Commutativité, associativité, distributivité et élément neutre d'une l.c.i

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Le thème de la séance tournait autour des sujets suivants:

• $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble des parties d'un ensemble $E$
• L'union et l'intersection des ensembles
• Les notions de commutativité, d’associativité, de distributivité et d'élément neutre d'une l.c.i dans $E$ ainsi que la notion d'éléments symétriques

Un petit rappel n'est pas du luxe:

• Loi commutative une loi $\star$ est dite commutative dans $E$ ssi $$\forall a,b \in E : a \star b = b \star a$$ Par exemple:
  • $+$ est commutative dans $\mathbb{R}$
  • $\cup$ est commutative dans $\mathcal{P}(E)$
• Loi associative une loi $\star$ est dite associative dans $E$ ssi $$\forall a,b,c \in E : (a \star b) \star c = a \star (b \star c)$$
• Loi distributive une loi $\star$ est dite distributive sur la loi $\nabla$ dans $E$ ssi $$\forall a,b,c \in E: (a \nabla b) \star c = (a \star c) \nabla (b \star c)$$ $$c \star (a \nabla b) = (c \star a) \nabla (c \star b)$$
• Élément neutre on dit que l'élément $e \in E$ est un élément neutre par rapport à la l.c.i $\star$ dans $E$ ssi $$\forall a \in E: a \star e = e \star a = a$$
• Élément symétrique on dit que $b \in E$ est l'élément symétrique de $a \in E$ par rapport à la l.c.i $\star$ ssi $$a \star b = b \star a = e$$ Où $e$ est l'élément neutre de la l.c.i $\star$. Cet élément $b$ est usuellement noté $a^{-1}$

Maintenant, les corrections:

• Exercice 3 Déterminer les éléments symétriques, s'ils existent, pour les lois $\cup$ et $\cap$ dans l'ensemble des parties d'un ensemble $X$.
  Même question pour la loi $\circ$ de composition dans l'ensemble des fonctions bijectives $\mathcal{B}(E)$ de $E$ dans $E$
• Correction 3 on voit que pour définir l'élément symétrique on doit connaitre l'élément neutre (voir définition ci dessus), donc, avant de chercher les éléments symétriques, il faudra trouver l'élément neutre:
  • Pour $\cup$ Il faut trouver d'abord quel est l'élément neutre $e$.
    Dans ce cas, l'élément neutre $e$ est un ensemble (une partie dans $\mathcal{P}(X)$), sa définition est: $$e \in \mathcal{P}(X), \forall s \in \mathcal{P}(X): s \cup e = s$$ (pas la peine de vérifier $e \cup s = s$ dans ce cas car on sait déjà que $\cup$ est commutative)
    $s \cup e = s$ veut dire que $e$ doit être inclus dans $s$ ($e \subset s$), mais $s$ doit être quelconque (à cause de $\forall$), la question donc est quel est le sous-ensemble $e$ qui est inclus dans tout les ensembles, et la réponse est évidement l'ensemble vide $\emptyset$.
    Maintenant qu'on sait que l'élément neutre de l'opération $\cup$ dans $\mathcal{P}(X)$ est l'ensemble vide $\emptyset$, la définition de l'élément symétrique $s^{-1}$ de $s$ est: $$s^{-1} \cup s = \emptyset$$ Si $s$ est non vide ($s \not= \emptyset$) alors il est impossible de trouver un $s^{-1}$ telle que l'union avec lui donne $e = \emptyset$ cet ensemble est déjà rempli!
    On ne peut donc pas toujours trouver l'élément symétrique d'un élément par rapport à la l.c.i $\cup$, ce qui veut dire que les éléments symétriques pour $\cup$ n'existent pas.
  • Pour $\cap$ l'élément neutre $e \in \mathcal{P}(X)$ est défini par $$e \in \mathcal{P}(X), \forall s \in \mathcal{P}(X): s \cap e = s$$ (même remarque que tout à l'heure, $\cap$ est commutative)
    $s \cap e = s$ veut dire que $s \subset e$, mais $s$ doit être quelconque (à cause de $\forall$) la question est donc, quelle est l'ensemble $e$ qui a tous les ensembles $s \in \mathcal{P}(X)$ possibles comme sous-ensembles? La réponse est évidement le plus grand ensemble $X$ lui-même, $e = X$.
    Maintenant qu'on connait l'élément neutre pour l'opération $\cap$ dans $\mathcal{P}(X)$, cherchons l'élément symétrique $s^{-1}$ d'une élément $s$, sa définition est: $$s^{-1} \cap s = X$$ Quel est l'ensemble qui, lorsque intersecté avec un ensemble $s$ donné, donne le grand ensemble $X$? La réponse est aucun! Si $s$ est plus petit que $X$, il est impossible de l'intersecter ($\cap$) avec un autre ensemble pour qu'il donne le grand $X$, parce que l'intersection au mieux, ne le change pas, au pire, le fait rétrécir.
  • Pour $\circ$ (n'a pas été fait!)

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Ensembles et lois de composition internes

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Le thème de la séance tournait autour des sujets suivants:

• Ensembles
• Lois de composition interne

Un petit rappel s'impose donc:

• Ensemble $E$: un ensemble $E$ désigne intuitivement une collection d'objets distincts qu'on appelle éléments de cet ensemble.
• Lois de composition interne dans $E$: une l.c.i est une règle qui prend n'importe quel couple d'éléments $(a,b)$ de $E$ et donne un élément de $E$

Dans cette première séance on a en général parlé de comment montrer qu'un loi est ou n'est pas une loi de composition interne, la conclusion à laquelle on est arrivé est qu'on peut faire ceci de deux façons différentes:

1. Soit on montre que ce n'est pas une l.c.i en donnant un contre-exemple, un seul suffit.
2. Soit on montre que c'est une l.c.i en montrant que la composition de deux éléments $a$ et $b$ de $E$ redonne un élément de $E$, ceci est possible si on connait la forme qu'ont les éléments de $E$ (par exemple on sait que les éléments de $\mathbb{Q}$ s'écrivent sous la forme $\frac{a}{b}$)

Maintenant, voilà les corrections:

• Exercice 1 Considérons l'opération suivante: $a \bot b = 2 a b$. Dire si c'est une l.c.i dans $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturelles, $\mathbb{Z}$ l'ensemble des entiers relatifs, $\mathbb{Q}$ l'ensemble des nombres rationnels et $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. Même question pour l'opération: $a \star b = \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}$

• Correction 1 cette loi de composition n'est rien d'autre qu'un combinaison de deux multiplications, elle héritera donc des propriétés de la multiplication:
  • $a \bot b = 2 a b$
    
    1. Dans $\mathbb{N}$: la multiplication de deux entiers naturels est un entier naturel, la multiplication de cet entier naturel par $2$ (qui est aussi un entier naturel) donne alors un entier naturel, on ne sort donc pas de $\mathbb{N}$
    2. Dans $\mathbb{Z}$: mêmes arguments que pour 1
    3. Dans $\mathbb{Q}$: mêmes arguments que pour 1, en effet si $a,b \in \mathbb{Q}$ on peut les écrire sous la form $a=\frac{x}{y}$ et $a=\frac{x'}{y'}$
    , on aura donc: $$a \star b = \frac{2xx'}{yy'}$$
    4. Dans $\mathbb{R}$: mêmes arguments que pour 1, la multiplication de trois nombres réels (càd 2, $a$ et $b$) donne un nombre réel, on reste donc à l’intérieur de $\mathbb{R}$, la loi de composition est interne
  • $a \star b = \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}$
    
    1. Dans $\mathbb{N}$: il est claire qu'un racine ne donne pas forcément un nombre entier, ce qui veut dire que cette loi n'est pas interne dans $\mathbb{N}$
    2. Dans $\mathbb{Z}$: même arguments que pour 1, vu que le $\mathbb{Z}$ est aussi un ensemble d'entiers
    3. Dans $\mathbb{Q}$: il est claire aussi qu'une racine ne donne pas forcément un nombre rationnel, l'opération n'est donc pas une l.c.i dans $\mathbb{Q}$
    4. Dans $\mathbb{R}$: cette racine cubique $\sqrt[3]{.....}$ n'est pas comme la racine carrée $\sqrt[2]{.....}$, en effet on peut avoir un nombre négatif à l'intérieur et obtenir un nombre réel comme résultat (ce qui n'est pas le cas pour la racine carré $\sqrt[2]{.....}$), par exemple on a $\sqrt[3]{-8}=-2$ car $(-2)^{3}=-8$, la lois est donc interne dans $\mathbb{R}$

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