Commutativité, associativité, distributivité et élément neutre d'une l.c.i

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Le thème de la séance tournait autour des sujets suivants:

• $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble des parties d'un ensemble $E$
• L'union et l'intersection des ensembles
• Les notions de commutativité, d’associativité, de distributivité et d'élément neutre d'une l.c.i dans $E$ ainsi que la notion d'éléments symétriques

Un petit rappel n'est pas du luxe:

• Loi commutative une loi $\star$ est dite commutative dans $E$ ssi $$\forall a,b \in E : a \star b = b \star a$$ Par exemple:
  • $+$ est commutative dans $\mathbb{R}$
  • $\cup$ est commutative dans $\mathcal{P}(E)$
• Loi associative une loi $\star$ est dite associative dans $E$ ssi $$\forall a,b,c \in E : (a \star b) \star c = a \star (b \star c)$$
• Loi distributive une loi $\star$ est dite distributive sur la loi $\nabla$ dans $E$ ssi $$\forall a,b,c \in E: (a \nabla b) \star c = (a \star c) \nabla (b \star c)$$ $$c \star (a \nabla b) = (c \star a) \nabla (c \star b)$$
• Élément neutre on dit que l'élément $e \in E$ est un élément neutre par rapport à la l.c.i $\star$ dans $E$ ssi $$\forall a \in E: a \star e = e \star a = a$$
• Élément symétrique on dit que $b \in E$ est l'élément symétrique de $a \in E$ par rapport à la l.c.i $\star$ ssi $$a \star b = b \star a = e$$ Où $e$ est l'élément neutre de la l.c.i $\star$. Cet élément $b$ est usuellement noté $a^{-1}$

Maintenant, les corrections:

• Exercice 3 Déterminer les éléments symétriques, s'ils existent, pour les lois $\cup$ et $\cap$ dans l'ensemble des parties d'un ensemble $X$.
  Même question pour la loi $\circ$ de composition dans l'ensemble des fonctions bijectives $\mathcal{B}(E)$ de $E$ dans $E$
• Correction 3 on voit que pour définir l'élément symétrique on doit connaitre l'élément neutre (voir définition ci dessus), donc, avant de chercher les éléments symétriques, il faudra trouver l'élément neutre:
  • Pour $\cup$ Il faut trouver d'abord quel est l'élément neutre $e$.
    Dans ce cas, l'élément neutre $e$ est un ensemble (une partie dans $\mathcal{P}(X)$), sa définition est: $$e \in \mathcal{P}(X), \forall s \in \mathcal{P}(X): s \cup e = s$$ (pas la peine de vérifier $e \cup s = s$ dans ce cas car on sait déjà que $\cup$ est commutative)
    $s \cup e = s$ veut dire que $e$ doit être inclus dans $s$ ($e \subset s$), mais $s$ doit être quelconque (à cause de $\forall$), la question donc est quel est le sous-ensemble $e$ qui est inclus dans tout les ensembles, et la réponse est évidement l'ensemble vide $\emptyset$.
    Maintenant qu'on sait que l'élément neutre de l'opération $\cup$ dans $\mathcal{P}(X)$ est l'ensemble vide $\emptyset$, la définition de l'élément symétrique $s^{-1}$ de $s$ est: $$s^{-1} \cup s = \emptyset$$ Si $s$ est non vide ($s \not= \emptyset$) alors il est impossible de trouver un $s^{-1}$ telle que l'union avec lui donne $e = \emptyset$ cet ensemble est déjà rempli!
    On ne peut donc pas toujours trouver l'élément symétrique d'un élément par rapport à la l.c.i $\cup$, ce qui veut dire que les éléments symétriques pour $\cup$ n'existent pas.
  • Pour $\cap$ l'élément neutre $e \in \mathcal{P}(X)$ est défini par $$e \in \mathcal{P}(X), \forall s \in \mathcal{P}(X): s \cap e = s$$ (même remarque que tout à l'heure, $\cap$ est commutative)
    $s \cap e = s$ veut dire que $s \subset e$, mais $s$ doit être quelconque (à cause de $\forall$) la question est donc, quelle est l'ensemble $e$ qui a tous les ensembles $s \in \mathcal{P}(X)$ possibles comme sous-ensembles? La réponse est évidement le plus grand ensemble $X$ lui-même, $e = X$.
    Maintenant qu'on connait l'élément neutre pour l'opération $\cap$ dans $\mathcal{P}(X)$, cherchons l'élément symétrique $s^{-1}$ d'une élément $s$, sa définition est: $$s^{-1} \cap s = X$$ Quel est l'ensemble qui, lorsque intersecté avec un ensemble $s$ donné, donne le grand ensemble $X$? La réponse est aucun! Si $s$ est plus petit que $X$, il est impossible de l'intersecter ($\cap$) avec un autre ensemble pour qu'il donne le grand $X$, parce que l'intersection au mieux, ne le change pas, au pire, le fait rétrécir.
  • Pour $\circ$ (n'a pas été fait!)

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