Anneaux

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• Exercice 4 Montrer que dans un anneau $(A,+,.)$, pour tous éléments $a$ et $b$ on a:
  $a.0=0.a=0$
  $a.(-b)=(-a).b=-(a.b)$
  où $0$ est l'élément neutre de $+$, et que si $1$ est l'élément neutre de $.$ et $A\not=\{0\}$ on ne peut jamais avoir $1=0$.
  
• Corrigé 4 Avant de commencer, il faut bien comprendre que les symboles qu'on utilise ici $(+,.,0,1)$ ne sont rien de plus que des symboles, par exemple $+$ n'est pas la vraie addition même si on va par abus de langage continuer à l'appeler addition, $0$ n'est pas le nombre nul mais l'élément neutre de la loi qu'on a noté par $+$. Dans l'exercice précédant par exemple (l'anneau $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap))$ on a:
  $+ \doteq \Delta$
  $. \doteq \cap$
  $0 \doteq \emptyset$
  $1$ n'existe pas car l'anneau n'est pas unitaire
  Les preuves de ces propositions sont simples à comprendre mais plutôt difficiles à trouver, c'est pour cela que je vais donner en détail l'acheminement des idées qui vont nous amener à trouver ces preuves.
  Pour la première proposition, on voit qu'elle fait entrer en jeu la loi $.$ et l'élément $0$, la question qu'on doit se poser est donc: que savons-nous de ces deux objets quand on a affaire à un anneau?.
  La réponse est bien sûr:
  • On sait que $.$ est associative et distributive par rapport à $+$
    
  • On sait que $0$ est l'élément neutre de $+$
  Cela étant dit, on devra utiliser ces deux propriétés de façon combinée (car on se trouve dans une même équation), on voit que le lien entre les deux est l'opération $+$, donc on garde:
  • On sait que $.$ est distributive par rapport à $+$
    
  • On sait que $0$ est l'élément neutre de $+$
  On va donc montrer que $$a.0=0$$ Pour utiliser les deux propriétés citées plus haut on a besoin de faire apparaître la loi $+$ tout en gardant les éléments $a$ et $0$ présents, la seule façon de le faire est d'écrire: $$\begin{eqnarray*} a.0 & = & a.(0+0) \text{ (car 0 est element neutre de +)}\\ & = & (a.0)+(a.0) \text{ (car . est distributive par rapport a +)} \end{eqnarray*}$$ La question est donc maintenant, quel est l'élément $x=a.0$ qui vérifie: $$x=x+x$$ Le seul élément vérifiant cette propriété est bien sûr l'élément neutre de $+$ à savoir $0$, donc on a réussi à montrer que: $$a.0=0$$ On peut refaire la même chose pour montrer que $0.a=0$ Maintenant, pour montrer la deuxième proposition: $a.(-b)=-(a.b)$ il faudra montrer que $a.(-b)$ est le symétrique de $(a.b)$ (c'est bien ce que cette relation dit!), c'est à dire montrer que: $$[a.(-b)]+[(a.b)]=0$$ On va encore une fois utiliser la distributivité de $.$ par rapport à $+$ $$\begin{eqnarray*} [a.(-b)]+[(a.b)] & = & a.[(-b)+(b)]\\ & = & a.0\\ & = & 0\end{eqnarray*}$$ On a donc réussi à montrer qu'ils sont symétriques, la même chose peut être répétée pour montrer que (-a).b=-(a.b). Maintenant on pourrait imaginer que les deux éléments $0$ et $1$ puissent être égaux (on sait que ce n'est pas le cas pour l'anneau connu $(\mathbb{R},+,.)$ car les nombres $1$ et $0$ sont bel et bien différents), le but de la troisième question est de montrer qu'il est impossible que cela arrive, que $1\not= 0$ quel que soit l'anneau! La façon la plus simple de montrer qu'une proposition est fausse est de supposer qu'elle soit vraie et de montrer que ça nous mène vers une contradiction, donc supposons que $1=0$, voyons ce qu'il va arriver: $$\begin{cases} \forall a :& a.0=0\\ \forall a :& a.1=a\\ \forall a :& a.0=a.1\text{ (car 0=1)}\end{cases}\iff\forall a\,: a=0$$ On voit dont qu'on tombe sur une contradiction (tout les éléments de l'anneau sont l'élément neutre) sauf si l'anneau n'est constitué que de l'élément neutre $A=\{0\}$ ce qui a été écarté dans l'exercice ($A\not=\{0\}$).
• Exercice 5 Dans $\mathbb{Z}^{2}$, définissons une addition et une multiplication par les relations suivantes: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:\begin{cases} (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\\ (a,b).(c,d)=(a.c,b.d)\end{cases}$$
  1. Prouver que $\mathbb{Z}^{2}$ muni de ces deux lois est un anneau commutatif unitaire.
     
  2. Quels sont les éléments inversibles de cet anneau?
     
  3. Est-il intègre?
     
  4. Soit $H=\{(a,0),\,a \in \mathbb{Z}\}$, montrer que c'est un sous-anneau unitaire de $\mathbb{Z}^{2}$
     
  5. que remarquez vous?
• Indications pour la correction 5
  1. Pour que $(\mathbb{Z}^{2},+,.)$ soit un anneau commutatif unitaire on doit avoir:
     • $(\mathbb{Z}^{2},+,.)$ doit être un anneau c'est à dire:
       • $(\mathbb{Z}^{2},+)$ doit être un groupe abélien, c'est à dire
         • $+$ est commutative
           
         • $+$ est une l.c.i
           
         • $+$ admet un élément neutre
           
         • tout les éléments de $\mathbb{Z}^{2}$ sont symétrisable par rapport à $+$
           
         • $+$ est associative
       • $.$ doit être associative et distributive par rapport à $+$
     • pour qu'il soit commutative $.$ doit être commutative
       
     • pour qu'il soit unitaire $.$ doit admettre un élément neutre.

     Indications pour les démonstrations:

     [Faites les démonstrations!]
     • $+$ est commutative ssi: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)$$
       
     • $+$ est une l.c.i ssi: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:(a,b)+(c,d)\in\mathbb{Z}^{2}$$
       
     • $+$ admet un élément neutre (le zéro de l'anneau) noté $0_{\mathbb{Z}^{2}} = (e_{1},e_{2})$ ssi: $$\forall(a,b)\in\mathbb{Z}^{2}:(a,b)+(e_{1},e_{2})=(e_{1},e_{2})+(a,b)=(a,b)$$
       
     • tout les éléments de $\mathbb{Z}^{2}$ sont symétrisable par rapport à $+$ ssi: $$\forall(a,b)\in\mathbb{Z}^{2},\,\exists [-(a,b)]\in\mathbb{Z}^{2}:\,(a,b)+[-(a,b)]=[-(a,b)]+(a,b)=(e_{1},e_{2})$$
       
     • $+$ est associative ssi: $$\forall(a,b),(c,d),(e,f)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{3}:\,\left[(a,b)+(c,d)\right]+(e,f)=(a,b)+\left[(c,d)+(e,f)\right]$$
       
     • $.$ est associative ssi: $$\forall(a,b),(c,d),(e,f)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{3}:\,\left[(a,b).(c,d)\right].(e,f)=(a,b).\left[(c,d).(e,f)\right]$$
       
     • $.$ est distributive par rapport à $+$ ssi: $$\forall(a,b),(c,d),(e,f)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{3}:\,\left[(a,b)+(c,d)\right].(e,f)=\left[(a,b).(e,f)\right]+\left[(c,d).(e,f)\right]$$
       
     • $.$ est commutative ssi: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:(a,b).(c,d)=(c,d).(a,b)$$
       
     • $.$ admet un élément neutre (le $1$ de l'anneai) notée $1_{\mathbb{Z}^{2}} = (e'_{1},e'_{2})$ ssi: $$\forall(a,b)\in\mathbb{Z}^{2}:(a,b)+(e'_{1},e'_{2})=(e'_{1},e'_{2})+(a,b)=(a,b))$$
  2. Les éléments inversibles de cet anneau sont les éléments inversibles par rapport à $.$, c'est à dire ce sont les éléments $(a,b) \in \mathbb{Z}$ tels qu'il existe pour chacun d'entre eux un élément inverse noté $(a,b)^{-1}$ qui vérifie: $$(a,b).(a,b)^{-1}=(a,b)^{-1}.(a,b)=(e'_{1},e'_{2})$$ Il reste donc à chercher à quoi est égale $(a,b)^{-1}$ et pour quels $(a,b)$ il existe.[Faites le!]
     
  3. $(\mathbb{Z}^{2},+,.)$ est intègre s'il est différent de l'anneau nul $\{0\}$ et ne possède aucun diviseur de zéro, c'est à dire ssi: $$\forall(a,b),(c,d)\in\left(\mathbb{Z}^{2}\right)^{2}:(a,b).(c,d)=(e_{1},e_{2})\Longrightarrow\begin{cases} (a,b) & =(e_{1},e_{2})\\ \vee\\ (c,d) & =(e_{1},e_{2})\end{cases}$$ Il suffit donc de montrer cette implication [Faites le!], où $(e_{1},e_{2})$ est l'élément neutre de $+$, autrement dit c'est le zéro de l'anneau ($0_{\mathbb{Z}^{2}}$), la relation qu'on a donné est concordante avec le fait de dire "ne possède pas de diviseur de zéro", en effet, si ce qui est à droite de l'implication n'arrive pas (c'est à dire si ni $(a,b)$ ni $(c,d)$ ne sont égaux au zéro de l'anneau $0_{\mathbb{Z}^{2}} = (e_{1},e_{2})$), on pourra écrire: $$(a,b)=\frac{(e_{1},e_{2})}{(c,d)}=\frac{0_{\mathbb{Z}^{2}}}{(c,d)}$$ C'est à dire qu'on peut diviser le $0_{\mathbb{Z}^{2}}$ par un élément $(c,d)$, et l'anneau ne sera donc pas intègre.
     
  4. Pour que $H$ soit un sous-anneau de $\mathbb{Z}^{2}$ il faut que:
     • $H \not= \emptyset$
       
     • $\forall (a,0),(b,0) \in H^{2} : (a,0) + [-(b,0)] \in H^{2}$
       
     • $\forall (a,0),(b,0) \in H^{2} : (a,0) . (b,0) \in H^{2}$
     Il faut donc vérifier ces trois conditions. Pour qu'il soit unitaire, il faut que sa deuxième loi $.$ admette un élément neutre $(e'',0) \in H$ $$\forall (a,0) \in H : (a,0) . (e'',0) = (a,0)$$
  5. Que remarquer à propos des deux éléments neutres par rapport aux deuxièmes lois des deux anneaux (l'anneau et le sous-anneau)
• Exercice 6 $(\mathcal{B}(E),+,\circ)$ désigne l'ensemble des applications bijéctives de $E$ dans $E$ muni de l'addition $+$ des applications et de la composition d'applications $\circ$. Est-il un anneau? Rasions?
  
• Indications pour la correction 6 Pour que $(\mathcal{B}(E),+,\circ)$ soit un anneau il faut que (on doit appliquer toutes les applications sur un élément $x \in E$):
  • $(\mathcal{B}(E),+)$ soit un groupe abélien c'est à dire
    • $+$ est commutative c-à-d; $$\forall (f,g) \in \mathcal{B}(E)^{2},\,\forall x \in E : (f+g)(x)=(g+f)(x)$$
      
    • $+$ est une l.c.i dans $\mathcal{B}(E)$ $$\forall (f,g) \in \mathcal{B}(E)^{2},\,\forall x \in E : (f+g)(x) \in E $$
      
    • $+$ admet un élément neutre $$\exists e \in \mathcal{B}(E),\,: \forall f \in \mathcal{B}(E),\,\forall x \in E: (f + e)(x) = (e + f)(x) = f(x)$$
      
    • chaque élément de $\mathcal{B}(E)$ est symétrisable par rapport à $+$ $$\forall f \in \mathcal{B}(E) : \exists [-f] \in \mathcal{B}(E),\,\forall x \in E, (f + [-f])(x) = ([-f] + f)(x) = e(x)$$
      
    • $+$ est associative $$\forall (f,g,h) \in \mathcal{B}(E)^{3},\,\forall x \in E :[(f+g)+h](x)=[f+(g+h)](x)$$
  • $\circ$ est associative et distributive par rapport à $+$ $$\forall(f,g,h)\in\mathcal{B}(E)^{3},\,\forall x\in E:\begin{cases} [(f\circ g)\circ h](x) & =[f\circ(g\circ h)](x)\\{} [(f+g)\circ h](x) & =[(f\circ h)+(g\circ h)](x)\end{cases}$$
  Il faut donc voir si toutes ces conditions sont vérifiées, si on trouve ne serait-ce qu'une seule qui ne soit pas vérifiée, il ne sera donc pas un anneau.
  Question (#Q-REX1) Si elle existe, laquelle de ces conditions n'est pas vérifiée? Et pourquoi? Répondre à la question (+points à la clé) [[Réponses]]
• Exercice 7 Dans l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times)$ où l'on suppose que $n\geq 2$, quel est l'élément symétrique de $\dot x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times)$ soit un corps.
  
• Corrigé 7 Rappelons que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est l'ensemble des sacs (les classes d'équivalences), chaque sac regroupe tout les éléments de $\mathbb{Z}$ qui sont équivalents (via une relation d'équivalence $\mathcal{R}$), cette équivalence dit que: deux éléments $a$ et $b$ de $\mathbb{Z}$ sont équivalents via $\mathcal{R}$ ($a \mathcal{R} b$) si et seulement si $(a-b)$ est un multiple de $n$ ($a \star b^{-1} \equiv a - b \in n\mathbb{Z}$ dans ce cas $n\mathbb{Z}$ est le sous-groupe par lequel on "quotionne")
  Donc on veut savoir quel est le sac $\dot{x}^{-1}$ qui est le symétrique du sac $\dot x$ (par rapport à $\otimes$), pour rappel le sac $\dot x$ est le sous-ensemble des éléments $y \in \mathbb{Z}$ qui sont en relations avec $x$ via $\mathcal{R}$ ($y \mathcal{R} x$).
  Maintenant, pour connaitre un symétrique, il faut d'abord savoir quel est l'élément neutre, ou le sac neutre. Par définition de $\dot \times$ $$\dot a \dot \times \dot b = \dot{\overline{a\times b}}$$ Donc à votre avis le sac neutre (appelons le $1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$) est le sac de quel élément? Prouvez le.
  $$\forall \dot a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : \dot a \dot\times 1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} = 1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} \dot\times \dot a = \dot a$$ La question est donc: $1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ est la classe d'équivalence de quel élément $\epsilon \in \mathbb{Z}$: $$1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} = \dot\epsilon$$ Pour ce faire, il faut résoudre les équations: $$\begin{eqnarray*} \forall\dot{a}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}:\begin{cases} \dot{a}\dot{\times}\dot{\epsilon} & =\dot{a}\\ \dot{\epsilon}\dot{\times}\dot{a} & =\dot{a}\end{cases} & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} \dot{\overline{a\times\epsilon}} & =\dot{a}\\ \dot{\overline{\epsilon\times a}} & =\dot{a}\end{cases}\\ & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} (a\times\epsilon)\,\mathcal{R}\,(a)\\ (\epsilon\times a)\,\mathcal{R}\,(a)\end{cases}\\ & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} a\times\epsilon-a & \in n\mathbb{Z}\\ \epsilon\times a-a & \in n\mathbb{Z}\end{cases}\\ & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} a\times(\epsilon-1) & =nk\,\,\text{ avec }\,\,k\in\mathbb{Z}\\ (\epsilon-1)\times a & =nk\,\,\text{ avec }\,\,k\in\mathbb{Z}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ Dans la première ligne on a exploité le faite que dire "quelle que soit la classe d'équivalence de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$" est équivalent à dire "quel que l'élément de $\mathbb{Z}$" et on a aussi utilisé la définition de la loi $\dot\times$, dans la seconde ligne on a exploité le fait que si deux classes d'équivalences se confondent (sont les même) cela veux dire que les éléments qui les représentent sont en relation via $\mathcal{R}$, dans la troisième ligne on a explicité cette relation d'équivalence (celle qui définie le groupe quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$), maintenant dans la quatrième ligne on a par exemple: $a\times(\epsilon-1) = nk$ quel que soit $a$, cela veut dire que $(\epsilon-1)$ lui-même est un multiple de $n$: $$\begin{eqnarray*} \epsilon-1=nk & \iff & \epsilon=nk+1\\ & \iff & \epsilon\in\dot{1}\\ & \iff & \dot{\epsilon}=\dot{1}\end{eqnarray*}$$ car les nombres qui s'écrivent sous la forme $nk+1$ forment la classe d'équivalence de $1$ (en effet $(nk+1)-1=nk\in n\mathbb{Z}$)
  Donc l'élément neutre de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ par rapport à $\dot\times$ est $\dot 1$
  Ayant fait cela, voyez la définition du sac symétrique $(\dot{x})^{-1}$ (supposons que $(\dot{x})^{-1}$ est la classe d'équivalence d'un certain élément $x^{*}$ c'est-à-dire $(\dot{x})^{-1} \equiv \dot{\left(x^{*}\right)}$, le tout est donc de trouver ce ${x}^{*}$) $$\begin{eqnarray*} \begin{cases} \dot{x}\dot{\times}\left(\dot{x}\right)^{-1} & =\dot{1}\\ \left(\dot{x}\right)^{-1}\dot{\times}\dot{x} & =\dot{1}\end{cases} & \iff & \begin{cases} \dot{x}\dot{\times}\dot{\left(x^{*}\right)} & =\dot{1}\\ \dot{\left(x^{*}\right)}\dot{\times}\dot{x} & =\dot{1}\end{cases}\\ & \iff & \begin{cases} \dot{\overline{(x\times x^{*})}} & =\dot{1}\\ \dot{\overline{(x^{*}\times x)}} & =\dot{1}\end{cases}\\ & \iff & \begin{cases} (x\times x^{*})-1 & =nk\,\,\text{ pour un }\,\, k\in\mathbb{Z}\\ (x^{*}\times x)-1 & =nk\,\,\text{ pour un }\,\, k\in\mathbb{Z}\end{cases}\\ & \iff & x^{*}=\frac{nk+1}{x}\,\,\text{ pour un }\,\, k\in\mathbb{Z}\end{eqnarray*}$$ Mais le problème est que ${x}^{*}$ doit être un élément de $\mathbb{Z}$ (un entier relatif), mais dans la dernière relation, on n'est pas certain qu'on tombe sur un ${x}^{*}$ entier à tout les coups! En fait, ${x}^{*}$ s'avère être un entier pour seulement quelques valeurs de $n$, d'où la question suivante à propos du corps
  Maintenant pour que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times)$ soit un corps il faut que tout éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ soient inversibles (par rapport à $\dot\times$ bien sûr), autrement dit, il faut que le $x^{*}$ qu'on vient de trouver soit toujours entier!.
  Reprenons l'avant-dernière ligne des calculs qu'on vient de faire, le premier cas par exemple: $$(x^{*}\times x)-1=nk\iff x^{*}x-nk=1$$ $k$ est un nombre quelconque de $\mathbb{Z}$ sans grande importance, on peut alors faire une redéfinition $k \to -k$ on aura alors: $$x^{*}x+nk=1$$ Et cela doit être le cas quel que soit le $x$ qu'on choisit (rappelez vous, TOUT les éléments doivent être inversibles pour qu'il soit un corps), donc: $$\forall x\in\mathbb{Z}\,:\, x^{*}x+nk=1$$ Ceci est une équation a inconnus $x^{*}$ et $k$, (en effet on a fixé le $x$ pour lequel on veut chercher le symétrique et on connait le $n$ qui définit $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$), il existe un théorème qu'on appelle le théorème de Bézout (que normalement vous connaissez, sinon jetez un coup d'oeil ici) qui dit que:
  
  L'équation $ax+by=1$ admet des solutions (pour $x$ et $y$) si et seulement si $a$ et $b$ sont premiers entre eux (c'est-à-dire que le plus grand diviseur commun entre eux est 1)
  
  Si on applique ce théorème à notre cas, cela veut dire que $x$ et $n$ doivent être premiers entre eux, mais cela doit se passer QUEL QUE SOIT $x$, c'est-à-dire que $n$ lui-même doit être premier. (si c'est le cas, le plus grand diviseur commun entre les deux sera toujours 1 car $n$ étant entier lui-même n'admet pour diviseur que le 1!)
  Voila, on a répondu à la question: pour que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times)$ soit un corps il faut que $n$ soit premier (exemples: $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, ...etc)
  
• Exercice 8 Dans $\mathbb{R}^{2}$, on définit pour tous couples $(a,b)$ et $(c,d)$ les opérations suivantes: $$\begin{cases} (a,b)\oplus(c,d) & =(a+b,c+d)\\ (a,b)\otimes(c,d) & =(ac-bd,ad+bc)\end{cases}$$ Montrer que le triplet $(\mathbb{R}^{2},\oplus,\otimes)$ est un corps commutatif et que $\mathbb{R}$ en est un sous-corps.
  
• Indications pour la correction 7 [Bientôt...]

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