- Exercice 4 Montrer que dans un anneau $(A,+,.)$, pour tous éléments $a$ et $b$ on a:
$a.0=0.a=0$
$a.(-b)=(-a).b=-(a.b)$
où $0$ est l'élément neutre de $+$, et que si $1$ est l'élément neutre de $.$ et $A\not=\{0\}$ on ne peut jamais avoir $1=0$.
- Corrigé 4 Avant de commencer, il faut bien comprendre que les symboles qu'on utilise ici $(+,.,0,1)$ ne sont rien de plus que des symboles, par exemple $+$ n'est pas la vraie addition même si on va par abus de langage continuer à l'appeler addition, $0$ n'est pas le nombre nul mais l'élément neutre de la loi qu'on a noté par $+$. Dans l'exercice précédant par exemple (l'anneau $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap))$ on a:
$+ \doteq \Delta$
$. \doteq \cap$
$0 \doteq \emptyset$
$1$ n'existe pas car l'anneau n'est pas unitaire
Les preuves de ces propositions sont simples à comprendre mais plutôt difficiles à trouver, c'est pour cela que je vais donner en détail l'acheminement des idées qui vont nous amener à trouver ces preuves.
Pour la première proposition, on voit qu'elle fait entrer en jeu la loi $.$ et l'élément $0$, la question qu'on doit se poser est donc: que savons-nous de ces deux objets quand on a affaire à un anneau?.
La réponse est bien sûr:- On sait que $.$ est associative et distributive par rapport à $+$
- On sait que $0$ est l'élément neutre de $+$
- On sait que $.$ est distributive par rapport à $+$
- On sait que $0$ est l'élément neutre de $+$
- On sait que $.$ est associative et distributive par rapport à $+$
- Exercice 5 Dans $\mathbb{Z}^{2}$, définissons une addition et une multiplication par les relations suivantes: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:\begin{cases} (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\\ (a,b).(c,d)=(a.c,b.d)\end{cases}$$
- Prouver que $\mathbb{Z}^{2}$ muni de ces deux lois est un anneau commutatif unitaire.
- Quels sont les éléments inversibles de cet anneau?
- Est-il intègre?
- Soit $H=\{(a,0),\,a \in \mathbb{Z}\}$, montrer que c'est un sous-anneau unitaire de $\mathbb{Z}^{2}$
- que remarquez vous?
- Prouver que $\mathbb{Z}^{2}$ muni de ces deux lois est un anneau commutatif unitaire.
- Indications pour la correction 5
- Pour que $(\mathbb{Z}^{2},+,.)$ soit un anneau commutatif unitaire on doit avoir:
- $(\mathbb{Z}^{2},+,.)$ doit être un anneau c'est à dire:
- $(\mathbb{Z}^{2},+)$ doit être un groupe abélien, c'est à dire
- $+$ est commutative
- $+$ est une l.c.i
- $+$ admet un élément neutre
- tout les éléments de $\mathbb{Z}^{2}$ sont symétrisable par rapport à $+$
- $+$ est associative
- $+$ est commutative
- $.$ doit être associative et distributive par rapport à $+$
- $(\mathbb{Z}^{2},+)$ doit être un groupe abélien, c'est à dire
- pour qu'il soit commutative $.$ doit être commutative
- pour qu'il soit unitaire $.$ doit admettre un élément neutre.
Indications pour les démonstrations:
[Faites les démonstrations!]- $+$ est commutative ssi: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)$$
- $+$ est une l.c.i ssi: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:(a,b)+(c,d)\in\mathbb{Z}^{2}$$
- $+$ admet un élément neutre (le zéro de l'anneau) noté $0_{\mathbb{Z}^{2}} = (e_{1},e_{2})$ ssi: $$\forall(a,b)\in\mathbb{Z}^{2}:(a,b)+(e_{1},e_{2})=(e_{1},e_{2})+(a,b)=(a,b)$$
- tout les éléments de $\mathbb{Z}^{2}$ sont symétrisable par rapport à $+$ ssi: $$\forall(a,b)\in\mathbb{Z}^{2},\,\exists [-(a,b)]\in\mathbb{Z}^{2}:\,(a,b)+[-(a,b)]=[-(a,b)]+(a,b)=(e_{1},e_{2})$$
- $+$ est associative ssi: $$\forall(a,b),(c,d),(e,f)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{3}:\,\left[(a,b)+(c,d)\right]+(e,f)=(a,b)+\left[(c,d)+(e,f)\right]$$
- $.$ est associative ssi: $$\forall(a,b),(c,d),(e,f)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{3}:\,\left[(a,b).(c,d)\right].(e,f)=(a,b).\left[(c,d).(e,f)\right]$$
- $.$ est distributive par rapport à $+$ ssi: $$\forall(a,b),(c,d),(e,f)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{3}:\,\left[(a,b)+(c,d)\right].(e,f)=\left[(a,b).(e,f)\right]+\left[(c,d).(e,f)\right]$$
- $.$ est commutative ssi: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:(a,b).(c,d)=(c,d).(a,b)$$
- $.$ admet un élément neutre (le $1$ de l'anneai) notée $1_{\mathbb{Z}^{2}} = (e'_{1},e'_{2})$ ssi: $$\forall(a,b)\in\mathbb{Z}^{2}:(a,b)+(e'_{1},e'_{2})=(e'_{1},e'_{2})+(a,b)=(a,b))$$
- $(\mathbb{Z}^{2},+,.)$ doit être un anneau c'est à dire:
- Les éléments inversibles de cet anneau sont les éléments inversibles par rapport à $.$, c'est à dire ce sont les éléments $(a,b) \in \mathbb{Z}$ tels qu'il existe pour chacun d'entre eux un élément inverse noté $(a,b)^{-1}$ qui vérifie: $$(a,b).(a,b)^{-1}=(a,b)^{-1}.(a,b)=(e'_{1},e'_{2})$$ Il reste donc à chercher à quoi est égale $(a,b)^{-1}$ et pour quels $(a,b)$ il existe.[Faites le!]
- $(\mathbb{Z}^{2},+,.)$ est intègre s'il est différent de l'anneau nul $\{0\}$ et ne possède aucun diviseur de zéro, c'est à dire ssi: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:(a,b).(c,d)=(e_{1},e_{2})\Longrightarrow\begin{cases} (a,b) & =(e_{1},e_{2})\\ \vee\\ (c,d) & =(e_{1},e_{2})\end{cases}$$ Il suffit donc de montrer cette implication [Faites le!], où $(e_{1},e_{2})$ est l'élément neutre de $+$, autrement dit c'est le zéro de l'anneau ($0_{\mathbb{Z}^{2}}$), la relation qu'on a donné est concordante avec le fait de dire "ne possède pas de diviseur de zéro", en effet, si ce qui est à droite de l'implication n'arrive pas (c'est à dire si ni $(a,b)$ ni $(c,d)$ ne sont égaux au zéro de l'anneau $0_{\mathbb{Z}^{2}} = (e_{1},e_{2})$), on pourra écrire: $$(a,b)=\frac{(e_{1},e_{2})}{(c,d)}=\frac{0_{\mathbb{Z}^{2}}}{(c,d)}$$ C'est à dire qu'on peut diviser le $0_{\mathbb{Z}^{2}}$ par un élément $(c,d)$, et l'anneau ne sera donc pas intègre.
- Pour que $H$ soit un sous-anneau de $\mathbb{Z}^{2}$ il faut que:
- $H \not= \emptyset$
- $\forall (a,0),(b,0) \in H^{2} : (a,0) + [-(b,0)] \in H^{2}$
- $\forall (a,0),(b,0) \in H^{2} : (a,0) . (b,0) \in H^{2}$
- $H \not= \emptyset$
- Que remarquer à propos des deux éléments neutres par rapport aux deuxièmes lois des deux anneaux (l'anneau et le sous-anneau)
- Pour que $(\mathbb{Z}^{2},+,.)$ soit un anneau commutatif unitaire on doit avoir:
- Exercice 6 $(\mathcal{B}(E),+,\circ)$ désigne l'ensemble des applications bijéctives de $E$ dans $E$ muni de l'addition $+$ des applications et de la composition d'applications $\circ$. Est-il un anneau? Rasions?
- Indications pour la correction 6 Pour que $(\mathcal{B}(E),+,\circ)$ soit un anneau il faut que (on doit appliquer toutes les applications sur un élément $x \in E$):
- $(\mathcal{B}(E),+)$ soit un groupe abélien c'est à dire
- $+$ est commutative c-à-d; $$\forall (f,g) \in \mathcal{B}(E)^{2},\,\forall x \in E : (f+g)(x)=(g+f)(x)$$
- $+$ est une l.c.i dans $\mathcal{B}(E)$ $$\forall (f,g) \in \mathcal{B}(E)^{2},\,\forall x \in E : (f+g)(x) \in E $$
- $+$ admet un élément neutre $$\exists e \in \mathcal{B}(E),\,: \forall f \in \mathcal{B}(E),\,\forall x \in E: (f + e)(x) = (e + f)(x) = f(x)$$
- chaque élément de $\mathcal{B}(E)$ est symétrisable par rapport à $+$ $$\forall f \in \mathcal{B}(E) : \exists [-f] \in \mathcal{B}(E),\,\forall x \in E, (f + [-f])(x) = ([-f] + f)(x) = e(x)$$
- $+$ est associative $$\forall (f,g,h) \in \mathcal{B}(E)^{3},\,\forall x \in E :[(f+g)+h](x)=[f+(g+h)](x)$$
- $+$ est commutative c-à-d; $$\forall (f,g) \in \mathcal{B}(E)^{2},\,\forall x \in E : (f+g)(x)=(g+f)(x)$$
- $\circ$ est associative et distributive par rapport à $+$ $$\forall(f,g,h)\in\mathcal{B}(E)^{3},\,\forall x\in E:\begin{cases} [(f\circ g)\circ h](x) & =[f\circ(g\circ h)](x)\\{} [(f+g)\circ h](x) & =[(f\circ h)+(g\circ h)](x)\end{cases}$$
Question (#Q-REX1) Si elle existe, laquelle de ces conditions n'est pas vérifiée? Et pourquoi? Répondre à la question (+points à la clé) [[Réponses]] - $(\mathcal{B}(E),+)$ soit un groupe abélien c'est à dire
- Exercice 7 Dans l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times)$ où l'on suppose que $n\geq 2$, quel est l'élément symétrique de $\dot x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times)$ soit un corps.
- Corrigé 7 Rappelons que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est l'ensemble des sacs (les classes d'équivalences), chaque sac regroupe tout les éléments de $\mathbb{Z}$ qui sont équivalents (via une relation d'équivalence $\mathcal{R}$), cette équivalence dit que: deux éléments $a$ et $b$ de $\mathbb{Z}$ sont équivalents via $\mathcal{R}$ ($a \mathcal{R} b$) si et seulement si $(a-b)$ est un multiple de $n$ ($a \star b^{-1} \equiv a - b \in n\mathbb{Z}$ dans ce cas $n\mathbb{Z}$ est le sous-groupe par lequel on "quotionne")
Donc on veut savoir quel est le sac $\dot{x}^{-1}$ qui est le symétrique du sac $\dot x$ (par rapport à $\otimes$), pour rappel le sac $\dot x$ est le sous-ensemble des éléments $y \in \mathbb{Z}$ qui sont en relations avec $x$ via $\mathcal{R}$ ($y \mathcal{R} x$).
Maintenant, pour connaitre un symétrique, il faut d'abord savoir quel est l'élément neutre, ou le sac neutre. Par définition de $\dot \times$ $$\dot a \dot \times \dot b = \dot{\overline{a\times b}}$$ Donc à votre avis le sac neutre (appelons le $1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$) est le sac de quel élément? Prouvez le.
$$\forall \dot a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : \dot a \dot\times 1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} = 1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} \dot\times \dot a = \dot a$$ La question est donc: $1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ est la classe d'équivalence de quel élément $\epsilon \in \mathbb{Z}$: $$1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} = \dot\epsilon$$ Pour ce faire, il faut résoudre les équations: $$\begin{eqnarray*} \forall\dot{a}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}:\begin{cases} \dot{a}\dot{\times}\dot{\epsilon} & =\dot{a}\\ \dot{\epsilon}\dot{\times}\dot{a} & =\dot{a}\end{cases} & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} \dot{\overline{a\times\epsilon}} & =\dot{a}\\ \dot{\overline{\epsilon\times a}} & =\dot{a}\end{cases}\\ & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} (a\times\epsilon)\,\mathcal{R}\,(a)\\ (\epsilon\times a)\,\mathcal{R}\,(a)\end{cases}\\ & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} a\times\epsilon-a & \in n\mathbb{Z}\\ \epsilon\times a-a & \in n\mathbb{Z}\end{cases}\\ & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} a\times(\epsilon-1) & =nk\,\,\text{ avec }\,\,k\in\mathbb{Z}\\ (\epsilon-1)\times a & =nk\,\,\text{ avec }\,\,k\in\mathbb{Z}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ Dans la première ligne on a exploité le faite que dire "quelle que soit la classe d'équivalence de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$" est équivalent à dire "quel que l'élément de $\mathbb{Z}$" et on a aussi utilisé la définition de la loi $\dot\times$, dans la seconde ligne on a exploité le fait que si deux classes d'équivalences se confondent (sont les même) cela veux dire que les éléments qui les représentent sont en relation via $\mathcal{R}$, dans la troisième ligne on a explicité cette relation d'équivalence (celle qui définie le groupe quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$), maintenant dans la quatrième ligne on a par exemple: $a\times(\epsilon-1) = nk$ quel que soit $a$, cela veut dire que $(\epsilon-1)$ lui-même est un multiple de $n$: $$\begin{eqnarray*} \epsilon-1=nk & \iff & \epsilon=nk+1\\ & \iff & \epsilon\in\dot{1}\\ & \iff & \dot{\epsilon}=\dot{1}\end{eqnarray*}$$ car les nombres qui s'écrivent sous la forme $nk+1$ forment la classe d'équivalence de $1$ (en effet $(nk+1)-1=nk\in n\mathbb{Z}$)
Donc l'élément neutre de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ par rapport à $\dot\times$ est $\dot 1$
Ayant fait cela, voyez la définition du sac symétrique $(\dot{x})^{-1}$ (supposons que $(\dot{x})^{-1}$ est la classe d'équivalence d'un certain élément $x^{*}$ c'est-à-dire $(\dot{x})^{-1} \equiv \dot{\left(x^{*}\right)}$, le tout est donc de trouver ce ${x}^{*}$) $$\begin{eqnarray*} \begin{cases} \dot{x}\dot{\times}\left(\dot{x}\right)^{-1} & =\dot{1}\\ \left(\dot{x}\right)^{-1}\dot{\times}\dot{x} & =\dot{1}\end{cases} & \iff & \begin{cases} \dot{x}\dot{\times}\dot{\left(x^{*}\right)} & =\dot{1}\\ \dot{\left(x^{*}\right)}\dot{\times}\dot{x} & =\dot{1}\end{cases}\\ & \iff & \begin{cases} \dot{\overline{(x\times x^{*})}} & =\dot{1}\\ \dot{\overline{(x^{*}\times x)}} & =\dot{1}\end{cases}\\ & \iff & \begin{cases} (x\times x^{*})-1 & =nk\,\,\text{ pour un }\,\, k\in\mathbb{Z}\\ (x^{*}\times x)-1 & =nk\,\,\text{ pour un }\,\, k\in\mathbb{Z}\end{cases}\\ & \iff & x^{*}=\frac{nk+1}{x}\,\,\text{ pour un }\,\, k\in\mathbb{Z}\end{eqnarray*}$$ Mais le problème est que ${x}^{*}$ doit être un élément de $\mathbb{Z}$ (un entier relatif), mais dans la dernière relation, on n'est pas certain qu'on tombe sur un ${x}^{*}$ entier à tout les coups! En fait, ${x}^{*}$ s'avère être un entier pour seulement quelques valeurs de $n$, d'où la question suivante à propos du corps
Maintenant pour que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times)$ soit un corps il faut que tout éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ soient inversibles (par rapport à $\dot\times$ bien sûr), autrement dit, il faut que le $x^{*}$ qu'on vient de trouver soit toujours entier!.
Reprenons l'avant-dernière ligne des calculs qu'on vient de faire, le premier cas par exemple: $$(x^{*}\times x)-1=nk\iff x^{*}x-nk=1$$ $k$ est un nombre quelconque de $\mathbb{Z}$ sans grande importance, on peut alors faire une redéfinition $k \to -k$ on aura alors: $$x^{*}x+nk=1$$ Et cela doit être le cas quel que soit le $x$ qu'on choisit (rappelez vous, TOUT les éléments doivent être inversibles pour qu'il soit un corps), donc: $$\forall x\in\mathbb{Z}\,:\, x^{*}x+nk=1$$ Ceci est une équation a inconnus $x^{*}$ et $k$, (en effet on a fixé le $x$ pour lequel on veut chercher le symétrique et on connait le $n$ qui définit $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$), il existe un théorème qu'on appelle le théorème de Bézout (que normalement vous connaissez, sinon jetez un coup d'oeil ici) qui dit que:
L'équation $ax+by=1$ admet des solutions (pour $x$ et $y$) si et seulement si $a$ et $b$ sont premiers entre eux (c'est-à-dire que le plus grand diviseur commun entre eux est 1)
Si on applique ce théorème à notre cas, cela veut dire que $x$ et $n$ doivent être premiers entre eux, mais cela doit se passer QUEL QUE SOIT $x$, c'est-à-dire que $n$ lui-même doit être premier. (si c'est le cas, le plus grand diviseur commun entre les deux sera toujours 1 car $n$ étant entier lui-même n'admet pour diviseur que le 1!)
Voila, on a répondu à la question: pour que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times)$ soit un corps il faut que $n$ soit premier (exemples: $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, ...etc)
- Exercice 8 Dans $\mathbb{R}^{2}$, on définit pour tous couples $(a,b)$ et $(c,d)$ les opérations suivantes: $$\begin{cases} (a,b)\oplus(c,d) & =(a+b,c+d)\\ (a,b)\otimes(c,d) & =(ac-bd,ad+bc)\end{cases}$$ Montrer que le triplet $(\mathbb{R}^{2},\oplus,\otimes)$ est un corps commutatif et que $\mathbb{R}$ en est un sous-corps.
- Indications pour la correction 7 [Bientôt...]
Anneaux
(P(E),Δ,∩) est un anneau commutatif
Dans cette séance on a résolu l'exercice n°03 de la fiche TD n°03, il s'agissait de montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)$ est un anneau commutatif, où $\Delta$ est ce qu'on appelle la différence symétrique entre deux sous-ensembles (deux parties) et est définie par: $$\forall (A,B) \in \mathcal{P}(E)^{2} : A \Delta B = (A\backslash B) \cup (B\backslash A)$$ Voici à quoi ressemble la différence symétrique pour deux cas concrets: 
- Exercice 3 Montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)$, où $\mathcal{P}(E)$ désigne l'ensemble des parties de $E$, possède une structure d'anneau commutatif.
- Corrigé 3 Pour montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)$ est un anneau on doit montrer les choses suivantes:
- que $(\mathcal{P}(E),\Delta)$ est un groupe abélien, c'est à dire que:
- $\Delta$ est commutative
- $\Delta$ est une l.c.i
- $\Delta$ admet un élément neutre
- chaque élément de $\mathcal{P}(E)$ est symétrisable par rapport à $\Delta$
- $\Delta$ est associative
- $\Delta$ est commutative
- que $\cap$ est associative et distributive par rapport à $\Delta$
- $\cap$ est commutative
Commutativité de $\Delta$
$\Delta$ est commutative car: $$\begin{eqnarray*} \forall(A,B)\in\mathcal{P}(E)^{2}\,:\, A\Delta B & = & (A\backslash B)\cup(B\backslash A)\\ & = & (B\backslash A)\cup(A\backslash B)\text{ (car }\cup\text{ est commutative)}\\ & = & B\Delta A\end{eqnarray*}$$$\Delta$ est une l.c.i
$\Delta$ est une l.c.i car elle est définie par les deux l.c.i $\backslash$ et $\cup$, en d'autres termes, la différence symétrique de deux sous-ensembles est aussi un sous-ensemble.Élément neutre de $\Delta$
$\emptyset$ est l'élément neutre de $\Delta$ car: $$\begin{eqnarray*} \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\, A\Delta\emptyset & = & (A\backslash\emptyset)\cup(\emptyset\backslash A)\\ & = & A\cup\emptyset\\ & = & A\end{eqnarray*}$$ il en sera de même pour $\emptyset \Delta A$ car on a déjà démontré que $\Delta$ est commutative.Les Éléments inverses
Notons par $A^{-1}$ l'élément inverse de $A\in E$, et cherchons à quoi est égale ce $A^{-1}$, par définition on a: $$\begin{eqnarray*} \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\, A\Delta A^{-1}=\emptyset & \iff & \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\,(A\backslash A^{-1})\cup(A^{-1}\backslash A)=\emptyset\\ & \iff & \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\,\begin{cases} (A\backslash A^{-1}) & =\emptyset\\ \wedge\\ (A^{-1}\backslash A) & =\emptyset\end{cases}\\ & \iff & \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\, A^{-1}=A\end{eqnarray*}$$ pour passer de la première ligne à la deuxième on a utilisé le fait que si l'union de deux sous-ensembles est vide alors forcément que ces deux sous-ensembles sont eux-mêmes vides, le passage de la deuxième à la troisième ligne est évident. La condition $A^{-1} \Delta A=\emptyset$ donnera forcément le même résultat car on a déjà vu que $\Delta$ est commutative. Le symétrique de chaque élément par rapport à $\Delta$ est donc ... lui même!$\Delta$ est associative
On doit démontrer que $$\forall(A,B,C)\in\mathcal{P}(E)^{3}\,:\, A\Delta(B\Delta C)=(A\Delta B)\Delta C$$ Démontrer cette relation en utilisant seulement la définition de $\Delta$ s'avère être une tâche difficile, c'est pour cela qu'on va utiliser les fonctions indicatrices dont j'ai déjà parlé, c'est à dire qu'on va démontrer que: $$\forall(A,B,C)\in\mathcal{P}(E)^{3}\,:\,\phi_{A\Delta(B\Delta C)}=\phi_{(A\Delta B)\Delta C}$$ Mais avant cela petit rappel: $\phi_{A \cap B} = \phi_{A}\phi_{B}$ $\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B}$ $\phi_{A\backslash B} = \phi_{A} - \phi_{A}\phi_{B}$ Maintenant, pour pouvoir calculer des expressions telles que $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$ on a d'abord besoin de calculer $\phi_{A \Delta B}$, c'est ce qui va suivre: $$\begin{eqnarray*} \phi_{A\Delta B} & = & \phi_{(A\backslash B)\cup(B\backslash A)}\\ & = & \phi_{(A\backslash B)}+\phi_{(B\backslash A)}-\phi_{(A\backslash B)}\phi_{(B\backslash A)}\\ & = & (\phi_{A}-\phi_{A}\phi_{B})+(\phi_{B}-\phi_{B}\phi_{A})-(\phi_{A}-\phi_{A}\phi_{B})(\phi_{B}-\phi_{B}\phi_{A})\\ & = & \phi_{A}+\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{B}+(-\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}^{2}+\phi_{A}^{2}\phi_{B}-\phi_{A}^{2}\phi_{B}^{2})\end{eqnarray*}$$ On va montrer maintenant que ce qui est entre parenthèses dans la dernière ligne est nul, pour ceci remarquons que puisque $\phi$ ne peut prendre pour valeurs que le $0$ ou le $1$, et puisque $1^{n}=1$ et $0^{n}=0$, on à $\phi^{n}=\phi$, donc l'expression entre parenthèses est bien nulle: $$\begin{eqnarray*} -\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}^{2}+\phi_{A}^{2}\phi_{B}-\phi_{A}^{2}\phi_{B}^{2} & = & -\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}-\phi_{A}\phi_{B}\\ & = & 0\end{eqnarray*}$$ On obtient en fin de compte: $$\phi_{A\Delta B}=\phi_{A}+\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{B}$$ Calculons maintenant $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$ $$\begin{eqnarray*} \phi_{A\Delta(B\Delta C)} & = & \phi_{A}+\phi_{B\Delta C}-2\phi_{A}\phi_{B\Delta C}\\ & = & \phi_{A}+(\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C})-2\phi_{A}(\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C})\\ & = & \phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C}-2\phi_{A}\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{C}+4\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C}\end{eqnarray*}$$ La prochaine étape serait de calculer aussi $\phi_{(A\Delta B)\Delta C}$ et de comparer les deux résultats, c'est juste, mais ici je vais suivre un raccourcie, sans passer par le calcul de $\phi_{(A\Delta B)\Delta C}$. Réécrivons d'abord $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$ d'une autre manière: $$\begin{eqnarray*} \phi_{A\Delta(B\Delta C)} & = & \phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C}-2\phi_{A}\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{C}+4\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C}\\ & = & (\phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C})-2(\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{B}\phi_{C}+\phi_{C}\phi_{A})+4(\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C})\end{eqnarray*}$$ Je n'ai fait que réarranger les termes d'une autre manière, cette manière nous permet de voir que l’expression de $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$ est invariante sous la permutation cyclique des éléments $(A,B,C)$, mais d'abord, qu'est ce qu'une permutation cyclique? Rien ne vaut un schéma pour la comprendre:$\cap$ est associative
On l'a vu dans le cours$\cap$ est distributive par rapport à $\Delta$
Encore une fois, il serait difficile de le montrer en n'utilisant que la définition de $\Delta$, et encore une fois on va utiliser les fonctions indicatrices, c'est à dire qu'il faut montrer que: $$\forall(A,B,C)\in\mathcal{P}(E)^{3}\,:\, A\cap(B\Delta C)=(A\cap B)\Delta(A\cap C)$$ Je vous laisse donc le soin de le faire [À faire absolument!]$\cap$ est commutative
On l'a vu dans le cours On a donc réussi à montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta)$ est un anneau commutatif. - que $(\mathcal{P}(E),\Delta)$ est un groupe abélien, c'est à dire que:
Homomorphismes de groupes
Énoncé du test
Soit $(G,\star)$ un groupe et soit $\mathcal{A}_{\text{bij}}(G)$ l'ensemble des applications bijectives de $G$ dans $G$. On définit une application $f$ de $G$ vers $\mathcal{A}_{\text{bij}}(G)$ de la façon suivante: $$\begin{eqnarray*} f\,:\, G & \longrightarrow & \mathcal{A}_{\text{bij}}(G)\\ a & \longmapsto & f(a) \doteq f_{a}\end{eqnarray*}$$ (le symbole $\doteq$ veut dire "... est définie par ...")Telle que $f_{a}$ soit définie par: $$\begin{eqnarray*} f_{a}\,:\, G & \longrightarrow & G\\ x & \longmapsto & f_{a}(x)=a\star x\star a^{-1}\end{eqnarray*}$$ On a déjà montré que $f_{a}$ est un homomorphisme du groupe $(G,\star)$ vers lui-même (donc un endomorphisme), montrer maintenant que $f$ elle même est aussi un homomorphisme du groupe $(G,\star)$ vers le groupe $(\mathcal{A}_{\text{bij}}(G),\circ)$ [Essayez de faire cet exercice]
Attention $f$ n'est pas la même application que $f_{a}$, $f_{a}$ est l'image de l'élément $a \in G$ par l'application $f$, cette image $f_{a}$ est elle-même une autre application, voila ce qui s'est passé: on a appliqué l'application $f$ sur un élément $a$ de $G$ et on a trouvé une application $f_{a}$, on définit cette dernière en l'appliquant sur un autre élément $x$ de $G$, elle nous donne alors aussi un élément de $G$.
Indications
Un homomorphisme du groupe $(G,\star)$ vers le groupe $(G',\Delta)$ est une application $f$ de $G$ vers $G'$ telle que: $$f(x \star y) = f(x) \Delta f(y)$$ pour tout $x$ et $y$ de $G$.Dans notre cas, le premier groupe est noté de la même façon ($(G,\star)$), mais $(G',\Delta)$ représente le groupe $(\mathcal{A}_{\text{bij}}(G),\circ)$.
Correction du test
On veut montrer que c'est un homomorphisme de $(G,\star)$ vers $(\mathcal{A}_{\text{bij}}(G),\circ)$, on prend donc deux éléments $a$ et $b$ de $G$, et on regarde l'image de leur composition via $f$ qui est $f_{a\star b}$, si elle est égale à la composée des deux images (les deux applications) $f_{a} \circ f_{b}$ alors on pourra dire que c'est un homomorphisme. C'est à dire on doit montrer que: $$\forall (a,b) \in G^{2} : f_{a \star b} = f_{a} \circ f_{b}$$ Bien entendu, on ne peut pas travailler avec $f_{a}$ toute seule, car c'est une application, il faudra l'appliquer sur un élément $x$ de $G$: $$\forall (a,b,x) \in G^{3} : f_{a \star b}(x) = (f_{a} \circ f_{b})(x)$$ Démontrons donc cela: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,x)\in G^{3}\,:\, f_{a\star b}(x) & = & (a\star b)\star x\star(a\star b)^{-1}\\ & = & a\star b\star x\star b^{-1}\star a\text{ (car }\star\text{ est associative)}\\ & = & a\star(b\star x\star b^{-1})\star a\text{ (car }\star\text{ est associative)}\\ & = & a\star f_{b}(x)\star a\\ & = & f_{a}\left[f_{b}(x)\right]\\ & = & \left(f_{a}\circ f_{b}\right)(x)\end{eqnarray*} $$ Et ceci esr valable quel que soit $x$, donc: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b)\in G^{2},\,\forall x\in G\,:\, f_{a\star b}(x) & = & \left(f_{a}\circ f_{b}\right)(x)\\ \Longrightarrow\forall(a,b)\in G^{2},\,:\, f_{a\star b} & = & f_{a}\circ f_{b}\end{eqnarray*}$$[Vous pouvez poser des questions, faire des commentaires ou signaler une erreur en cliquant sur Commentaires ci dessous, vous pouvez aussi écrire des éxpressions mathématiques, voir comment]
Addition modulo n et multiplication modulo n
Dans cette séance on a découvert que les lois $\dot{+}$ et $\dot{\times}$ définies dans l'exercice n°01 de la fiche TD n°03 sont en fait les lois de l'addition modulo 10 et de la multiplication modulo 10.
La définition des ces deux opérations est somme toute simple: deux nombres $a$ et $b$ sont égaux (ou équivalents) modulo $n$ si leur différence est un multiple de $n$, ou, formulée d'une autre manière, si $b$ est le reste de la division de $a$ sur $n$. $$a \equiv b [n] \iff a = n . k + b \text{ (pour un certain } k \in \mathbb{Z} \text{)}$$ Par exemple:
$3 \equiv 13 [10]$
$5 \equiv 33 [14]$
$-1 \equiv 13 [14]$
etc...
Il y a une relation très étroite entre cette définition du calcul modulo (c'est ce qu'on appelle l'arithmétique modulaire) et ce qu'on a vu la dernière fois concernant les groupes quotients $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, car, regardez bien:
La définition des ces deux opérations est somme toute simple: deux nombres $a$ et $b$ sont égaux (ou équivalents) modulo $n$ si leur différence est un multiple de $n$, ou, formulée d'une autre manière, si $b$ est le reste de la division de $a$ sur $n$. $$a \equiv b [n] \iff a = n . k + b \text{ (pour un certain } k \in \mathbb{Z} \text{)}$$ Par exemple:
$3 \equiv 13 [10]$
$5 \equiv 33 [14]$
$-1 \equiv 13 [14]$
etc...
Il y a une relation très étroite entre cette définition du calcul modulo (c'est ce qu'on appelle l'arithmétique modulaire) et ce qu'on a vu la dernière fois concernant les groupes quotients $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, car, regardez bien:
- On a dit que deux nombres (de $\mathbb{Z}$) sont égaux ou équivalents modulo $n$ si leur différence $a-b$ est un multiple de $n$ (donc si la différence appartient à $n\mathbb{Z}$), c'est à dire si $a \star b^{-1} \in \mathbb{Z}$ (avec $\star \doteq +$ et $b^{-1} \doteq -b$, $\doteq$ voulant dire est définie par...), cette dernière définition on la connait! Elle veut dire que $a$ et $b$ appartiennent à la même classe d'équivalence du groupe quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ [se rafraîchir la mémoire avec le résumé de la séance].
Donc, faire de l'arithmétique (du calcul) modulaire revient à faire des opérations entre des classes d'équivalence du groupe quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, par exemple si on dit que $3 \equiv 14 [11]$ cela veut dire que $3$ et $14$ appartiennent à la même classe d'équivalence du groupe quotient $\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$, cette classe d'équivalence qu'on peut représenter par le plus petit élément $\dot{3}$ et qui vaut $\dot{3} = \{\dots, -19, -8, 3, 14, 25, \dots\}$, c'est parce que les deux éléments $3$ et $14$ appartiennent à une même classe d'équivalence de $\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$ qu'on dit qu'ils sont égaux ou équivalents modulo 11, et le groupe quotient est l'ensemble des classes d'équivalence $\mathbb{Z}/11\mathbb{Z} = \{\dot{0},\dot{1},\dot{2},\dot{3},\dot{4},\dot{5},\dot{6},\dot{7},\dot{8},\dot{9},\dot{10}\}$
- Quand vous voulez vous connecter à un site (se trouvant dans un serveur) pour consulter par exemple votre boîte email, la connexion établie doit être cryptée pour qu'aucune personne ayant le contrôle d'un des ordinateurs qui permettent de faire le relais entre votre PC et le serveur ne soit en mesure de décrypter et lire les données, une des méthodes de cryptage possibles (et très sûre) est ce qu'on appelle le chiffrement RSA [voilà deux liens 1 et 2 pour lire de quoi il s'agit] qui est basé sur l’arithmétique modulaire, vous pouvez voir qu'on y utilise $mod$ pour dire modulo (c'est la même chose que notre $[...]$), vous pouvez voir aussi que vous êtes en ce moment même surement entrain d'utiliser une connexion cryptée RSA qui utilise le calcul modulaire dont on parle ici (ouvrez votre boîte email, vous verrez que l'adresse internet, l'URL, ne commence plus par http:// mais https://, le "s" veut dire "sécurisée", si vous cliquez sur l'icone à coté, et que vous lisez bien, vous trouverez à coup sur le mot RSA)
Pour pouvoir décrypter ou cracker ce genre de clés, il est donc primordiale d'avoir de bonnes connaissances en mathématiques, en particulier en calcul combinatoire, en arithmétique modulaire (ce qu'on fait ici) et même en théorie de groupes (ce qu'on fait dans ce semestre), mais je vous rassure, les clés RSA que vous utilisez sont très sûres (enfin... officiellement...)
- Exercice 1 l'ensemble $E = \{0,2,4,6,8\}$ est muni de deux lois $\dot+$ et $\dot\times$ définies comme suit:
$\forall (a,b) \in E^{2} : a \dot+ b = c \text{ }$ où $c$ est le chiffre des unités de $a+b$
$\forall (a,b) \in E^{2} : a \dot\times b = d \text{ }$ où $d$ est le chiffre des unités de $a\times b$
- Construire les tables des opérations $\dot+$ et $\dot\times$
- Montrer que $(E,\dot+,\dot\times)$ possède une structure d'anneau commutatif unitaire et que tout élément de $E$ autre que $0$ est symétrisable
- Calculer le nombre: $$x = \frac{4 \dot\times (4 \dot+ 8)^{2} \dot+ 8}{(2\dot+ 4)^{3} \dot+ 2}$$
- Construire les tables des opérations $\dot+$ et $\dot\times$
- Corrigé 1 Avant de répondre aux questions remarquons que les deux lois $\dot+$ et $\dot\times$ peuvent être définies en utilisant l'arithmétique modulaire, en effet: $$\forall (a,b) \in E : \, a \dot+ b \equiv (a + b) [10]$$ $$\forall (a,b) \in E : \, a \dot\times b \equiv (a \times b) [10]$$ On aura besoin aussi d'une autre relation, démontrons la avant de commencer:
On remarque tout d'abord que si $a \in E$ on peut écrire l'égalité $a = a [10]$
Maintenant, on sait que $\forall (a,b) \in E^{2}:\; a \dot+ b \in E$ car $\dot+$ est une l.c.i, donc on peut écrire: $$(a \dot+ b) = (a \dot+ b) [10]$$ Et on utilisant la définition de $a \dot+ b$ on trouve: $$(a \dot+ b) [10] \equiv (a + b) [10]$$ Cette relation veut dire que quand on travaille à l’intérieure d'une classe d'équivalence $[10]$, on peut remplacer $a \dot+ b$ par $a + b$, cela va nous être utile par la suite.
- Tables des opérations $\dot+$ et $\dot\times$
$\dot+$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $0$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $2$ $2$ $4$ $6$ $8$ $0$ $4$ $4$ $6$ $8$ $0$ $2$ $6$ $6$ $8$ $0$ $2$ $4$ $8$ $8$ $0$ $2$ $4$ $6$ $\dot\times$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $2$ $0$ $4$ $8$ $2$ $6$ $4$ $0$ $8$ $6$ $4$ $2$ $6$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $8$ $0$ $6$ $2$ $8$ $4$ - Pour que $(E,\dot+,\dot\times)$ soit un anneau commutatif unitaire on doit avoir:
- pour que $(E,\dot+,\dot\times)$ soit un anneau
- $(E,\dot+)$ doit être un groupe abélien c'est à dire:
- $\dot+$ doit être une l.c.i dans $E$
- $\dot+$ doit être commutative
- $\dot+$ doit admettre un élément neutre
- chaque élément de $E$ doit être symétrisable par rapport à $\dot+$
- $\dot+$ doit être associative
- $\dot+$ doit être une l.c.i dans $E$
- $\dot\times$ doit être associative et distributive par rapport à $\dot+$ dans $E$
- $(E,\dot+)$ doit être un groupe abélien c'est à dire:
- pour qu'il soit commutatif
- $\dot\times$ doit être commutative dans $E$
- pour qu'il soit unitaire
- $\dot\times$ doit admettre un élément neutre dans $E$
- $\dot+$ est-elle une l.c.i? Oui, on peut le voir à partir de la table des opérations de $\dot+$: toutes les cases sont remplies par des éléments de $E$.
- $\dot+$ est-elle commutative? Oui, on peut le voir aussi à partir de la table des opérations de $\dot+$, elle est symétrique par rapport à la diagonale (par exemple $4 \dot+ 2 = 2 \dot+ 4$, ...etc)
$\dot+$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $0$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $2$ $2$ $4$ $6$ $8$ $0$ $4$ $4$ $6$ $8$ $0$ $2$ $6$ $6$ $8$ $0$ $2$ $4$ $8$ $8$ $0$ $2$ $4$ $6$ - $\dot+$ admet-elle un élément neutre? Oui, et c'est $e=0$, on le voit à partir de la tables des opérations de $\dot+$, la ligne $0,2,4,6,8$ ne change pas pour l'élément $0$
$\dot+$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $0$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $2$ $2$ $4$ $6$ $8$ $0$ $4$ $4$ $6$ $8$ $0$ $2$ $6$ $6$ $8$ $0$ $2$ $4$ $8$ $8$ $0$ $2$ $4$ $6$ - chaque élément est-il symétrisable? Oui, car pour chaque colonne (ou ligne) on peut trouver une case remplie avec l'élément neutre $0$ dans la table des opérations de $\dot+$, plus précisément on a: $0^{-1} = 0,\,2^{-1}=8,\,4^{-1}=6,\text{...etc}$
$\dot+$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $0$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $2$ $2$ $4$ $6$ $8$ $0$ $4$ $4$ $6$ $8$ $0$ $2$ $6$ $6$ $8$ $0$ $2$ $4$ $8$ $8$ $0$ $2$ $4$ $6$ - $\dot+$ est-elle associative? Oui, car: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{+}c & \equiv & \left((a\dot{+}b)+c\right)[10]\\ & \equiv & \left((a+b)+c\right)[10]\\ & \equiv & \left(a+(b+c)\right)[10]\\ & \equiv & \left(a+(b\dot{+}c)\right)[10]\\ & \equiv & a\dot{+}(b\dot{+}c)\end{eqnarray*}$$ Mais comme $$\forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{+}c\in E\;\wedge a\dot{+}(b\dot{+}c)\in E$$ L'équivalence $\equiv$ est en fait une égalité $=$, on a donc: $$\forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{+}c=a\dot{+}(b\dot{+}c)$$
- $\dot\times$ est-elle associative? Oui, car: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{\times}b)\dot{\times}c & \equiv & \left((a\dot{\times}b)\times c\right)[10]\\ & \equiv & \left((a\times b)\times c\right)[10]\\ & \equiv & \left(a\times(b\times c)\right)[10]\\ & \equiv & \left(a\times(b\dot{\times}c)\right)[10]\\ & \equiv & a\dot{\times}(b\dot{\times}c)\end{eqnarray*}$$ Mais comme $$\forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{\times}b)\dot{\times}c\in E\;\wedge a\dot{\times}(b\dot{\times}c)\in E$$ L'équivalence $\equiv$ est en fait une égalité $=$, on a donc: $$\forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{\times}b)\dot{\times}c=a\dot{\times}(b\dot{\times}c)$$
- $\dot\times$ est-elle distributive par rapport à $\dot+$? Oui, car: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{\times}c & \equiv & \left((a\dot{+}b)\times c\right)[10]\\ & \equiv & \left((a+b)\times c\right)[10]\\ & \equiv & \left((a\times c)+(b\times c)\right)[10]\\ & \equiv & \left((a\dot{\times}c)+(b\dot{\times}c)\right)[10]\\ & \equiv & (a\dot{\times}c)\dot{+}(b\dot{\times}c)\end{eqnarray*}$$ Mais comme: $$\forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{\times}c\in E\;\wedge(a\dot{\times}c)\dot{+}(b\dot{\times}c)\in E$$ L'équivalence $\equiv$ est en fait une égalité $=$, on a donc: $$\forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{\times}c=(a\dot{\times}c)\dot{+}(b\dot{\times}c)$$
- $\dot\times$ est-elle commutative? Oui, on peut le voir à partir de la table des opérations de $\dot\times$, elle est symétrique par rapport à la diagonale (par exemple $4 \dot\times 2 = 2 \dot\times 4$, ...etc)
$\dot\times$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $2$ $0$ $4$ $8$ $2$ $6$ $4$ $0$ $8$ $6$ $4$ $2$ $6$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $8$ $0$ $6$ $2$ $8$ $4$ - $\dot\times$ admet-elle un élément neutre? Oui, car dans chaque colonne (ou ligne) d'un élément (autre que l'élément neutre de $\dot+$ qui est le $0$) on peut trouver une case telle que la ligne (ou colonne) correspondante est celle du même élément. L'élément neutre est $6$ et il est facile de le vérifier: $2 \dot\times 6 = 2,\,4 \dot\times 6 = 4,\,\text{...etc}$
$\dot\times$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $2$ $0$ $4$ $8$ $2$ $6$ $4$ $0$ $8$ $6$ $4$ $2$ $6$ $0$ $2$ $4$ $6$ $8$ $8$ $0$ $6$ $2$ $8$ $4$
- pour que $(E,\dot+,\dot\times)$ soit un anneau
- Calcul du nombre $x$ $$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{4\dot{\times}(4\dot{+}8)^{2}\dot{+}8}{(2\dot{+}4)^{3}\dot{+}2}\\ & = & \frac{4\dot{\times}(2)^{2}\dot{+}8}{(6)^{3}\dot{+}2}\\ & = & \frac{4\dot{\times}2\dot{\times}2\dot{+}8}{6\dot{\times}6\dot{\times}6\dot{+}2}\\ & = & \frac{8\dot{\times}2\dot{+}8}{6\dot{+}2}\text{ (car 6 est element neutre par rapport a }\dot{\times}\text{)}\\ & = & \frac{6\dot{+}8}{6\dot{+}2}\\ & = & \frac{4}{8}\text{ (ici la division represente l'operation inverse de }\dot{\times}\text{)}\\ & = & 4\dot{\times}8^{-1}\\ & = & 4\dot{\times}2\text{ (car dans la table des operations de }\dot{\times}\text{ on a }8\dot{\times}2=6=e\text{)}\\ & = & 8\end{eqnarray*}$$
- Tables des opérations $\dot+$ et $\dot\times$
Les fonctions caractéristiques (ou fonctions indicatrices)
Ce sont des fonctions définies en théorie des ensembles qui peuvent être très utiles pour démontrer certaines égalités.
$\phi_{F}(c) = 0$
$\phi_{F \cap G}(a) = 0$
$\phi_{F \cap G}(b) = 1$
$\phi_{F \cup G}(d) = 0$
$\phi_{F \cup G}(a) = 1$
$\phi_{F \Delta G}(b) = 0$
$\phi_{E}(a) = \phi_{E}(b) = \phi_{E}(c) = \phi_{E}(d) = 1$
Vous pouvez simplement vérifier (avec des exemples) les identités suivantes: (à partir de maintenant, on se fixe des sous-ensembles $(F,G,H,\dots)$ d'un ensemble $E$ et on imagine un point $x$ qui peut être n'importe où dans $E$)
$\phi_{\bar{A}}=1-\phi_{A}$
$\phi_{A \cap B} = \phi_{A}\phi_{B}$
$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B}$
$\phi_{A\backslash B} = \phi_{A} - \phi_{A}\phi_{B}$
où $\bar{A}$ est le complément de $A$ dans $E$. Vérifions par exemple la fonction indicatrice d'une union de deux sous-ensembles $F$ et $G$, les deux configurations qu'on peut avoir sont:
En utilisant ces relations, montrer que [À faire]: $$\phi_{A \Delta B} = \phi_{A} + \phi_{B} - 2\phi_{A}\phi_{B}$$ Cette relation est très importante car on va l'utiliser pour montrer que $(\mathcal{P},\Delta,\cup)$ est un anneau$
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- Définition La fonction caractéristique d'un sous-ensemble $F$ d'un ensemble $E$ pour un point $x \in E$ est noté $\phi_{F}(x)$ et est définie par:
$$\begin{eqnarray*}
\phi_{F}\,:\, E & \longrightarrow & \{0,1\}\\
x & \longmapsto & \phi_{F}(x)=\begin{cases}
1 & \text{si }x\in F\\
0 & \text{si }x\not\in F\end{cases}\end{eqnarray*}$$
C'est à dire qu'elle nous indique si un point $x$ appartient ou pas au sous-ensemble $F$. Elle donne $1$ si il lui appartient, $0$ sinon.
Généralement, on évite d'écrire l'argument $(x)$ de la fonction, et on écrit tout simplement $\phi_{F}$, en gardant en tête qu'elle nous indique si oui ou non un certain élément $x$ appartient à $F$ ou pas.
Quelques exemples
$\phi_{F}(c) = 0$
$\phi_{F \cap G}(a) = 0$
$\phi_{F \cap G}(b) = 1$
$\phi_{F \cup G}(d) = 0$
$\phi_{F \cup G}(a) = 1$
$\phi_{F \Delta G}(b) = 0$
$\phi_{E}(a) = \phi_{E}(b) = \phi_{E}(c) = \phi_{E}(d) = 1$
Quelques identités
Vous pouvez simplement vérifier (avec des exemples) les identités suivantes: (à partir de maintenant, on se fixe des sous-ensembles $(F,G,H,\dots)$ d'un ensemble $E$ et on imagine un point $x$ qui peut être n'importe où dans $E$)
$\phi_{\bar{A}}=1-\phi_{A}$
$\phi_{A \cap B} = \phi_{A}\phi_{B}$
$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B}$
$\phi_{A\backslash B} = \phi_{A} - \phi_{A}\phi_{B}$
où $\bar{A}$ est le complément de $A$ dans $E$. Vérifions par exemple la fonction indicatrice d'une union de deux sous-ensembles $F$ et $G$, les deux configurations qu'on peut avoir sont:
En utilisant ces relations, montrer que [À faire]: $$\phi_{A \Delta B} = \phi_{A} + \phi_{B} - 2\phi_{A}\phi_{B}$$ Cette relation est très importante car on va l'utiliser pour montrer que $(\mathcal{P},\Delta,\cup)$ est un anneau$
[Vous pouvez poser des questions, faire des commentaires ou signaler une erreur en cliquant sur Commentaires ci dessous, vous pouvez aussi écrire des éxpressions mathématiques, voir comment]
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