(P(E),Δ,∩) est un anneau commutatif

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Dans cette séance on a résolu l'exercice n°03 de la fiche TD n°03, il s'agissait de montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)$ est un anneau commutatif, où $\Delta$ est ce qu'on appelle la différence symétrique entre deux sous-ensembles (deux parties) et est définie par: $$\forall (A,B) \in \mathcal{P}(E)^{2} : A \Delta B = (A\backslash B) \cup (B\backslash A)$$ Voici à quoi ressemble la différence symétrique pour deux cas concrets: On remarque que la différence symétrique (représentée en hachurée dans le dessin) est seulement l'union moins l’intersection. Passons maintenant à l'exercice:

• Exercice 3 Montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)$, où $\mathcal{P}(E)$ désigne l'ensemble des parties de $E$, possède une structure d'anneau commutatif.
  
• Corrigé 3 Pour montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)$ est un anneau on doit montrer les choses suivantes:
  • que $(\mathcal{P}(E),\Delta)$ est un groupe abélien, c'est à dire que:
    • $\Delta$ est commutative
      
    • $\Delta$ est une l.c.i
      
    • $\Delta$ admet un élément neutre
      
    • chaque élément de $\mathcal{P}(E)$ est symétrisable par rapport à $\Delta$
      
    • $\Delta$ est associative
  • que $\cap$ est associative et distributive par rapport à $\Delta$
  Et pour montrer que c'est un anneau commutatif, il suffit de montrer encore que:
  • $\cap$ est commutative
  Ce qui est souligné est ce qu'on sait déjà (en cours en utilisant la logique), il nous reste à démontrer les autres propriétés.

  Commutativité de $\Delta$

  $\Delta$ est commutative car: $$\begin{eqnarray*} \forall(A,B)\in\mathcal{P}(E)^{2}\,:\, A\Delta B & = & (A\backslash B)\cup(B\backslash A)\\ & = & (B\backslash A)\cup(A\backslash B)\text{ (car }\cup\text{ est commutative)}\\ & = & B\Delta A\end{eqnarray*}$$

  $\Delta$ est une l.c.i

  $\Delta$ est une l.c.i car elle est définie par les deux l.c.i $\backslash$ et $\cup$, en d'autres termes, la différence symétrique de deux sous-ensembles est aussi un sous-ensemble.

  Élément neutre de $\Delta$

  $\emptyset$ est l'élément neutre de $\Delta$ car: $$\begin{eqnarray*} \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\, A\Delta\emptyset & = & (A\backslash\emptyset)\cup(\emptyset\backslash A)\\ & = & A\cup\emptyset\\ & = & A\end{eqnarray*}$$ il en sera de même pour $\emptyset \Delta A$ car on a déjà démontré que $\Delta$ est commutative.

  Les Éléments inverses

  Notons par $A^{-1}$ l'élément inverse de $A\in E$, et cherchons à quoi est égale ce $A^{-1}$, par définition on a: $$\begin{eqnarray*} \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\, A\Delta A^{-1}=\emptyset & \iff & \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\,(A\backslash A^{-1})\cup(A^{-1}\backslash A)=\emptyset\\ & \iff & \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\,\begin{cases} (A\backslash A^{-1}) & =\emptyset\\ \wedge\\ (A^{-1}\backslash A) & =\emptyset\end{cases}\\ & \iff & \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\, A^{-1}=A\end{eqnarray*}$$ pour passer de la première ligne à la deuxième on a utilisé le fait que si l'union de deux sous-ensembles est vide alors forcément que ces deux sous-ensembles sont eux-mêmes vides, le passage de la deuxième à la troisième ligne est évident. La condition $A^{-1} \Delta A=\emptyset$ donnera forcément le même résultat car on a déjà vu que $\Delta$ est commutative. Le symétrique de chaque élément par rapport à $\Delta$ est donc ... lui même!

  $\Delta$ est associative

  On doit démontrer que $$\forall(A,B,C)\in\mathcal{P}(E)^{3}\,:\, A\Delta(B\Delta C)=(A\Delta B)\Delta C$$ Démontrer cette relation en utilisant seulement la définition de $\Delta$ s'avère être une tâche difficile, c'est pour cela qu'on va utiliser les fonctions indicatrices dont j'ai déjà parlé, c'est à dire qu'on va démontrer que: $$\forall(A,B,C)\in\mathcal{P}(E)^{3}\,:\,\phi_{A\Delta(B\Delta C)}=\phi_{(A\Delta B)\Delta C}$$ Mais avant cela petit rappel: $\phi_{A \cap B} = \phi_{A}\phi_{B}$ $\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B}$ $\phi_{A\backslash B} = \phi_{A} - \phi_{A}\phi_{B}$ Maintenant, pour pouvoir calculer des expressions telles que $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$ on a d'abord besoin de calculer $\phi_{A \Delta B}$, c'est ce qui va suivre: $$\begin{eqnarray*} \phi_{A\Delta B} & = & \phi_{(A\backslash B)\cup(B\backslash A)}\\ & = & \phi_{(A\backslash B)}+\phi_{(B\backslash A)}-\phi_{(A\backslash B)}\phi_{(B\backslash A)}\\ & = & (\phi_{A}-\phi_{A}\phi_{B})+(\phi_{B}-\phi_{B}\phi_{A})-(\phi_{A}-\phi_{A}\phi_{B})(\phi_{B}-\phi_{B}\phi_{A})\\ & = & \phi_{A}+\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{B}+(-\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}^{2}+\phi_{A}^{2}\phi_{B}-\phi_{A}^{2}\phi_{B}^{2})\end{eqnarray*}$$ On va montrer maintenant que ce qui est entre parenthèses dans la dernière ligne est nul, pour ceci remarquons que puisque $\phi$ ne peut prendre pour valeurs que le $0$ ou le $1$, et puisque $1^{n}=1$ et $0^{n}=0$, on à $\phi^{n}=\phi$, donc l'expression entre parenthèses est bien nulle: $$\begin{eqnarray*} -\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}^{2}+\phi_{A}^{2}\phi_{B}-\phi_{A}^{2}\phi_{B}^{2} & = & -\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}-\phi_{A}\phi_{B}\\ & = & 0\end{eqnarray*}$$ On obtient en fin de compte: $$\phi_{A\Delta B}=\phi_{A}+\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{B}$$ Calculons maintenant $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$ $$\begin{eqnarray*} \phi_{A\Delta(B\Delta C)} & = & \phi_{A}+\phi_{B\Delta C}-2\phi_{A}\phi_{B\Delta C}\\ & = & \phi_{A}+(\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C})-2\phi_{A}(\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C})\\ & = & \phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C}-2\phi_{A}\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{C}+4\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C}\end{eqnarray*}$$ La prochaine étape serait de calculer aussi $\phi_{(A\Delta B)\Delta C}$ et de comparer les deux résultats, c'est juste, mais ici je vais suivre un raccourcie, sans passer par le calcul de $\phi_{(A\Delta B)\Delta C}$. Réécrivons d'abord $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$ d'une autre manière: $$\begin{eqnarray*} \phi_{A\Delta(B\Delta C)} & = & \phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C}-2\phi_{A}\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{C}+4\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C}\\ & = & (\phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C})-2(\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{B}\phi_{C}+\phi_{C}\phi_{A})+4(\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C})\end{eqnarray*}$$ Je n'ai fait que réarranger les termes d'une autre manière, cette manière nous permet de voir que l’expression de $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$ est invariante sous la permutation cyclique des éléments $(A,B,C)$, mais d'abord, qu'est ce qu'une permutation cyclique? Rien ne vaut un schéma pour la comprendre: Ici on a fait 3 permutations cycliques successives sur $(A,B,C)$ pour obtenir dans l'ordre: $(B,C,A)$ puis $(C,A,B)$ et enfin revenir à $(A,B,C)$ (d'où l’adjectif "cyclique", car après un cycle on retombe sur la configuration initiale) Revenons donc à notre expression de $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$, si on fait une permutation cyclique sur $(A,B,C)$ voilà ce qu'on trouve: $$\phi_{B\Delta(C\Delta A)}=(\phi_{B}+\phi_{C}+\phi_{A})-2(\phi_{B}\phi_{C}+\phi_{C}\phi_{A}+\phi_{A}\phi_{B})+4(\phi_{B}\phi_{C}\phi_{A})$$ Mais on remarque que c'est la même chose que pour $\phi_{A\Delta(B\Delta C)}$: $$\begin{eqnarray*} \phi_{B\Delta(C\Delta A)} & = & (\phi_{B}+\phi_{C}+\phi_{A})-2(\phi_{B}\phi_{C}+\phi_{C}\phi_{A}+\phi_{A}\phi_{B})+4(\phi_{B}\phi_{C}\phi_{A})\\ & = & \overset{\updownarrow=}{(\phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C})}-\overset{\updownarrow=}{2(\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{B}\phi_{C}+\phi_{C}\phi_{A})}+\overset{\updownarrow=}{4(\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C})}=\phi_{A\Delta(B\Delta C)}\end{eqnarray*}$$ On vient de montrer que: $$\phi_{B\Delta(C\Delta A)} = \phi_{A\Delta(B\Delta C)}$$ Mais on sait aussi que $\Delta$ est commutative, on peut donc inverser dans la partie de droite pour enfin obtenir: $$\phi_{B\Delta(C\Delta A)} = \phi_{(B\Delta C)\Delta A}$$ On vient de démontrer que les fonctions indicatrices des deux sous-ensembles $B\Delta(C\Delta A)$ et $(B\Delta C)\Delta A$ sont égales, ce qui est équivalent à dire que ces deux sous ensembles sont égaux: $$B\Delta(C\Delta A) = (B\Delta C)\Delta A$$ Cette égalité n'est rien d'autre que la preuve de la commutativité de $\Delta$.

  $\cap$ est associative

  On l'a vu dans le cours

  $\cap$ est distributive par rapport à $\Delta$

  Encore une fois, il serait difficile de le montrer en n'utilisant que la définition de $\Delta$, et encore une fois on va utiliser les fonctions indicatrices, c'est à dire qu'il faut montrer que: $$\forall(A,B,C)\in\mathcal{P}(E)^{3}\,:\, A\cap(B\Delta C)=(A\cap B)\Delta(A\cap C)$$ Je vous laisse donc le soin de le faire [À faire absolument!]

  $\cap$ est commutative

  On l'a vu dans le cours On a donc réussi à montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta)$ est un anneau commutatif.

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