Groupes quotients, Z/nZ

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La raison pour laquelle j'ai décidé de consacrer tout une séance à la notion de groupes quotients est que je juge que cette notion est très importante, et parfois difficile à assimiler, je vais donc essayer de bien la faire comprendre en illustrant avec des exemples (les fameux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$).

Soit $(G,\star)$ un groupe et $G'$ un sous-groupe de $G$. La définition d'un groupe quotient passe par trois étapes:

1. D'abord on définit une relation d'équivalence sur $G$
   • $\forall (a,b) \in G : a \mathcal{R} b \iff a \star b^{-1} \in G'$
   Il est facile de montrer que cette relation est bien une relation d'équivalence (réflexive, symétrique et transitive), ce serait un très bon exercice de le démontrer [faites le]
2. En utilisant cette relation, on construit le quotient de l'ensemble $G$ : $G/\mathcal{R}$, on le note habituellement $G/G'$ au lieu de $G/\mathcal{R}$, on note les éléments de $G/G'$ par leurs représentants avec un point au dessus ($\dot{a}, \dot{b}, \dot{c}, ...\text{etc}$), on muni ensuite ce nouvel ensemble d'une loi notée $\oplus$ définie par:
   • $\forall (\dot{a},\dot{b}) \in {(G/G')}^{2} : \dot{a} \oplus \dot{b} = \dot{\overline{a\star b}}$
3. $\oplus$ n'est pas forcément une l.c.i dans $G/G'$, elle devient une l.c.i si $\star$ est commutative, ce serait un très bon exercice de le démontrer [faites le]
   Maintenant donc, si $(G,\star)$ est un groupe abélien, alors $(G/G',\oplus)$ devient un groupe abélien, on l'appelle le groupe de quotient de $G$ par $G'$, ce serait un très bon exercice de le démontrer [faites le]

Explications

1. Que fait-on vraiment quand on quotienne un ensemble par une relation d’équivalence? Prenons un exemple simple:
   J'ai l'ensemble suivante: $$E = \{33, 64, 87, 100, 60, 12, 555, 6, 1, 44, 8, 55\}$$
   J'ai la relation d'équivalence suivante: $$\forall(a,b)\in E^{2}:a\mathcal{R}b\iff\left(\overset{\text{la somme des chiffres composant }a}{\underset{\text{la somme des chiffres composant }b}{=}}\right)$$ Il est facile de voir que c'est bien une relation d'équivalence (puisque s'appuyant sur une relation d’équivalence bien connue: $=$). Si on applique cette relation sur les éléments de $E$ on trouve: $$33\;\mathcal{R}\;60\;\mathcal{R}\;6$$ $$64\;\mathcal{R}\;55$$ $$87\;\mathcal{R}\;555$$ $$100\;\mathcal{R}\;1$$ $$44\;\mathcal{R}\;8$$ Et $12$ qui n'est lié à aucun autre élément.
   Autrement dit, l'ensemble quotient $E/\mathcal{R}$ est: $$ E /\mathcal{R} = \{ \{33, 60, 6\}, \{64, 55\}, \{87, 555\}, \{100, 1\}, \{44, 8\}, \{12\} \}$$ Il faut bien comprendre que les éléments de $E/\mathcal{R}$ sont des sous-ensembles: C'est comme si on mettait tout les éléments équivalents dans un sac, l'ensemble de ces sacs est l'ensemble quotient $E/\mathcal{R}$.
   
   Maintenant, tout les éléments d'un même sac sont équivalents, c'est à dire qu'ils sont considérés comme égaux en quelque sort, ce qu'on va faire donc, c'est choisir dans chaque sac un élément pour représenter ses compagnons dans le sac, on dit que c'est un représentant et on le note généralement avec un point au dessus de la tête.
   L'ensemble constituant le sac est appelé une classe d'équivalence.
   Par exemple on peut choisir le représentant du sac $\{33, 60, 6\}$ le premier élément, au lieu d'écrire $\{33, 60, 6\}$ on écrira $\dot{33}$. On peut aussi choisir $\dot{60}$ ou $\dot{6}$, tout les trois peuvent être représentants. Littéralement on a: $$\dot{33} \equiv \dot{60} \equiv \dot{6} \equiv \{33, 60, 6\}$$ Alors au lieu de voir $E/\mathcal{R}$ comme un ensemble constitué de sous ensembles, il est préférable de le voir comme un ensemble constitué de représentants ou si vous préférez de classes d'équivalences: Ici on a choisit comme représentants: $$E /\mathcal{R} = \{\dot{60}, \dot{55}, \dot{555}, \dot{1}, \dot{8} , \dot{12}\}$$
   On fait la même chose pour obtenir un groupe quotient $G/G'$, sauf que la relation d'équivalence qu'on choisit est liée au sous-groupe $G'$: $$a \mathcal{R} b \iff a \star b^{-1} \in G'$$ Vous voyez que le $G'$ apparaît dans la définition de la relation d'équivalence $\mathcal{R}$, d'ailleurs c'est pour cette raison qu'on note l'ensemble quotient $G/G'$ au lieu de $G/\mathcal{R}$, car $\mathcal{R}$ est intimement liée à $G'$.
   
   Comment construire $G/G'$? Je choisis un élément $x$ de $G$ est je commence à tester sa composition (en utilisant $\star$) avec les symétriques de tout les autres éléments, si jamais je trouve un élément $y$ tel que $x \star y^{-1} \in G'$ je met cet élément $y$ dans le même sac que $x$ et ainsi de suite.... quand j'aurais vérifié tout les éléments, je passe à un autre élément $x'$ et je commence à remplir son sac, quand je finis je passe à un troisième élément $x''$, ...etc jusqu'à ce que tout les éléments de $G$ soient dans un des sacs. L'ensemble constitué de ces sac est alors appelé l'ensemble quotient $G/G'$ (on n'a pas encore montré que c'est un groupe)
   Question (#Q-GRQ1)
   Si $a \in G'$, à quoi est égale la classe d'équivalence $\dot{a}$?
   La réponse était $\dot a = G'$ lui-même
2. Que veut dire la loi $\oplus$ ? Cette loi est définie par: $$\forall (\dot{a},\dot{b}) \in {(G/G')}^{2} : \dot{a} \oplus \dot{b} = \dot{\overline{a\star b}}$$ C'est une loi définie non pas entre les éléments de $G$ mais entre les éléments de $G/G'$, c'est à dire entre les sacs. Elle veut dire que si je compose entre deux sacs représentés par $\dot{a}$ et $\dot{b}$ (avec $\oplus$) je trouverais le sac dans lequel se trouve l'élément $a \star b$.
3. Quand est-ce que $G/G'$ devient-il un groupe? D'abord, avant tout il faut que la loi $\oplus$ soit une l.c.i dans l'ensemble quotient $G/G'$, on peut vérifier [faites le] que $\oplus$ devient une l.c.i si la loi $\star$ est commutative, les autres propriétés du groupe (associativité, élément neutre et symétrisablilité des éléments) découlent des mêmes propriétés qui définissent le groupe $G$ [faites le].
   

Exemples

Les exemples les plus connus de quotients de groupes sont les $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (pour la loi $+$). On va maintenant voir que représentent vraiment ces groupes avec des exemples, mais d'abord une petite définition:

• Ensemble n$\mathbb{Z}$ C'est l'ensemble des entiers relatifs multiples de $n$, c'est à dire ceux qui s'écrivent comme $nk$ pour $k \in \mathbb{Z}$ par exemple:
  • $2\mathbb{Z}$ est l'ensemble des entier relatifs paires $$2\mathbb{Z} = \{\dots,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots\}$$
    
  • $3\mathbb{Z}$ est l'ensemble des entier relatifs paires $$3\mathbb{Z} = \{\dots,-6,-3,0,3,6,\dots\}$$
    
  • ...etc

Maintenant voyons l'exemple de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:

On a le groupe $(\mathbb{Z},+)$ et on a le sous-groupe $(2\mathbb{Z},+)$ (ce dernier est bien un sous-groupe parce que $+$ y reste associative, $e=0$ s'y trouve, chaque élément est symétrisable et $+$ est une l.c.i car la somme de deux nombres paires est aussi paire): Maintenant voyons à quoi ressemble le groupe quotient $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:
• Choisissons un élément $x$ de $2\mathbb{Z}$ (donc $x$ est paire) et cherchons les éléments qui lui sont équivalents (remplissons son sac), $y$ est équivalent à $x$ si $x + y^{-1} \in 2\mathbb{Z}$, mais $y^{-1}$ pour la loi $+$ c'est simplement l'opposé $y^{-1} \equiv -y$, il faut donc chercher les éléments $y$ de $\mathbb{Z}$ tels que $x-y \in 2\mathbb{Z}$, autrement dit tels que $x-y$ soit paire. Il est claire que pour que $x-y$ soit paire pour $x$ paire ($x \in 2\mathbb{Z}$) il faut que $y$ soit aussi paire, donc les éléments qui sont équivalents à $x \in 2\mathbb{Z}$ sont tout les élément de $2\mathbb{Z}$, $2\mathbb{Z}$ forme donc à lui seul un sac (on dit une classe d'équivalence).
  
• Choisissons maintenant un élément $x$ en dehors de $2\mathbb{Z}$ c'est à dire un élément impaire, et cherchons tout les $y$ de $\mathbb{Z}$ tels que $x-y \in 2\mathbb{Z}$, c'est à dire tels que $x-y$ soit paire, il est claire que $y$ doit être impaire, donc les éléments qui sont équivalents à un nombre impaire $x$ sont tout les nombres impaires $\mathbb{Z} \backslash 2\mathbb{Z}$ qu'on note aussi $2\mathbb{Z}+1$
On en conclut qu'il n'y a que deux classes d'équivalences (deux sacs) dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ l'une est l'ensemble des nombres paires, et l'autre l'ensemble des nombres impaires: Si on choisit des représentants dans chaque sac (habituellement on choisit $\dot{0}$ et $\dot{1}$) $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ vaudra: $$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \{\dot{0},\dot{1}\}$$ Et ressemblera à ça:

Et l'exemple de $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$:

On a le groupe $(\mathbb{Z},+)$ et on a le sous-groupe $(10\mathbb{Z},+)$ des nombres multiples de $10$ (ce dernier est bien un sous-groupe parce que $+$ y reste associative, $e=0$ s'y trouve, chaque élément est symétrisable et $+$ est une l.c.i car la somme de deux nombres multiples de $10$ est aussi multiple de $10$): Maintenant voyons à quoi ressemble le groupe quotient $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$:
• Choisissons un élément $x$ de $10\mathbb{Z}$ (donc $x$ est de la forme $10k$ pour $k \in \mathbb{Z}$) et cherchons les éléments qui lui sont équivalents (remplissons son sac), $y$ est équivalent à $x$ si $x + y^{-1} \in 10\mathbb{Z}$, mais $y^{-1}$ pour la loi $+$ c'est simplement l'opposé $y^{-1} \equiv -y$, il faut donc chercher les éléments $y$ de $\mathbb{Z}$ tels que $x-y \in 10\mathbb{Z}$, autrement dit tels que $x-y$ soit multiple de $10$. Il est claire que pour que $x-y$ soit multiple de $10$ pour $x$ aussi multiple de $10$ ($x \in 10\mathbb{Z}$) il faut que $y$ soit aussi multiple de $10$, donc les éléments qui sont équivalents à $x \in 10\mathbb{Z}$ sont tout les élément de $10\mathbb{Z}$, $10\mathbb{Z}$ forme donc à lui seul un sac (on dit une classe d'équivalence).
  
• Choisissons maintenant un élément $x$ en dehors de $10\mathbb{Z}$, et cherchons tout les $y$ de $\mathbb{Z}$ tels que $x-y \in 10\mathbb{Z}$, c'est à dire tels que $x-y$ soit multiple de $10$, il est claire que $y$ doit être de la forme $y = 10k + x$ pour $k \in \mathbb{Z}$, donc les éléments qui sont équivalents à un nombre $x$ sont ceux de la forme $y = 10k + x$, par exemple: $$\dot{1} = \{\dots,-21,-11,-1,1,11,21,\dots\}$$ $$\dot{2} = \{\dots,-22,-12,-2,2,12,22,\dots\}$$ $$\dot{7} = \{\dots,-27,-17,-7,7,17,27,\dots\}$$ Et la classe le groupe quotient est: $$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} = \{\dot{0},\dot{1},\dot{2},\dot{3},\dot{4},\dot{5},\dot{6},\dot{7},\dot{8},\dot{9}\}$$

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