On a découvert la notion de stabilité par rapport à la l.c.i ou par rapport au passage à l'élément inverse, mais d'abord, la définition d'un groupe et d'un sous groupe:
- Groupe Un ensemble $G$ muni d'une loi de composition $\star$ forment un groupe (noté $(G,\star)$) ssi:
- $\star$ est une l.c.i
- $\star$ est associative
- $\star$ admet un élément neutre $e$
- Chaque élément de $G$ est symétrisable (càd qu'il admet un élément symétrique) par rapport à $\star$
- $\star$ est une l.c.i
- Sous-groupe Soit $(G,\star)$ un groupe et $H$ une partie de $G$ ($H \subset G$), on dit que $H$ est un sous-groupe si lui-même forme un groupe quand il est muni de la restriction de la l.c.i $\star$, en d'autres termes, ssi:
- $H \not= \emptyset$
- $\forall a,b \in H: a\star b \in H$
- $\forall a \in H: a^{-1} \in H$
- $H \not= \emptyset$
- En premier lieu bien sûr en mathématique où ils permettent par exemple de résoudre des équations différentielles
- Leur utilisation la plus spectaculaire est sans doute dans la physique moderne, en effet, les groupes permettent de mettre en lumière des symétries qui existent dans notre univers, de la plus petite particule aux galaxies, la théorie des groupes a permit des classifier les particules, de mettre à nu des symétries de l'espace-temps, de faire des progrès grandioses dans la nano-technologie, ...etc
- On peut utiliser les groupes en économie!
- On peut utiliser les groupes en sociologie!
- On peut même utiliser les groupes en psychologie!
- etc...
- Exercice 1 Soit $G$ un ensemble muni d'une l.c.i notée $\star$ vérifiant les conditions suivantes:
- $\forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (z \star y)$
- Il existe un élément neutre à gauche
- Chaque élément admet un symétrique à gauche
- $\forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (z \star y)$
- Corrigé 1 Que doit-on démontrer? On doit démontrer les quatre conditions pour que $G$ soit un groupe qui sont:
- $\star$ est une l.c.i
- $\star$ est associative
- $\star$ admet un élément neutre $e$
- Chaque élément de $G$ est symétrisable (càd qu'il admet un élément symétrique) par rapport à $\star$
- Il existe un élément neutre $e$ à gauche
- $\forall x \in G : e \star x = x$
- Chaque élément admet un symétrique à gauche
- $\forall x \in G : \exists x^{-1} \in G , x^{-1} \star x = e$
Mais on a besoin de montrer qu'il existe un élément neutre pas seulement à gauche, mais à gauche et à droite, et on a aussi besoin de montrer qu'il existe un élément symétrique pour chaque élément de $G$ pas seulement à gauche, mais à gauche et à droite, c'est à dire qu'on a besoin de montrer que:
BLOC 2- Il existe un élément neutre $e$
- $\forall x \in G : e \star x = x = x \star e$
- Chaque élément admet un symétrique
- $\forall x \in G : \exists x^{-1} \in G , x^{-1} \star x = e = x \star x^{-1}$
On voit bien que pour arriver à passer du BLOC 1 au BLOC 2 il suffit de montrer que $\star$ est commutative! D’ailleurs c'est demandé dans la question: Montrer que $(G,\star)$ est un groupe commutatif. On remarque aussi que si $\star$ est commutatif, la donnée 1. de l'exercice devient de fait l'associativité, car on peut interchanger $z$ et $y$ $$\forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (z \star y) \iff \forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (y \star z)$$ Alors, on a bien compris que le seul but qu'on a maintenant, c'est de montrer que $\star$ est commutative, càd de montrer que: $$\forall x,y \in G: x \star y = y \star x$$ À partir de quelle relation donnée (dans l'exercice) on peut dériver cette relation? Il n'y a qu'un seule, c'est forcément elle qu'on doit utiliser, c'est: $$\forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (z \star y)$$ et il faut arriver à: $$\forall x,y \in G: x \star y = y \star x$$ Le problème c'est que dans l'une, on a 3 éléments qui apparaissent et dans l'autre seulement deux, il faut donc éliminer un élément, on a essayé dans la séance d'éliminer en composant (à gauche) avec les symétriques, ça n'a pas marché. On a alors réfléchis à cette question:
J'ai trois éléments $x,y,z$ et je veux éliminer un (sans passer par la composition avec le symétrique)
Deux étudiants (de deux groupes différents) m'ont proposé de mettre l'un des élément égale à $1$ ou $0$ (l'un a dit $1$ puis $0$ et l'autre à dit le contraire ce que j'ai trouvé très marrant :-)), l'idée est bonne, mais elle n'est pas générale, car il ne faut pas oublier que ces élément $x,y,z$ peuvent être n'importe quoi, des nombres, des ensembles, des planètes, des humains, ...etc. Alors que représentent vraiment les $1$ et $0$? Ce sont les éléments neutres des l.i.c $\times$ et $+$ respectivement, mais là on a une l.c.i quelconque, donc la réponse est:
Mettre l'un des éléments égale à l'élément neutre $e$
Maintenant la question est: lequel mettre égale à $e$, vous pouvez tester les 3 si vous voulez et voir lequel va vous donner le résultat escompté, mais si vous réfléchissez juste un peu, vous remarquerez que pour le moment $e$ est élément neutre seulement à gauche, il ne peut donc agir qu'à gauche, donc il faut mettre égale à $e$ l'élément qui est le plus à gauche des $x,y,z$ dans la relation 1. de l'exercice, càd mettre (fixer) $x=e$: $$\forall(y,z)\in G^{2}:(e\star y)\star z=e\star(z\star y)\iff\forall(y,z)\in G^{2}:y\star z=z\star y$$ Remarquez bien que $e$ agit ici à gauche, sinon on n'aurait pas pu le faire disparaître. Remarquez aussi que puisqu'on a fixé $x$, elle n'apparaît plus dans le $\forall$.
Pourquoi on a le droit de choisir $x$ comme on veut dans cette relation, parce que cette relation dit précisément quel que soit $x$ ($\forall x$).
On a donc réussit à montrer que $\star$ est commutative, de ce faite les relations données dans l'exercice se transforment en les relations définissant le groupe, et $G$ devient un groupe commutatif ou aussi appelé un groupe Abélien.
- $\star$ est une l.c.i
- Exercice 2 Soit $M$ un ensemble muni d'une l.c.i notée multiplicativement, associative et admettant un élément neutre noté $e$. En désignant par $U$ l'ensemble des éléments symétrisables de $M$, montrer que la restriction de la l.c.i à $U$ lui confère une structure de groupe.
- Corrigé 2 D'abord lisons bien l'énoncé:
- Notée multiplicativement veut simplement dire qu'on va noter cette loi par $\times$ ay lieu de la traditionnelle $\star$, ça n'a pas grande importance.
- On remarque que cette loi:
- est une l.c.i
- est associative
- admet un élément neutre
- est une l.c.i
- $\times$ est une l.c.i
- $\times$ est associative
- $\times$ admet un élément neutre
- tout les élément sont symétrisables par rapport à $\times$
- Est-ce que $\times$ est une l.c.i? $U$ est le sous-ensemble des éléments symétrisables, la question est donc: si je prend deux éléments $a$ et $b$ de $U$, donc symétrisables ($a^{-1}$ et $b^{-1}$ existent), est-ce-que $(a \times b)$ est aussi symétrisable? La réponse est oui, on l'a démontré dans la fiche TD numéro 1, on a montré que si $a$ et $b$ sont symétrisables, $(a \times b)$ le sera aussi et son symétrique est: $$(a \times b)^{-1}=b^{-1} \times a^{-1}$$ Donc $\times$ est bien une l.c.i dans $U$
- Est-ce que $\times$ est associative? On sait (énoncé de l'exercice) qu'elle est associative dans $M$, cette associativité se translate naturellement en une associativité dans $U$ car: $$\forall (x,y,z) \in M^{3}: (x \times y) \times z = x \times (y \times z)$$ $$\;\;\;\Longrightarrow \forall (x,y,z) \in U^{3}: (x \times y) \times z = x \times (y \times z)$$ Donc $\times$ est associative dans $U$
- Est ce que $\times$ admet un élément neutre? le seul élément susceptible d'être un élément neutre pour les éléments de $U$ est l'élément neutre de $\times$ dans $M$, car les éléments de $U$ sont avant tout des éléments de $M$ aussi, donc la question est: est-ce que l'élément neutre $e$ (de $\times$ dans $M$) se trouve à l'intérieur de $U$ ? La réponse est oui, parce qu'il est symétrisable (son symétrique est lui même car $e \times e = e$ donc $e^{-1} = e$). On a donc montré que l’élément neutre se trouve dans $U$.
- Est-ce que tout les éléments de $U$ sont symétrisables? bien sûr que oui, car la définition même de $U$ est qu'il englobe tout les éléments symétrisables
- Notée multiplicativement veut simplement dire qu'on va noter cette loi par $\times$ ay lieu de la traditionnelle $\star$, ça n'a pas grande importance.
- Exercice 3 Soit $(\mathcal{F}(E),\circ)$ l'ensemble des applications de $E$ dans lui-même. Quel est l'ensemble de ses éléments inversibles?
- Corrigé 3 Cet exercice ressemble au précédent ($\mathcal{F}(E)$ est l'ensemble des applications de $E$ vers $E$), suivez bien:
- $\circ$ est une l.c.i dans $\mathcal{F}(E)$, en effet si on compose deux applications $f$ et $g$, on obtient aussi une application $f \circ g$
- Il est facile de montrer que $\circ$ est associative, en effet si on a trois applications $f$, $g$ et $h$: $$\forall (f,g,h) \in \mathcal{F}(E)^{3}: (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$$ [démontrez ça]
- Cherchons l'élément neutre:
Soit $e$ l'élément neutre dans $\mathcal{F}(E)$ (il faut garder en tête que $e$ est une application), sa définition est: $$\forall f \in \mathcal{F}(E): f \circ e = e \circ f = f$$ Appliquons par exemple $f \circ e = f$ sur un élément $x$ de $E$ (car il ne faut pas oublier que les deux parties de cette égalité sont de applications de $E$ vers $E$, donc elle s'appliquent sur des éléments de $E$): $$\begin{eqnarray*} (f\circ e)(x)=f(x) & \iff & f[e(x)]=f(x)\\ & \iff & e(x)=x\end{eqnarray*}$$ Donc $e$ est l'application qui fait correspondre à chaque élément l'élément lui-même, on l'appelle l'application identité et on la note usuellement par $\mathbb{I}$ ou $Id$...etc
Donc l'application identité est l'élément neutre de la l.c.i $\circ$ dans $\mathcal{F}(E)$
- $\circ$ est une l.c.i dans $\mathcal{F}(E)$, en effet si on compose deux applications $f$ et $g$, on obtient aussi une application $f \circ g$
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