Combinaisons linéaires et familles génératrices

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• Exercice 11 Soit $E=\{(2,1),(-3,1),(-1,1)\}$ une famille de $\mathbb{R}^{2}$. Peut-on exprimer $(1,2)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$? Même question pour un élément $(a,b)$ quelconque. Est-elle une famille génératrice? Est-elle une base?
  
• Correction 11 On écrit la combinaison linéaire: $$\begin{eqnarray*} (1,2)=\alpha(2,1)+\beta(-3,1)+\gamma(-1,1) & \iff & (1,2)=(2\alpha,\alpha)+(-3\beta,\beta)+(-\gamma,\gamma)\\ & \iff & (1,2)=(2\alpha-3\beta-\gamma,\alpha+\beta+\gamma)\\ & \iff & \begin{cases} 1=2\alpha-3\beta-\gamma & \text{...(1)}\\ 2=\alpha+\beta+\gamma & \text{...(2)}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ On remarque qu'on a 3 inconnus et seulement deux équations, on laisse l'un des inconnus comme paramètre libre (par exemple $\beta$) et on exprime les deux autres en fonction de ce paramètre: $$\text{(1)+(2)}\Longrightarrow3=3\alpha-2\beta\iff\alpha=1+\frac{2}{3}\beta$$ $$\begin{eqnarray*} \text{(2)}\Longrightarrow\gamma & = & 2-\alpha-\beta\\ & = & 2-1-\frac{2}{3}\beta-\beta\\ & = & 1-\frac{5}{3}\beta\end{eqnarray*}$$ Donc il suffit de choisir une valeur pour $\beta$ et on obtiendra un triplet $(\alpha,\beta,\gamma)$, ce qui veut dire qu'on peut écrire $(1,2)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$ en plus d'une infinité de manières. Voyons si c'est aussi le cas pour un élément $(a,b)$ quelconque: $$\begin{eqnarray*} (a,b)=\alpha(2,1)+\beta(-3,1)+\gamma(-1,1) & \iff & (a,b)=(2\alpha,\alpha)+(-3\beta,\beta)+(-\gamma,\gamma)\\ & \iff & (a,b)=(2\alpha-3\beta-\gamma,\alpha+\beta+\gamma)\\ & \iff & \begin{cases} a=2\alpha-3\beta-\gamma & \text{...(1)}\\ b=\alpha+\beta+\gamma & \text{...(2)}\end{cases}\end{eqnarray*}$$ $$\text{(1)+(2)}\Longrightarrow a-b=3\alpha-2\beta\iff\alpha=\frac{a-b}{3}+\frac{2}{3}\beta$$ $$\begin{eqnarray*} \text{(2)}\Longrightarrow\gamma & = & 2-\alpha-\beta\\ & = & 2-\frac{a-b}{3}-\frac{2}{3}\beta-\beta\\ & = & 2-\frac{a-b}{3}-\frac{5}{3}\beta\end{eqnarray*}$$ On peut alors toujours écrire $(a,b)$ comme combinaison linéaire des éléments de $E$, $E$ est donc une famille génératrice, mais est-elle une base? Pour être une base, il faut qu'elle soit une famille libre en plus d'être génératrice, voyons donc si elle est libre: [bientôt...]