ doit être associative
       • $\dot\times$ doit être associative et distributive par rapport à $\dot+$ dans $E$
     • pour qu'il soit commutatif
       • $\dot\times$ doit être commutative dans $E$
     • pour qu'il soit unitaire
       • $\dot\times$ doit admettre un élément neutre dans $E$
     Vérifions donc toutes ces conditions:
     • $\dot+$ est-elle une l.c.i? Oui, on peut le voir à partir de la table des opérations de $\dot+$: toutes les cases sont remplies par des éléments de $E$.
       
     • $\dot+$ est-elle commutative? Oui, on peut le voir aussi à partir de la table des opérations de $\dot+$, elle est symétrique par rapport à la diagonale (par exemple $4 \dot+ 2 = 2 \dot+ 4$, ...etc)

       $\dot+$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
       $0$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
       $2$	$2$	$4$	$6$	$8$	$0$
       $4$	$4$	$6$	$8$	$0$	$2$
       $6$	$6$	$8$	$0$	$2$	$4$
       $8$	$8$	$0$	$2$	$4$	$6$

     • $\dot+$ admet-elle un élément neutre? Oui, et c'est $e=0$, on le voit à partir de la tables des opérations de $\dot+$, la ligne $0,2,4,6,8$ ne change pas pour l'élément $0$

       $\dot+$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
       $0$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
       $2$	$2$	$4$	$6$	$8$	$0$
       $4$	$4$	$6$	$8$	$0$	$2$
       $6$	$6$	$8$	$0$	$2$	$4$
       $8$	$8$	$0$	$2$	$4$	$6$

     • chaque élément est-il symétrisable? Oui, car pour chaque colonne (ou ligne) on peut trouver une case remplie avec l'élément neutre $0$ dans la table des opérations de $\dot+$, plus précisément on a: $0^{-1} = 0,\,2^{-1}=8,\,4^{-1}=6,\text{...etc}$

       $\dot+$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
       $0$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
       $2$	$2$	$4$	$6$	$8$	$0$
       $4$	$4$	$6$	$8$	$0$	$2$
       $6$	$6$	$8$	$0$	$2$	$4$
       $8$	$8$	$0$	$2$	$4$	$6$

     • $\dot+$ est-elle associative? Oui, car: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{+}c & \equiv & \left((a\dot{+}b)+c\right)[10]\\ & \equiv & \left((a+b)+c\right)[10]\\ & \equiv & \left(a+(b+c)\right)[10]\\ & \equiv & \left(a+(b\dot{+}c)\right)[10]\\ & \equiv & a\dot{+}(b\dot{+}c)\end{eqnarray*}$$ Mais comme $$\forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{+}c\in E\;\wedge a\dot{+}(b\dot{+}c)\in E$$ L'équivalence $\equiv$ est en fait une égalité $=$, on a donc: $$\forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{+}c=a\dot{+}(b\dot{+}c)$$
       
     • $\dot\times$ est-elle associative? Oui, car: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{\times}b)\dot{\times}c & \equiv & \left((a\dot{\times}b)\times c\right)[10]\\ & \equiv & \left((a\times b)\times c\right)[10]\\ & \equiv & \left(a\times(b\times c)\right)[10]\\ & \equiv & \left(a\times(b\dot{\times}c)\right)[10]\\ & \equiv & a\dot{\times}(b\dot{\times}c)\end{eqnarray*}$$ Mais comme $$\forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{\times}b)\dot{\times}c\in E\;\wedge a\dot{\times}(b\dot{\times}c)\in E$$ L'équivalence $\equiv$ est en fait une égalité $=$, on a donc: $$\forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{\times}b)\dot{\times}c=a\dot{\times}(b\dot{\times}c)$$
       
     • $\dot\times$ est-elle distributive par rapport à $\dot+$? Oui, car: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{\times}c & \equiv & \left((a\dot{+}b)\times c\right)[10]\\ & \equiv & \left((a+b)\times c\right)[10]\\ & \equiv & \left((a\times c)+(b\times c)\right)[10]\\ & \equiv & \left((a\dot{\times}c)+(b\dot{\times}c)\right)[10]\\ & \equiv & (a\dot{\times}c)\dot{+}(b\dot{\times}c)\end{eqnarray*}$$ Mais comme: $$\forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{\times}c\in E\;\wedge(a\dot{\times}c)\dot{+}(b\dot{\times}c)\in E$$ L'équivalence $\equiv$ est en fait une égalité $=$, on a donc: $$\forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{\times}c=(a\dot{\times}c)\dot{+}(b\dot{\times}c)$$
       
     • $\dot\times$ est-elle commutative? Oui, on peut le voir à partir de la table des opérations de $\dot\times$, elle est symétrique par rapport à la diagonale (par exemple $4 \dot\times 2 = 2 \dot\times 4$, ...etc)

       $\dot\times$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
       $0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
       $2$	$0$	$4$	$8$	$2$	$6$
       $4$	$0$	$8$	$6$	$4$	$2$
       $6$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
       $8$	$0$	$6$	$2$	$8$	$4$

     • $\dot\times$ admet-elle un élément neutre? Oui, car dans chaque colonne (ou ligne) d'un élément (autre que l'élément neutre de $\dot+$ qui est le $0$) on peut trouver une case telle que la ligne (ou colonne) correspondante est celle du même élément. L'élément neutre est $6$ et il est facile de le vérifier: $2 \dot\times 6 = 2,\,4 \dot\times 6 = 4,\,\text{...etc}$

       $\dot\times$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
       $0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
       $2$	$0$	$4$	$8$	$2$	$6$
       $4$	$0$	$8$	$6$	$4$	$2$
       $6$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
       $8$	$0$	$6$	$2$	$8$	$4$

  3. Calcul du nombre $x$ $$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{4\dot{\times}(4\dot{+}8)^{2}\dot{+}8}{(2\dot{+}4)^{3}\dot{+}2}\\ & = & \frac{4\dot{\times}(2)^{2}\dot{+}8}{(6)^{3}\dot{+}2}\\ & = & \frac{4\dot{\times}2\dot{\times}2\dot{+}8}{6\dot{\times}6\dot{\times}6\dot{+}2}\\ & = & \frac{8\dot{\times}2\dot{+}8}{6\dot{+}2}\text{ (car 6 est element neutre par rapport a }\dot{\times}\text{)}\\ & = & \frac{6\dot{+}8}{6\dot{+}2}\\ & = & \frac{4}{8}\text{ (ici la division represente l'operation inverse de }\dot{\times}\text{)}\\ & = & 4\dot{\times}8^{-1}\\ & = & 4\dot{\times}2\text{ (car dans la table des operations de }\dot{\times}\text{ on a }8\dot{\times}2=6=e\text{)}\\ & = & 8\end{eqnarray*}$$

[En cours de rédaction]

Les fonctions caractéristiques (ou fonctions indicatrices)

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Ce sont des fonctions définies en théorie des ensembles qui peuvent être très utiles pour démontrer certaines égalités.

• Définition La fonction caractéristique d'un sous-ensemble $F$ d'un ensemble $E$ pour un point $x \in E$ est noté $\phi_{F}(x)$ et est définie par: $$\begin{eqnarray*} \phi_{F}\,:\, E & \longrightarrow & \{0,1\}\\ x & \longmapsto & \phi_{F}(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }x\in F\\ 0 & \text{si }x\not\in F\end{cases}\end{eqnarray*}$$ C'est à dire qu'elle nous indique si un point $x$ appartient ou pas au sous-ensemble $F$. Elle donne $1$ si il lui appartient, $0$ sinon.
  Généralement, on évite d'écrire l'argument $(x)$ de la fonction, et on écrit tout simplement $\phi_{F}$, en gardant en tête qu'elle nous indique si oui ou non un certain élément $x$ appartient à $F$ ou pas.

Quelques exemples

$\phi_{F}(a) = 1$
$\phi_{F}(c) = 0$
$\phi_{F \cap G}(a) = 0$
$\phi_{F \cap G}(b) = 1$
$\phi_{F \cup G}(d) = 0$
$\phi_{F \cup G}(a) = 1$
$\phi_{F \Delta G}(b) = 0$
$\phi_{E}(a) = \phi_{E}(b) = \phi_{E}(c) = \phi_{E}(d) = 1$

Quelques identités

Vous pouvez simplement vérifier (avec des exemples) les identités suivantes: (à partir de maintenant, on se fixe des sous-ensembles $(F,G,H,\dots)$ d'un ensemble $E$ et on imagine un point $x$ qui peut être n'importe où dans $E$)

$\phi_{\bar{A}}=1-\phi_{A}$
$\phi_{A \cap B} = \phi_{A}\phi_{B}$
$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B}$
$\phi_{A\backslash B} = \phi_{A} - \phi_{A}\phi_{B}$

où $\bar{A}$ est le complément de $A$ dans $E$. Vérifions par exemple la fonction indicatrice d'une union de deux sous-ensembles $F$ et $G$, les deux configurations qu'on peut avoir sont: le point $x$ imaginé peut être dans l'un des états suivants, on va vérifier la véracité de l'égalité $\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B}$ pour chaque état: $$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B} = 1 + 0 - 1 . 0 = 1$$ $$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B} = 1 + 1 - 1 . 1 = 1$$ $$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B} = 0 + 0 - 0 . 0 = 0$$ $$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B} = 1 + 0 - 1 . 0 = 1$$ $$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B} = 0 + 0 - 0 . 0 = 0$$ Vous pouvez vérifier facilement que toutes autres égalités sont vraies.
En utilisant ces relations, montrer que [À faire]: $$\phi_{A \Delta B} = \phi_{A} + \phi_{B} - 2\phi_{A}\phi_{B}$$ Cette relation est très importante car on va l'utiliser pour montrer que $(\mathcal{P},\Delta,\cup)$ est un anneau$

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Groupes quotients, Z/nZ

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La raison pour laquelle j'ai décidé de consacrer tout une séance à la notion de groupes quotients est que je juge que cette notion est très importante, et parfois difficile à assimiler, je vais donc essayer de bien la faire comprendre en illustrant avec des exemples (les fameux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$).

Soit $(G,\star)$ un groupe et $G'$ un sous-groupe de $G$. La définition d'un groupe quotient passe par trois étapes:

1. D'abord on définit une relation d'équivalence sur $G$
   • $\forall (a,b) \in G : a \mathcal{R} b \iff a \star b^{-1} \in G'$
   Il est facile de montrer que cette relation est bien une relation d'équivalence (réflexive, symétrique et transitive), ce serait un très bon exercice de le démontrer [faites le]
2. En utilisant cette relation, on construit le quotient de l'ensemble $G$ : $G/\mathcal{R}$, on le note habituellement $G/G'$ au lieu de $G/\mathcal{R}$, on note les éléments de $G/G'$ par leurs représentants avec un point au dessus ($\dot{a}, \dot{b}, \dot{c}, ...\text{etc}$), on muni ensuite ce nouvel ensemble d'une loi notée $\oplus$ définie par:
   • $\forall (\dot{a},\dot{b}) \in {(G/G')}^{2} : \dot{a} \oplus \dot{b} = \dot{\overline{a\star b}}$
3. $\oplus$ n'est pas forcément une l.c.i dans $G/G'$, elle devient une l.c.i si $\star$ est commutative, ce serait un très bon exercice de le démontrer [faites le]
   Maintenant donc, si $(G,\star)$ est un groupe abélien, alors $(G/G',\oplus)$ devient un groupe abélien, on l'appelle le groupe de quotient de $G$ par $G'$, ce serait un très bon exercice de le démontrer [faites le]

Explications

1. Que fait-on vraiment quand on quotienne un ensemble par une relation d’équivalence? Prenons un exemple simple:
   J'ai l'ensemble suivante: $$E = \{33, 64, 87, 100, 60, 12, 555, 6, 1, 44, 8, 55\}$$
   J'ai la relation d'équivalence suivante: $$\forall(a,b)\in E^{2}:a\mathcal{R}b\iff\left(\overset{\text{la somme des chiffres composant }a}{\underset{\text{la somme des chiffres composant }b}{=}}\right)$$ Il est facile de voir que c'est bien une relation d'équivalence (puisque s'appuyant sur une relation d’équivalence bien connue: $=$). Si on applique cette relation sur les éléments de $E$ on trouve: $$33\;\mathcal{R}\;60\;\mathcal{R}\;6$$ $$64\;\mathcal{R}\;55$$ $$87\;\mathcal{R}\;555$$ $$100\;\mathcal{R}\;1$$ $$44\;\mathcal{R}\;8$$ Et $12$ qui n'est lié à aucun autre élément.
   Autrement dit, l'ensemble quotient $E/\mathcal{R}$ est: $$ E /\mathcal{R} = \{ \{33, 60, 6\}, \{64, 55\}, \{87, 555\}, \{100, 1\}, \{44, 8\}, \{12\} \}$$ Il faut bien comprendre que les éléments de $E/\mathcal{R}$ sont des sous-ensembles: C'est comme si on mettait tout les éléments équivalents dans un sac, l'ensemble de ces sacs est l'ensemble quotient $E/\mathcal{R}$.
   
   Maintenant, tout les éléments d'un même sac sont équivalents, c'est à dire qu'ils sont considérés comme égaux en quelque sort, ce qu'on va faire donc, c'est choisir dans chaque sac un élément pour représenter ses compagnons dans le sac, on dit que c'est un représentant et on le note généralement avec un point au dessus de la tête.
   L'ensemble constituant le sac est appelé une classe d'équivalence.
   Par exemple on peut choisir le représentant du sac $\{33, 60, 6\}$ le premier élément, au lieu d'écrire $\{33, 60, 6\}$ on écrira $\dot{33}$. On peut aussi choisir $\dot{60}$ ou $\dot{6}$, tout les trois peuvent être représentants. Littéralement on a: $$\dot{33} \equiv \dot{60} \equiv \dot{6} \equiv \{33, 60, 6\}$$ Alors au lieu de voir $E/\mathcal{R}$ comme un ensemble constitué de sous ensembles, il est préférable de le voir comme un ensemble constitué de représentants ou si vous préférez de classes d'équivalences: Ici on a choisit comme représentants: $$E /\mathcal{R} = \{\dot{60}, \dot{55}, \dot{555}, \dot{1}, \dot{8} , \dot{12}\}$$
   On fait la même chose pour obtenir un groupe quotient $G/G'$, sauf que la relation d'équivalence qu'on choisit est liée au sous-groupe $G'$: $$a \mathcal{R} b \iff a \star b^{-1} \in G'$$ Vous voyez que le $G'$ apparaît dans la définition de la relation d'équivalence $\mathcal{R}$, d'ailleurs c'est pour cette raison qu'on note l'ensemble quotient $G/G'$ au lieu de $G/\mathcal{R}$, car $\mathcal{R}$ est intimement liée à $G'$.
   
   Comment construire $G/G'$? Je choisis un élément $x$ de $G$ est je commence à tester sa composition (en utilisant $\star$) avec les symétriques de tout les autres éléments, si jamais je trouve un élément $y$ tel que $x \star y^{-1} \in G'$ je met cet élément $y$ dans le même sac que $x$ et ainsi de suite.... quand j'aurais vérifié tout les éléments, je passe à un autre élément $x'$ et je commence à remplir son sac, quand je finis je passe à un troisième élément $x''$, ...etc jusqu'à ce que tout les éléments de $G$ soient dans un des sacs. L'ensemble constitué de ces sac est alors appelé l'ensemble quotient $G/G'$ (on n'a pas encore montré que c'est un groupe)
   Question (#Q-GRQ1)
   Si $a \in G'$, à quoi est égale la classe d'équivalence $\dot{a}$?
   La réponse était $\dot a = G'$ lui-même
2. Que veut dire la loi $\oplus$ ? Cette loi est définie par: $$\forall (\dot{a},\dot{b}) \in {(G/G')}^{2} : \dot{a} \oplus \dot{b} = \dot{\overline{a\star b}}$$ C'est une loi définie non pas entre les éléments de $G$ mais entre les éléments de $G/G'$, c'est à dire entre les sacs. Elle veut dire que si je compose entre deux sacs représentés par $\dot{a}$ et $\dot{b}$ (avec $\oplus$) je trouverais le sac dans lequel se trouve l'élément $a \star b$.
3. Quand est-ce que $G/G'$ devient-il un groupe? D'abord, avant tout il faut que la loi $\oplus$ soit une l.c.i dans l'ensemble quotient $G/G'$, on peut vérifier [faites le] que $\oplus$ devient une l.c.i si la loi $\star$ est commutative, les autres propriétés du groupe (associativité, élément neutre et symétrisablilité des éléments) découlent des mêmes propriétés qui définissent le groupe $G$ [faites le].
   

Exemples

Les exemples les plus connus de quotients de groupes sont les $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (pour la loi $+$). On va maintenant voir que représentent vraiment ces groupes avec des exemples, mais d'abord une petite définition:

• Ensemble n$\mathbb{Z}$ C'est l'ensemble des entiers relatifs multiples de $n$, c'est à dire ceux qui s'écrivent comme $nk$ pour $k \in \mathbb{Z}$ par exemple:
  • $2\mathbb{Z}$ est l'ensemble des entier relatifs paires $$2\mathbb{Z} = \{\dots,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots\}$$
    
  • $3\mathbb{Z}$ est l'ensemble des entier relatifs paires $$3\mathbb{Z} = \{\dots,-6,-3,0,3,6,\dots\}$$
    
  • ...etc

Maintenant voyons l'exemple de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:

On a le groupe $(\mathbb{Z},+)$ et on a le sous-groupe $(2\mathbb{Z},+)$ (ce dernier est bien un sous-groupe parce que $+$ y reste associative, $e=0$ s'y trouve, chaque élément est symétrisable et $+$ est une l.c.i car la somme de deux nombres paires est aussi paire): Maintenant voyons à quoi ressemble le groupe quotient $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:
• Choisissons un élément $x$ de $2\mathbb{Z}$ (donc $x$ est paire) et cherchons les éléments qui lui sont équivalents (remplissons son sac), $y$ est équivalent à $x$ si $x + y^{-1} \in 2\mathbb{Z}$, mais $y^{-1}$ pour la loi $+$ c'est simplement l'opposé $y^{-1} \equiv -y$, il faut donc chercher les éléments $y$ de $\mathbb{Z}$ tels que $x-y \in 2\mathbb{Z}$, autrement dit tels que $x-y$ soit paire. Il est claire que pour que $x-y$ soit paire pour $x$ paire ($x \in 2\mathbb{Z}$) il faut que $y$ soit aussi paire, donc les éléments qui sont équivalents à $x \in 2\mathbb{Z}$ sont tout les élément de $2\mathbb{Z}$, $2\mathbb{Z}$ forme donc à lui seul un sac (on dit une classe d'équivalence).
  
• Choisissons maintenant un élément $x$ en dehors de $2\mathbb{Z}$ c'est à dire un élément impaire, et cherchons tout les $y$ de $\mathbb{Z}$ tels que $x-y \in 2\mathbb{Z}$, c'est à dire tels que $x-y$ soit paire, il est claire que $y$ doit être impaire, donc les éléments qui sont équivalents à un nombre impaire $x$ sont tout les nombres impaires $\mathbb{Z} \backslash 2\mathbb{Z}$ qu'on note aussi $2\mathbb{Z}+1$
On en conclut qu'il n'y a que deux classes d'équivalences (deux sacs) dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ l'une est l'ensemble des nombres paires, et l'autre l'ensemble des nombres impaires: Si on choisit des représentants dans chaque sac (habituellement on choisit $\dot{0}$ et $\dot{1}$) $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ vaudra: $$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \{\dot{0},\dot{1}\}$$ Et ressemblera à ça:

Et l'exemple de $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$:

On a le groupe $(\mathbb{Z},+)$ et on a le sous-groupe $(10\mathbb{Z},+)$ des nombres multiples de $10$ (ce dernier est bien un sous-groupe parce que $+$ y reste associative, $e=0$ s'y trouve, chaque élément est symétrisable et $+$ est une l.c.i car la somme de deux nombres multiples de $10$ est aussi multiple de $10$): Maintenant voyons à quoi ressemble le groupe quotient $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$:
• Choisissons un élément $x$ de $10\mathbb{Z}$ (donc $x$ est de la forme $10k$ pour $k \in \mathbb{Z}$) et cherchons les éléments qui lui sont équivalents (remplissons son sac), $y$ est équivalent à $x$ si $x + y^{-1} \in 10\mathbb{Z}$, mais $y^{-1}$ pour la loi $+$ c'est simplement l'opposé $y^{-1} \equiv -y$, il faut donc chercher les éléments $y$ de $\mathbb{Z}$ tels que $x-y \in 10\mathbb{Z}$, autrement dit tels que $x-y$ soit multiple de $10$. Il est claire que pour que $x-y$ soit multiple de $10$ pour $x$ aussi multiple de $10$ ($x \in 10\mathbb{Z}$) il faut que $y$ soit aussi multiple de $10$, donc les éléments qui sont équivalents à $x \in 10\mathbb{Z}$ sont tout les élément de $10\mathbb{Z}$, $10\mathbb{Z}$ forme donc à lui seul un sac (on dit une classe d'équivalence).
  
• Choisissons maintenant un élément $x$ en dehors de $10\mathbb{Z}$, et cherchons tout les $y$ de $\mathbb{Z}$ tels que $x-y \in 10\mathbb{Z}$, c'est à dire tels que $x-y$ soit multiple de $10$, il est claire que $y$ doit être de la forme $y = 10k + x$ pour $k \in \mathbb{Z}$, donc les éléments qui sont équivalents à un nombre $x$ sont ceux de la forme $y = 10k + x$, par exemple: $$\dot{1} = \{\dots,-21,-11,-1,1,11,21,\dots\}$$ $$\dot{2} = \{\dots,-22,-12,-2,2,12,22,\dots\}$$ $$\dot{7} = \{\dots,-27,-17,-7,7,17,27,\dots\}$$ Et la classe le groupe quotient est: $$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} = \{\dot{0},\dot{1},\dot{2},\dot{3},\dot{4},\dot{5},\dot{6},\dot{7},\dot{8},\dot{9}\}$$

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Sous-groupes et endomorphismes de groupes

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Au cours de cette séance on a démontré une propriété très importante des sous-groupes, qui nous permet de démontrer qu'un sous-ensemble non vide $H$ d'un groupe $(G,\star)$ est un sous-groupe seulement en vérifiant une condition $\forall (x,y) \in H^{2} : x \star y^{-1} \in H$
On a aussi vu les morphismes de groupes, sous forme d'un teste.
Quelques définitions:

• Groupe Un ensemble $G$ muni d'une loi de composition $\star$ forment un groupe (noté $(G,\star)$) ssi:
  1. $\star$ est une l.c.i
     
  2. $\star$ est associative
     
  3. $\star$ admet un élément neutre $e$
     
  4. Chaque élément de $G$ est symétrisable (càd qu'il admet un élément symétrique) par rapport à $\star$
• Sous-groupe Soit $(G,\star)$ un groupe et $H$ une partie de $G$ ($H \subset G$), on dit que $H$ est un sous-groupe si lui-même forme un groupe quand il est muni de la restriction de la l.c.i $\star$, en d'autres termes, ssi:
  1. $H \not= \emptyset$
     
  2. $\forall a,b \in H: a\star b \in H$
     
  3. $\forall a \in H: a^{-1} \in H$
  Les conditions 2. et 3. sont souvent appelées: stabilité de $H$ par la loi $\star$ et stabilité de $H$ par passage à l'élément inverse (retenez bien ce vocabulaire).
• Homomorphismes de groupes Soient $(G,\star)$ et $(H,\bullet)$ deux groupes, $e$ et $h$ sont leurs éléments neutres respectifs.
  Une application $f: G \longrightarrow H$ est appelée homomorphisme des groupes ssi: $$\forall (a,b) \in G^{2}: f(a \star b) = f(a) \bullet f(b)$$
  • Si en plus $f$ est bijective, on dit que c'est un isomorphisme de groupes et on dit que $G$ et $H$ sont isomorphes
    
  • Si $G=H$ on dit que c'est un endomorphisme (le préfixe endo. veut dire à l’intérieur, car $f$ agit à l'intérieur de $G$)
    
  • Si les deux conditions précédentes sont réunies on dit que $f$ est une automorphisme
Pour bien comprendre ce qu'est un homomorphisme de groupes, prenons une exemple d'une application qui n'est pas un homomorphisme, schématiquement ça donne ça: Cela veut dire que $f(a \star b)$ n'est pas forcément égale à $f(a) \bullet f(b)$. Mais si par hasard elle sont égales pour toutes paire $(a,b)$ $$\forall (a,b) \in G^{2}: f(a \star b) = f(a) \bullet f(b)$$ Alors on appelle $f$ homomorphisme.

Maintenant passons à la correction:

• Exrcice 4 Montrer qu'un sous-ensemble non vide $H$ d'un groupe $(G,\star)$ est un sous-groupe ssi: $$\forall (x,y) \in H^{2} : x \star y^{-1} \in H$$
  
• Corrigé 4 Ce qu'il faut qu'on démontre c'est l'équivalence suivante: $$\left((H,\star)\text{ est un sous-groupe}\right)\iff\begin{cases} H\not=\emptyset\\ \forall(x,y)\in H^{2}: & x\star y^{-1}\in H\end{cases}$$
  1. Démonstration de $\left((H,\star)\text{ est un sous-groupe}\right)\Longrightarrow\begin{cases} H\not=\emptyset\\ \forall(x,y)\in H^{2}: & x\star y^{-1}\in H\end{cases}$ Supposons que $H$ est un sous groupe et essayons de montrer que ça implique les deux conditions dans l'accolade:
     1. Est-ce que $H \not= \emptyset$ ?
        Puisque $H$ est un groupe il contient automatiquement au moins un élément qui est l'élément neutre $e$, il ne peux donc jamais être nul.
        
     2. Est-ce que $\forall(x,y)\in H^{2}: x\star y^{-1}\in H$ ?
        On a: $$\forall(a,b)\in H:b^{-1}\in H\text{ (parceque }H\text{ est stable par passage à l'élément inverse)}$$ Maintenant puisque $a$ et $b^{-1}$ sont tout deux dans $H$ on aura: $$a \star b^{-1} \in H \text{ (parce que }H\text{ est stable par }\star\text{)}$$ On a donc montré que $\forall(a,b)\in H: a \star b^{-1} \in H$
     On a fini de démontrer la première implication, passons à la deuxième:
  2. Démonstration de $\begin{cases} H\not=\emptyset & \text{#1}\\ \forall(x,y)\in H^{2}:x\star y^{-1}\in H & \text{#2}\end{cases}\Longrightarrow\left((H,\star)\text{ est un sous-groupe}\right)$ Supposons donc que les deux hypothèses #1 et #2 sont vraies, et voyons si ça implique que $H$ soit un groupe, càd si ça implique les 4 conditions qui définissent un groupe (voir début de la page), on va vérifier une par une ces conditions:
     1. Est-ce qu'il existe un élément neutre dans $H$ ? $H$ est un sous-ensemble de $G$, les éléments de $H$ sont donc aussi éléments de $G$, le seul élément qui peut être élément neutre pour les éléments de $H$ est donc l'élément neutre $e$ de $(G,\star)$. La question est donc, est-ce que cet élément neutre $e$ appartient à $H$?
        On va jouer avec la liberté que nous donne l’expression $\forall (x,y) \in H^{2}$ dans l'hypothèse #2 pour choisir $a$ et $b$ de telle façon qu'on arrive à notre but.
        On choisit $a = x$ et $b = x$ pour un certain élément $x$ arbitraire, l'hypothèse #1 nous assure qu'on pourra toujours trouver au moins un tel élément $x$, et l'hypothèse #2 devient: $$\forall x \in H, x \star x^{-1} = e \in H$$ On a donc montré que $e$ appartient à $H$.
        
     2. Est-ce que chaque élément de $H$ possède un symétrique? On sait que $e \in H$, jouons encore une fois avec la liberté de choix qu'on a dans l'hypothèse #2 pour choisir $a$ et $b$.
        Choisissons $a = e$ et $b = x$ pour un certain élément $x$ arbitraire, encore une fois, l'hypothèse #1 nous assure qu'on pourra toujours trouver au moins un tel élément $x$, et l'hypothèse #2 devient: $$\forall y \in H : e \star y^{-1} = y^{-1} \in H$$ On donc démontré que chaque élément $y$ possède un symétrique $y^{-1}$ qui est dans $H$.
        
     3. Est-ce que la loi $\star$ est interne dans $H$ ? on vient de démontré que chaque élément possède son symétrique dans $H$: $$\forall (x,y) \in H^{2} : y^{-1} \in H$$ Maintenant si $x \in H$ et $y^{-1} \in H$ l'hypothèse #2 nous dit: $$x \star (y^{-1})^{-1} \in H$$ C'est à dire: $$x \star y \in H$$ On vient donc de démontrer que: $$\forall (x,y) \in H^{2} : x \star y \in H$$ Donc la lois $\star$ est bien une l.c.i
        
     4. Est-ce que la loi $\star$ est associative dans $H$ ? Oui, parce qu'elle est associative dans $G$, et $H$ est un sous-ensemble de $G$, plus précisément on a l'implication suivante:
        $\forall (x,y,z) \in G: (x \star y) \star z = x \star (y \star z)$ $$\Longrightarrow \forall (x,y,z) \in H: (x \star y) \star z = x \star (y \star z)$$
     On a donc fini de démontrer que $(H,\star)$ est un groupe (plus précisément un sous-groupe)
• Exercice 5 Soit $G$ un groupe doté d'une l.c.i notée multiplicativement, on fait correspondre à chaque élément $a$ de $G$ un application de $f_{a}:E \longrightarrow E$ définie par: $$\forall x \in G: f_{a}(x) = a^{-1}xa$$ Montrer que $f_{a}$ est un endomorphisme dans $G$
  
• Corrigé 5 Un endomorphisme est simplement un homomorphisme défini à l’intérieur d'un même groupe. Ce qu'il faut qu'on vérifie c'est donc: $$\forall (a,x,y) \in G^{2} : f_{a}(xy) = f_{a}(x)\,f_{a}(y)$$ Voyons cela: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,x,y)\in G^{2}:f_{a}(xy) & = & a^{-1}xya\\ & = & a^{-1}xeya\\ & = & a^{-1}xaa^{-1}ya\\ & = & f_{a}(x)f_{a}(y)\text{ CQFD}\end{eqnarray*}$$ La proposition est donc vraie.
  
• Exercice 6 Soit $f$ un application entre deux groupes $(G,\star)$ et $(H,\bullet)$ qui ont respectivement $e$ et $h$ comme éléments neutres: $$f:\, G \longrightarrow H$$ On appelle noyau de $f$ le sous-ensemble des éléments de $G$ qui ont $h$ comme image: $$ker(f)=\{x\in G:\, f(x)=h\}$$ Montrer que $ker(f)$ est un sous-groupe de $G$, puis montrer que $f$ est bijective ssi $ker(f)={e}$
  
• Corrigé 6 [Bientôt...]

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