Ensembles et lois de composition internes

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Le thème de la séance tournait autour des sujets suivants:

• Ensembles
• Lois de composition interne

Un petit rappel s'impose donc:

• Ensemble $E$: un ensemble $E$ désigne intuitivement une collection d'objets distincts qu'on appelle éléments de cet ensemble.
• Lois de composition interne dans $E$: une l.c.i est une règle qui prend n'importe quel couple d'éléments $(a,b)$ de $E$ et donne un élément de $E$

Dans cette première séance on a en général parlé de comment montrer qu'un loi est ou n'est pas une loi de composition interne, la conclusion à laquelle on est arrivé est qu'on peut faire ceci de deux façons différentes:

1. Soit on montre que ce n'est pas une l.c.i en donnant un contre-exemple, un seul suffit.
2. Soit on montre que c'est une l.c.i en montrant que la composition de deux éléments $a$ et $b$ de $E$ redonne un élément de $E$, ceci est possible si on connait la forme qu'ont les éléments de $E$ (par exemple on sait que les éléments de $\mathbb{Q}$ s'écrivent sous la forme $\frac{a}{b}$)

Maintenant, voilà les corrections:

• Exercice 1 Considérons l'opération suivante: $a \bot b = 2 a b$. Dire si c'est une l.c.i dans $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturelles, $\mathbb{Z}$ l'ensemble des entiers relatifs, $\mathbb{Q}$ l'ensemble des nombres rationnels et $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. Même question pour l'opération: $a \star b = \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}$

• Correction 1 cette loi de composition n'est rien d'autre qu'un combinaison de deux multiplications, elle héritera donc des propriétés de la multiplication:
  • $a \bot b = 2 a b$
    
    1. Dans $\mathbb{N}$: la multiplication de deux entiers naturels est un entier naturel, la multiplication de cet entier naturel par $2$ (qui est aussi un entier naturel) donne alors un entier naturel, on ne sort donc pas de $\mathbb{N}$
    2. Dans $\mathbb{Z}$: mêmes arguments que pour 1
    3. Dans $\mathbb{Q}$: mêmes arguments que pour 1, en effet si $a,b \in \mathbb{Q}$ on peut les écrire sous la form $a=\frac{x}{y}$ et $a=\frac{x'}{y'}$
    , on aura donc: $$a \star b = \frac{2xx'}{yy'}$$
    4. Dans $\mathbb{R}$: mêmes arguments que pour 1, la multiplication de trois nombres réels (càd 2, $a$ et $b$) donne un nombre réel, on reste donc à l’intérieur de $\mathbb{R}$, la loi de composition est interne
  • $a \star b = \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}$
    
    1. Dans $\mathbb{N}$: il est claire qu'un racine ne donne pas forcément un nombre entier, ce qui veut dire que cette loi n'est pas interne dans $\mathbb{N}$
    2. Dans $\mathbb{Z}$: même arguments que pour 1, vu que le $\mathbb{Z}$ est aussi un ensemble d'entiers
    3. Dans $\mathbb{Q}$: il est claire aussi qu'une racine ne donne pas forcément un nombre rationnel, l'opération n'est donc pas une l.c.i dans $\mathbb{Q}$
    4. Dans $\mathbb{R}$: cette racine cubique $\sqrt[3]{.....}$ n'est pas comme la racine carrée $\sqrt[2]{.....}$, en effet on peut avoir un nombre négatif à l'intérieur et obtenir un nombre réel comme résultat (ce qui n'est pas le cas pour la racine carré $\sqrt[2]{.....}$), par exemple on a $\sqrt[3]{-8}=-2$ car $(-2)^{3}=-8$, la lois est donc interne dans $\mathbb{R}$

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