Combinaisons linéaires

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• Exercice 9 Soit $E=\{(1,3),(-1,-2)\}$ une famille de $\mathbb{R}^{2}$. Peut-on exprimer $(2,0)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$? Même question pour une élément quelconque $(a,b)$ de $\mathbb{R}^{2}$. Que peut-on conclure?
  
• Correction 9 On écrit $(2,0)$ comme combinaison linéaire des éléments deux $E$ avec des coefficients inconnus et on cherche si ces coefficients existent:
  $$\begin{eqnarray*} (2,0)=\alpha(1,3)+\beta(-1,-2) & \iff & (2,0)=(\alpha,3\alpha)+(-\beta,-2\beta)\\ & \iff & (2,0)=(\alpha-\beta,3\alpha-2\beta)\\ & \iff & \begin{cases} 2=\alpha-\beta & \text{...(1)}\\ 0=3\alpha-2\beta & \text{...(2)}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ $$\text{3}\times\text{(1)-(2)}\iff6=-\beta\iff\begin{cases} \beta=-6\\ \alpha=2+\beta=-4\end{cases}$$ On a pu trouver $\alpha$ et $\beta$, donc $(2,0)$ peut être écrit comme combinaison linéaire des éléments de $E$: $$(2,0)=-4(1,3)-6(-1,-2)$$ On peut facilement vérifier que cette dernière relation est juste. Voyons maintenant si n'importe quel vecteur $(a,b)$ peut aussi l'être: $$\begin{eqnarray*} (a,b)=\alpha(1,3)+\beta(-1,-2) & \iff & (a,b)=(\alpha,3\alpha)+(-\beta,-2\beta)\\ & \iff & (a,b)=(\alpha-\beta,3\alpha-2\beta)\\ & \iff & \begin{cases} a=\alpha-\beta & \text{...(1)}\\ b=3\alpha-2\beta & \text{...(2)}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ $$\text{3}\times\text{(1)-(2)}\iff3a-b=-\beta\iff\begin{cases} \beta=b-3a\\ \alpha=2+\beta=2+b-3a\end{cases}$$ On voit donc que $\alpha$ et $\beta$ existent toujours quel que soit $(a,b)$, donc n'importe quel vecteur $(a,b)$ peut être exprimé comme combinaison linéaire des éléments de $E$. On dit alors que $E$ est une famille génératrice car à partir de elle ont construire n'importe quelle autre vecteur, autrement dit, générer tout l'espace vectoriel.
  
• Exercice 10 Soit $E=\{(4,6),(-6,-9)\}$ une famille de $\mathbb{R}^{2}$. Peut-on exprimer $(2,0)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$? Même question pour un élément quelconque $(a,b)$ de $\mathbb{R}^{2}$. Que peut-on conclure?
  
• Correction 10 On procède comme auparavant: $$\begin{eqnarray*} (2,3)=\alpha(4,6)+\beta(-6,-9) & \iff & (2,3)=(4\alpha,6\alpha)+(-6\beta,-9\beta)\\ & \iff & (2,3)=(4\alpha-6\beta,6\alpha-9\beta)\\ & \iff & \begin{cases} (2=4\alpha-6\beta) & \times3\\ (3=6\alpha-9\beta) & \times2\end{cases}\\ & \iff & \begin{cases} 6=12\alpha-18\beta\\ 6=12\alpha-18\beta\end{cases}\\ & \iff & 6=12\alpha-18\beta\end{eqnarray*}$$ On voit alors que les deux équations sont en fait une seule et unique, on se retrouve avec deux inconnus $\alpha$ et $\beta$ mais une seule équation à résoudre, le mieux qu'on puisse faire donc, c'est de laisser l'un des inconnus ($\beta$ par exemple) comme paramètre libre et faire sortir l'autre en fonction de ce paramètre libre. $$6=12\alpha-18\beta\iff\alpha=\frac{6+18\beta}{12}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\beta$$ Tout les couples $(\alpha,\beta)$ qui sont reliés par cette relation donc donnent $(2,3)$ comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille $E$, par exemple: $$\begin{eqnarray*} \beta=0\Longrightarrow\alpha=\frac{1}{2} & \iff & (2,3)=\frac{1}{2}(4,6)+0(-6,-9)\\ \beta=-1\Longrightarrow\alpha=-1 & \iff & (2,3)=-1(4,6)-1(-6,-9)\end{eqnarray*}$$ Donc la réponse est oui, on peut écrire $(2,3)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$, et en plus, d'une infinité de manières (tous les couples $(\alpha,\beta)$ qui satisfont la relation), voyons maintenant si c'est le cas pour un vecteur $(a,b)$ arbitraire: $$\begin{eqnarray*} (a,b)=\alpha(4,6)+\beta(-6,-9) & \iff & (a,b)=(4\alpha,6\alpha)+(-6\beta,-9\beta)\\ & \iff & (a,b)=(4\alpha-6\beta,6\alpha-9\beta)\\ & \iff & \begin{cases} (a=4\alpha-6\beta) & \times3\\ (b=6\alpha-9\beta) & \times2\end{cases}\\ & \iff & \begin{cases} 3a=12\alpha-18\beta & \text{...(1)}\\ 2b=12\alpha-18\beta & \text{...(2)}\end{cases}\\ \\\end{eqnarray*}$$ $$\text{(1)-(2)}\iff3a-2b=0\iff a=\frac{2}{3}b$$ On voit donc que le vecteur $(a,b)$ ne peut pas être n'importe lequel, mais doit être tel que la relation précédente soit satisfaite, on ne peut donc pas écrire n'importe quel vecteur $(a,b)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$; ce n'est pas une famille génératrice.