Groupes quotients, Z/nZ

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La raison pour laquelle j'ai décidé de consacrer tout une séance à la notion de groupes quotients est que je juge que cette notion est très importante, et parfois difficile à assimiler, je vais donc essayer de bien la faire comprendre en illustrant avec des exemples (les fameux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$).

Soit $(G,\star)$ un groupe et $G'$ un sous-groupe de $G$. La définition d'un groupe quotient passe par trois étapes:

1. D'abord on définit une relation d'équivalence sur $G$
   • $\forall (a,b) \in G : a \mathcal{R} b \iff a \star b^{-1} \in G'$
   Il est facile de montrer que cette relation est bien une relation d'équivalence (réflexive, symétrique et transitive), ce serait un très bon exercice de le démontrer [faites le]
2. En utilisant cette relation, on construit le quotient de l'ensemble $G$ : $G/\mathcal{R}$, on le note habituellement $G/G'$ au lieu de $G/\mathcal{R}$, on note les éléments de $G/G'$ par leurs représentants avec un point au dessus ($\dot{a}, \dot{b}, \dot{c}, ...\text{etc}$), on muni ensuite ce nouvel ensemble d'une loi notée $\oplus$ définie par:
   • $\forall (\dot{a},\dot{b}) \in {(G/G')}^{2} : \dot{a} \oplus \dot{b} = \dot{\overline{a\star b}}$
3. $\oplus$ n'est pas forcément une l.c.i dans $G/G'$, elle devient une l.c.i si $\star$ est commutative, ce serait un très bon exercice de le démontrer [faites le]
   Maintenant donc, si $(G,\star)$ est un groupe abélien, alors $(G/G',\oplus)$ devient un groupe abélien, on l'appelle le groupe de quotient de $G$ par $G'$, ce serait un très bon exercice de le démontrer [faites le]

Explications

1. Que fait-on vraiment quand on quotienne un ensemble par une relation d’équivalence? Prenons un exemple simple:
   J'ai l'ensemble suivante: $$E = \{33, 64, 87, 100, 60, 12, 555, 6, 1, 44, 8, 55\}$$
   J'ai la relation d'équivalence suivante: $$\forall(a,b)\in E^{2}:a\mathcal{R}b\iff\left(\overset{\text{la somme des chiffres composant }a}{\underset{\text{la somme des chiffres composant }b}{=}}\right)$$ Il est facile de voir que c'est bien une relation d'équivalence (puisque s'appuyant sur une relation d’équivalence bien connue: $=$). Si on applique cette relation sur les éléments de $E$ on trouve: $$33\;\mathcal{R}\;60\;\mathcal{R}\;6$$ $$64\;\mathcal{R}\;55$$ $$87\;\mathcal{R}\;555$$ $$100\;\mathcal{R}\;1$$ $$44\;\mathcal{R}\;8$$ Et $12$ qui n'est lié à aucun autre élément.
   Autrement dit, l'ensemble quotient $E/\mathcal{R}$ est: $$ E /\mathcal{R} = \{ \{33, 60, 6\}, \{64, 55\}, \{87, 555\}, \{100, 1\}, \{44, 8\}, \{12\} \}$$ Il faut bien comprendre que les éléments de $E/\mathcal{R}$ sont des sous-ensembles: C'est comme si on mettait tout les éléments équivalents dans un sac, l'ensemble de ces sacs est l'ensemble quotient $E/\mathcal{R}$.
   
   Maintenant, tout les éléments d'un même sac sont équivalents, c'est à dire qu'ils sont considérés comme égaux en quelque sort, ce qu'on va faire donc, c'est choisir dans chaque sac un élément pour représenter ses compagnons dans le sac, on dit que c'est un représentant et on le note généralement avec un point au dessus de la tête.
   L'ensemble constituant le sac est appelé une classe d'équivalence.
   Par exemple on peut choisir le représentant du sac $\{33, 60, 6\}$ le premier élément, au lieu d'écrire $\{33, 60, 6\}$ on écrira $\dot{33}$. On peut aussi choisir $\dot{60}$ ou $\dot{6}$, tout les trois peuvent être représentants. Littéralement on a: $$\dot{33} \equiv \dot{60} \equiv \dot{6} \equiv \{33, 60, 6\}$$ Alors au lieu de voir $E/\mathcal{R}$ comme un ensemble constitué de sous ensembles, il est préférable de le voir comme un ensemble constitué de représentants ou si vous préférez de classes d'équivalences: Ici on a choisit comme représentants: $$E /\mathcal{R} = \{\dot{60}, \dot{55}, \dot{555}, \dot{1}, \dot{8} , \dot{12}\}$$
   On fait la même chose pour obtenir un groupe quotient $G/G'$, sauf que la relation d'équivalence qu'on choisit est liée au sous-groupe $G'$: $$a \mathcal{R} b \iff a \star b^{-1} \in G'$$ Vous voyez que le $G'$ apparaît dans la définition de la relation d'équivalence $\mathcal{R}$, d'ailleurs c'est pour cette raison qu'on note l'ensemble quotient $G/G'$ au lieu de $G/\mathcal{R}$, car $\mathcal{R}$ est intimement liée à $G'$.
   
   Comment construire $G/G'$? Je choisis un élément $x$ de $G$ est je commence à tester sa composition (en utilisant $\star$) avec les symétriques de tout les autres éléments, si jamais je trouve un élément $y$ tel que $x \star y^{-1} \in G'$ je met cet élément $y$ dans le même sac que $x$ et ainsi de suite.... quand j'aurais vérifié tout les éléments, je passe à un autre élément $x'$ et je commence à remplir son sac, quand je finis je passe à un troisième élément $x''$, ...etc jusqu'à ce que tout les éléments de $G$ soient dans un des sacs. L'ensemble constitué de ces sac est alors appelé l'ensemble quotient $G/G'$ (on n'a pas encore montré que c'est un groupe)
   Question (#Q-GRQ1)
   Si $a \in G'$, à quoi est égale la classe d'équivalence $\dot{a}$?
   La réponse était $\dot a = G'$ lui-même
2. Que veut dire la loi $\oplus$ ? Cette loi est définie par: $$\forall (\dot{a},\dot{b}) \in {(G/G')}^{2} : \dot{a} \oplus \dot{b} = \dot{\overline{a\star b}}$$ C'est une loi définie non pas entre les éléments de $G$ mais entre les éléments de $G/G'$, c'est à dire entre les sacs. Elle veut dire que si je compose entre deux sacs représentés par $\dot{a}$ et $\dot{b}$ (avec $\oplus$) je trouverais le sac dans lequel se trouve l'élément $a \star b$.
3. Quand est-ce que $G/G'$ devient-il un groupe? D'abord, avant tout il faut que la loi $\oplus$ soit une l.c.i dans l'ensemble quotient $G/G'$, on peut vérifier [faites le] que $\oplus$ devient une l.c.i si la loi $\star$ est commutative, les autres propriétés du groupe (associativité, élément neutre et symétrisablilité des éléments) découlent des mêmes propriétés qui définissent le groupe $G$ [faites le].
   

Exemples

Les exemples les plus connus de quotients de groupes sont les $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (pour la loi $+$). On va maintenant voir que représentent vraiment ces groupes avec des exemples, mais d'abord une petite définition:

• Ensemble n$\mathbb{Z}$ C'est l'ensemble des entiers relatifs multiples de $n$, c'est à dire ceux qui s'écrivent comme $nk$ pour $k \in \mathbb{Z}$ par exemple:
  • $2\mathbb{Z}$ est l'ensemble des entier relatifs paires $$2\mathbb{Z} = \{\dots,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots\}$$
    
  • $3\mathbb{Z}$ est l'ensemble des entier relatifs paires $$3\mathbb{Z} = \{\dots,-6,-3,0,3,6,\dots\}$$
    
  • ...etc

Maintenant voyons l'exemple de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:

On a le groupe $(\mathbb{Z},+)$ et on a le sous-groupe $(2\mathbb{Z},+)$ (ce dernier est bien un sous-groupe parce que $+$ y reste associative, $e=0$ s'y trouve, chaque élément est symétrisable et $+$ est une l.c.i car la somme de deux nombres paires est aussi paire): Maintenant voyons à quoi ressemble le groupe quotient $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:
• Choisissons un élément $x$ de $2\mathbb{Z}$ (donc $x$ est paire) et cherchons les éléments qui lui sont équivalents (remplissons son sac), $y$ est équivalent à $x$ si $x + y^{-1} \in 2\mathbb{Z}$, mais $y^{-1}$ pour la loi $+$ c'est simplement l'opposé $y^{-1} \equiv -y$, il faut donc chercher les éléments $y$ de $\mathbb{Z}$ tels que $x-y \in 2\mathbb{Z}$, autrement dit tels que $x-y$ soit paire. Il est claire que pour que $x-y$ soit paire pour $x$ paire ($x \in 2\mathbb{Z}$) il faut que $y$ soit aussi paire, donc les éléments qui sont équivalents à $x \in 2\mathbb{Z}$ sont tout les élément de $2\mathbb{Z}$, $2\mathbb{Z}$ forme donc à lui seul un sac (on dit une classe d'équivalence).
  
• Choisissons maintenant un élément $x$ en dehors de $2\mathbb{Z}$ c'est à dire un élément impaire, et cherchons tout les $y$ de $\mathbb{Z}$ tels que $x-y \in 2\mathbb{Z}$, c'est à dire tels que $x-y$ soit paire, il est claire que $y$ doit être impaire, donc les éléments qui sont équivalents à un nombre impaire $x$ sont tout les nombres impaires $\mathbb{Z} \backslash 2\mathbb{Z}$ qu'on note aussi $2\mathbb{Z}+1$
On en conclut qu'il n'y a que deux classes d'équivalences (deux sacs) dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ l'une est l'ensemble des nombres paires, et l'autre l'ensemble des nombres impaires: Si on choisit des représentants dans chaque sac (habituellement on choisit $\dot{0}$ et $\dot{1}$) $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ vaudra: $$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \{\dot{0},\dot{1}\}$$ Et ressemblera à ça:

Et l'exemple de $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$:

On a le groupe $(\mathbb{Z},+)$ et on a le sous-groupe $(10\mathbb{Z},+)$ des nombres multiples de $10$ (ce dernier est bien un sous-groupe parce que $+$ y reste associative, $e=0$ s'y trouve, chaque élément est symétrisable et $+$ est une l.c.i car la somme de deux nombres multiples de $10$ est aussi multiple de $10$): Maintenant voyons à quoi ressemble le groupe quotient $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$:
• Choisissons un élément $x$ de $10\mathbb{Z}$ (donc $x$ est de la forme $10k$ pour $k \in \mathbb{Z}$) et cherchons les éléments qui lui sont équivalents (remplissons son sac), $y$ est équivalent à $x$ si $x + y^{-1} \in 10\mathbb{Z}$, mais $y^{-1}$ pour la loi $+$ c'est simplement l'opposé $y^{-1} \equiv -y$, il faut donc chercher les éléments $y$ de $\mathbb{Z}$ tels que $x-y \in 10\mathbb{Z}$, autrement dit tels que $x-y$ soit multiple de $10$. Il est claire que pour que $x-y$ soit multiple de $10$ pour $x$ aussi multiple de $10$ ($x \in 10\mathbb{Z}$) il faut que $y$ soit aussi multiple de $10$, donc les éléments qui sont équivalents à $x \in 10\mathbb{Z}$ sont tout les élément de $10\mathbb{Z}$, $10\mathbb{Z}$ forme donc à lui seul un sac (on dit une classe d'équivalence).
  
• Choisissons maintenant un élément $x$ en dehors de $10\mathbb{Z}$, et cherchons tout les $y$ de $\mathbb{Z}$ tels que $x-y \in 10\mathbb{Z}$, c'est à dire tels que $x-y$ soit multiple de $10$, il est claire que $y$ doit être de la forme $y = 10k + x$ pour $k \in \mathbb{Z}$, donc les éléments qui sont équivalents à un nombre $x$ sont ceux de la forme $y = 10k + x$, par exemple: $$\dot{1} = \{\dots,-21,-11,-1,1,11,21,\dots\}$$ $$\dot{2} = \{\dots,-22,-12,-2,2,12,22,\dots\}$$ $$\dot{7} = \{\dots,-27,-17,-7,7,17,27,\dots\}$$ Et la classe le groupe quotient est: $$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} = \{\dot{0},\dot{1},\dot{2},\dot{3},\dot{4},\dot{5},\dot{6},\dot{7},\dot{8},\dot{9}\}$$

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Sous-groupes et endomorphismes de groupes

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Au cours de cette séance on a démontré une propriété très importante des sous-groupes, qui nous permet de démontrer qu'un sous-ensemble non vide $H$ d'un groupe $(G,\star)$ est un sous-groupe seulement en vérifiant une condition $\forall (x,y) \in H^{2} : x \star y^{-1} \in H$
On a aussi vu les morphismes de groupes, sous forme d'un teste.
Quelques définitions:

• Groupe Un ensemble $G$ muni d'une loi de composition $\star$ forment un groupe (noté $(G,\star)$) ssi:
  1. $\star$ est une l.c.i
     
  2. $\star$ est associative
     
  3. $\star$ admet un élément neutre $e$
     
  4. Chaque élément de $G$ est symétrisable (càd qu'il admet un élément symétrique) par rapport à $\star$
• Sous-groupe Soit $(G,\star)$ un groupe et $H$ une partie de $G$ ($H \subset G$), on dit que $H$ est un sous-groupe si lui-même forme un groupe quand il est muni de la restriction de la l.c.i $\star$, en d'autres termes, ssi:
  1. $H \not= \emptyset$
     
  2. $\forall a,b \in H: a\star b \in H$
     
  3. $\forall a \in H: a^{-1} \in H$
  Les conditions 2. et 3. sont souvent appelées: stabilité de $H$ par la loi $\star$ et stabilité de $H$ par passage à l'élément inverse (retenez bien ce vocabulaire).
• Homomorphismes de groupes Soient $(G,\star)$ et $(H,\bullet)$ deux groupes, $e$ et $h$ sont leurs éléments neutres respectifs.
  Une application $f: G \longrightarrow H$ est appelée homomorphisme des groupes ssi: $$\forall (a,b) \in G^{2}: f(a \star b) = f(a) \bullet f(b)$$
  • Si en plus $f$ est bijective, on dit que c'est un isomorphisme de groupes et on dit que $G$ et $H$ sont isomorphes
    
  • Si $G=H$ on dit que c'est un endomorphisme (le préfixe endo. veut dire à l’intérieur, car $f$ agit à l'intérieur de $G$)
    
  • Si les deux conditions précédentes sont réunies on dit que $f$ est une automorphisme
Pour bien comprendre ce qu'est un homomorphisme de groupes, prenons une exemple d'une application qui n'est pas un homomorphisme, schématiquement ça donne ça: Cela veut dire que $f(a \star b)$ n'est pas forcément égale à $f(a) \bullet f(b)$. Mais si par hasard elle sont égales pour toutes paire $(a,b)$ $$\forall (a,b) \in G^{2}: f(a \star b) = f(a) \bullet f(b)$$ Alors on appelle $f$ homomorphisme.

Maintenant passons à la correction:

• Exrcice 4 Montrer qu'un sous-ensemble non vide $H$ d'un groupe $(G,\star)$ est un sous-groupe ssi: $$\forall (x,y) \in H^{2} : x \star y^{-1} \in H$$
  
• Corrigé 4 Ce qu'il faut qu'on démontre c'est l'équivalence suivante: $$\left((H,\star)\text{ est un sous-groupe}\right)\iff\begin{cases} H\not=\emptyset\\ \forall(x,y)\in H^{2}: & x\star y^{-1}\in H\end{cases}$$
  1. Démonstration de $\left((H,\star)\text{ est un sous-groupe}\right)\Longrightarrow\begin{cases} H\not=\emptyset\\ \forall(x,y)\in H^{2}: & x\star y^{-1}\in H\end{cases}$ Supposons que $H$ est un sous groupe et essayons de montrer que ça implique les deux conditions dans l'accolade:
     1. Est-ce que $H \not= \emptyset$ ?
        Puisque $H$ est un groupe il contient automatiquement au moins un élément qui est l'élément neutre $e$, il ne peux donc jamais être nul.
        
     2. Est-ce que $\forall(x,y)\in H^{2}: x\star y^{-1}\in H$ ?
        On a: $$\forall(a,b)\in H:b^{-1}\in H\text{ (parceque }H\text{ est stable par passage à l'élément inverse)}$$ Maintenant puisque $a$ et $b^{-1}$ sont tout deux dans $H$ on aura: $$a \star b^{-1} \in H \text{ (parce que }H\text{ est stable par }\star\text{)}$$ On a donc montré que $\forall(a,b)\in H: a \star b^{-1} \in H$
     On a fini de démontrer la première implication, passons à la deuxième:
  2. Démonstration de $\begin{cases} H\not=\emptyset & \text{#1}\\ \forall(x,y)\in H^{2}:x\star y^{-1}\in H & \text{#2}\end{cases}\Longrightarrow\left((H,\star)\text{ est un sous-groupe}\right)$ Supposons donc que les deux hypothèses #1 et #2 sont vraies, et voyons si ça implique que $H$ soit un groupe, càd si ça implique les 4 conditions qui définissent un groupe (voir début de la page), on va vérifier une par une ces conditions:
     1. Est-ce qu'il existe un élément neutre dans $H$ ? $H$ est un sous-ensemble de $G$, les éléments de $H$ sont donc aussi éléments de $G$, le seul élément qui peut être élément neutre pour les éléments de $H$ est donc l'élément neutre $e$ de $(G,\star)$. La question est donc, est-ce que cet élément neutre $e$ appartient à $H$?
        On va jouer avec la liberté que nous donne l’expression $\forall (x,y) \in H^{2}$ dans l'hypothèse #2 pour choisir $a$ et $b$ de telle façon qu'on arrive à notre but.
        On choisit $a = x$ et $b = x$ pour un certain élément $x$ arbitraire, l'hypothèse #1 nous assure qu'on pourra toujours trouver au moins un tel élément $x$, et l'hypothèse #2 devient: $$\forall x \in H, x \star x^{-1} = e \in H$$ On a donc montré que $e$ appartient à $H$.
        
     2. Est-ce que chaque élément de $H$ possède un symétrique? On sait que $e \in H$, jouons encore une fois avec la liberté de choix qu'on a dans l'hypothèse #2 pour choisir $a$ et $b$.
        Choisissons $a = e$ et $b = x$ pour un certain élément $x$ arbitraire, encore une fois, l'hypothèse #1 nous assure qu'on pourra toujours trouver au moins un tel élément $x$, et l'hypothèse #2 devient: $$\forall y \in H : e \star y^{-1} = y^{-1} \in H$$ On donc démontré que chaque élément $y$ possède un symétrique $y^{-1}$ qui est dans $H$.
        
     3. Est-ce que la loi $\star$ est interne dans $H$ ? on vient de démontré que chaque élément possède son symétrique dans $H$: $$\forall (x,y) \in H^{2} : y^{-1} \in H$$ Maintenant si $x \in H$ et $y^{-1} \in H$ l'hypothèse #2 nous dit: $$x \star (y^{-1})^{-1} \in H$$ C'est à dire: $$x \star y \in H$$ On vient donc de démontrer que: $$\forall (x,y) \in H^{2} : x \star y \in H$$ Donc la lois $\star$ est bien une l.c.i
        
     4. Est-ce que la loi $\star$ est associative dans $H$ ? Oui, parce qu'elle est associative dans $G$, et $H$ est un sous-ensemble de $G$, plus précisément on a l'implication suivante:
        $\forall (x,y,z) \in G: (x \star y) \star z = x \star (y \star z)$ $$\Longrightarrow \forall (x,y,z) \in H: (x \star y) \star z = x \star (y \star z)$$
     On a donc fini de démontrer que $(H,\star)$ est un groupe (plus précisément un sous-groupe)
• Exercice 5 Soit $G$ un groupe doté d'une l.c.i notée multiplicativement, on fait correspondre à chaque élément $a$ de $G$ un application de $f_{a}:E \longrightarrow E$ définie par: $$\forall x \in G: f_{a}(x) = a^{-1}xa$$ Montrer que $f_{a}$ est un endomorphisme dans $G$
  
• Corrigé 5 Un endomorphisme est simplement un homomorphisme défini à l’intérieur d'un même groupe. Ce qu'il faut qu'on vérifie c'est donc: $$\forall (a,x,y) \in G^{2} : f_{a}(xy) = f_{a}(x)\,f_{a}(y)$$ Voyons cela: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,x,y)\in G^{2}:f_{a}(xy) & = & a^{-1}xya\\ & = & a^{-1}xeya\\ & = & a^{-1}xaa^{-1}ya\\ & = & f_{a}(x)f_{a}(y)\text{ CQFD}\end{eqnarray*}$$ La proposition est donc vraie.
  
• Exercice 6 Soit $f$ un application entre deux groupes $(G,\star)$ et $(H,\bullet)$ qui ont respectivement $e$ et $h$ comme éléments neutres: $$f:\, G \longrightarrow H$$ On appelle noyau de $f$ le sous-ensemble des éléments de $G$ qui ont $h$ comme image: $$ker(f)=\{x\in G:\, f(x)=h\}$$ Montrer que $ker(f)$ est un sous-groupe de $G$, puis montrer que $f$ est bijective ssi $ker(f)={e}$
  
• Corrigé 6 [Bientôt...]

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L'ensemble des éléments symétrisables d'un groupe est un sous-groups

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Dans cette séance on a entamé la 2nde fiche TD qui concerne les groupes
On a découvert la notion de stabilité par rapport à la l.c.i ou par rapport au passage à l'élément inverse, mais d'abord, la définition d'un groupe et d'un sous groupe:

• Groupe Un ensemble $G$ muni d'une loi de composition $\star$ forment un groupe (noté $(G,\star)$) ssi:
  1. $\star$ est une l.c.i
     
  2. $\star$ est associative
     
  3. $\star$ admet un élément neutre $e$
     
  4. Chaque élément de $G$ est symétrisable (càd qu'il admet un élément symétrique) par rapport à $\star$
• Sous-groupe Soit $(G,\star)$ un groupe et $H$ une partie de $G$ ($H \subset G$), on dit que $H$ est un sous-groupe si lui-même forme un groupe quand il est muni de la restriction de la l.c.i $\star$, en d'autres termes, ssi:
  1. $H \not= \emptyset$
     
  2. $\forall a,b \in H: a\star b \in H$
     
  3. $\forall a \in H: a^{-1} \in H$
  Les conditions 2. et 3. sont souvent appelées: stabilité de $H$ par la loi $\star$ et stabilité de $H$ par passage à l'élément inverse (retenez bien ce vocabulaire).

Les groupes peuvent peut être vous paraître inutiles pour l'instant, mais laissez moi vous dire qu'ils occupent un place extrêmement importante dans différents domaines du savoir:

• En premier lieu bien sûr en mathématique où ils permettent par exemple de résoudre des équations différentielles
  
• Leur utilisation la plus spectaculaire est sans doute dans la physique moderne, en effet, les groupes permettent de mettre en lumière des symétries qui existent dans notre univers, de la plus petite particule aux galaxies, la théorie des groupes a permit des classifier les particules, de mettre à nu des symétries de l'espace-temps, de faire des progrès grandioses dans la nano-technologie, ...etc
  
• On peut utiliser les groupes en économie!
  
• On peut utiliser les groupes en sociologie!
  
• On peut même utiliser les groupes en psychologie!
  
• etc...

Maintenant passons aux corrigés:

• Exercice 1 Soit $G$ un ensemble muni d'une l.c.i notée $\star$ vérifiant les conditions suivantes:
  1. $\forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (z \star y)$
     
  2. Il existe un élément neutre à gauche
     
  3. Chaque élément admet un symétrique à gauche
  Montrer que $(G,\star)$ est un groupe commutatif.
• Corrigé 1 Que doit-on démontrer? On doit démontrer les quatre conditions pour que $G$ soit un groupe qui sont:
  1. $\star$ est une l.c.i
     
  2. $\star$ est associative
     
  3. $\star$ admet un élément neutre $e$
     
  4. Chaque élément de $G$ est symétrisable (càd qu'il admet un élément symétrique) par rapport à $\star$
  La condition 1. est donnée dans l'énoncé de l'exercice (dans la première ligne), il nous reste les trois autres. On remarque que dans l'exercice on a "la moitié" de ces conditions, càd qu'on a besoin de l'associativité mais on n'a qu'une relation qui ressemble à l'associativité mais qui ne l'est pas, on a besoin d'un élément neutre (càd à gauche et à droite) mais on n'a qu'un élément neutre à gauche, on a aussi besoin que chaque élément ait un symétrique (càd à gauche et à droite) mais chaque élément n'a qu'un symétrique à droite. C'est comme si on n'avait que "la moitié de chaque condition", quelle est donc la clé pour que ces "moitiés de conditions" deviennent des conditions complètes? La réponse à cette question se trouve dans la question même de l'exercice: Montrer que $(G,\star)$ est un groupe commutatif. Regardez bien ce que les 2 dernières conditions données dans l'exercice veulent dire: BLOC 1
  • Il existe un élément neutre $e$ à gauche
    • $\forall x \in G : e \star x = x$
  • Chaque élément admet un symétrique à gauche
    • $\forall x \in G : \exists x^{-1} \in G , x^{-1} \star x = e$
  
  Mais on a besoin de montrer qu'il existe un élément neutre pas seulement à gauche, mais à gauche et à droite, et on a aussi besoin de montrer qu'il existe un élément symétrique pour chaque élément de $G$ pas seulement à gauche, mais à gauche et à droite, c'est à dire qu'on a besoin de montrer que:
  
  BLOC 2
  • Il existe un élément neutre $e$
    • $\forall x \in G : e \star x = x = x \star e$
  • Chaque élément admet un symétrique
    • $\forall x \in G : \exists x^{-1} \in G , x^{-1} \star x = e = x \star x^{-1}$
  
  On voit bien que pour arriver à passer du BLOC 1 au BLOC 2 il suffit de montrer que $\star$ est commutative! D’ailleurs c'est demandé dans la question: Montrer que $(G,\star)$ est un groupe commutatif. On remarque aussi que si $\star$ est commutatif, la donnée 1. de l'exercice devient de fait l'associativité, car on peut interchanger $z$ et $y$ $$\forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (z \star y) \iff \forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (y \star z)$$ Alors, on a bien compris que le seul but qu'on a maintenant, c'est de montrer que $\star$ est commutative, càd de montrer que: $$\forall x,y \in G: x \star y = y \star x$$ À partir de quelle relation donnée (dans l'exercice) on peut dériver cette relation? Il n'y a qu'un seule, c'est forcément elle qu'on doit utiliser, c'est: $$\forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (z \star y)$$ et il faut arriver à: $$\forall x,y \in G: x \star y = y \star x$$ Le problème c'est que dans l'une, on a 3 éléments qui apparaissent et dans l'autre seulement deux, il faut donc éliminer un élément, on a essayé dans la séance d'éliminer en composant (à gauche) avec les symétriques, ça n'a pas marché. On a alors réfléchis à cette question:
  J'ai trois éléments $x,y,z$ et je veux éliminer un (sans passer par la composition avec le symétrique)
  Deux étudiants (de deux groupes différents) m'ont proposé de mettre l'un des élément égale à $1$ ou $0$ (l'un a dit $1$ puis $0$ et l'autre à dit le contraire ce que j'ai trouvé très marrant :-)), l'idée est bonne, mais elle n'est pas générale, car il ne faut pas oublier que ces élément $x,y,z$ peuvent être n'importe quoi, des nombres, des ensembles, des planètes, des humains, ...etc. Alors que représentent vraiment les $1$ et $0$? Ce sont les éléments neutres des l.i.c $\times$ et $+$ respectivement, mais là on a une l.c.i quelconque, donc la réponse est:
  Mettre l'un des éléments égale à l'élément neutre $e$
  Maintenant la question est: lequel mettre égale à $e$, vous pouvez tester les 3 si vous voulez et voir lequel va vous donner le résultat escompté, mais si vous réfléchissez juste un peu, vous remarquerez que pour le moment $e$ est élément neutre seulement à gauche, il ne peut donc agir qu'à gauche, donc il faut mettre égale à $e$ l'élément qui est le plus à gauche des $x,y,z$ dans la relation 1. de l'exercice, càd mettre (fixer) $x=e$: $$\forall(y,z)\in G^{2}:(e\star y)\star z=e\star(z\star y)\iff\forall(y,z)\in G^{2}:y\star z=z\star y$$ Remarquez bien que $e$ agit ici à gauche, sinon on n'aurait pas pu le faire disparaître. Remarquez aussi que puisqu'on a fixé $x$, elle n'apparaît plus dans le $\forall$.
  Pourquoi on a le droit de choisir $x$ comme on veut dans cette relation, parce que cette relation dit précisément quel que soit $x$ ($\forall x$).
  On a donc réussit à montrer que $\star$ est commutative, de ce faite les relations données dans l'exercice se transforment en les relations définissant le groupe, et $G$ devient un groupe commutatif ou aussi appelé un groupe Abélien.
  
• Exercice 2 Soit $M$ un ensemble muni d'une l.c.i notée multiplicativement, associative et admettant un élément neutre noté $e$. En désignant par $U$ l'ensemble des éléments symétrisables de $M$, montrer que la restriction de la l.c.i à $U$ lui confère une structure de groupe.
  
• Corrigé 2 D'abord lisons bien l'énoncé:
  • Notée multiplicativement veut simplement dire qu'on va noter cette loi par $\times$ ay lieu de la traditionnelle $\star$, ça n'a pas grande importance.
    
  • On remarque que cette loi:
    1. est une l.c.i
       
    2. est associative
       
    3. admet un élément neutre
  Donc il ne manque que la symétrisabilité de tout les éléments pour que $(M,\times)$ devienne un groupe. Ce qui n'est pas le cas ici. Ce qu'on va faire donc, c'est regrouper tout les éléments qui eux sont symétrisables dans un sous-ensemble qu'on appelle $U$, ce qui nous est demandé c'est de montrer que ce sous-ensemble est un groupe. On peut facilement deviner de façon intuitive que c'est un groupe, parce qu'il est défini par la seule condition qui manquait à $M$ pour être un groupe: la symétrisabilité de tout les éléments. Mais pour démontrer que c'est un groupe de façon correcte, il nous faut vérifier les 4 axiomes définissant un groupe, qui sont:
  1. $\times$ est une l.c.i
     
  2. $\times$ est associative
     
  3. $\times$ admet un élément neutre
     
  4. tout les élément sont symétrisables par rapport à $\times$
  Note importante Quand je dis ci dessus $\times$, en fait je veux dire: la restriction de $\times$ à $U$, que veut dire ce mot restriction? Ça veut simplement dire que c'est la loi $\times$ définie dans $M$ restreinte aux éléments de $U$. Commençons donc par démontrer les 4 propriétés de groupe:
  1. Est-ce que $\times$ est une l.c.i? $U$ est le sous-ensemble des éléments symétrisables, la question est donc: si je prend deux éléments $a$ et $b$ de $U$, donc symétrisables ($a^{-1}$ et $b^{-1}$ existent), est-ce-que $(a \times b)$ est aussi symétrisable? La réponse est oui, on l'a démontré dans la fiche TD numéro 1, on a montré que si $a$ et $b$ sont symétrisables, $(a \times b)$ le sera aussi et son symétrique est: $$(a \times b)^{-1}=b^{-1} \times a^{-1}$$ Donc $\times$ est bien une l.c.i dans $U$
     
  2. Est-ce que $\times$ est associative? On sait (énoncé de l'exercice) qu'elle est associative dans $M$, cette associativité se translate naturellement en une associativité dans $U$ car: $$\forall (x,y,z) \in M^{3}: (x \times y) \times z = x \times (y \times z)$$ $$\;\;\;\Longrightarrow \forall (x,y,z) \in U^{3}: (x \times y) \times z = x \times (y \times z)$$ Donc $\times$ est associative dans $U$
     
  3. Est ce que $\times$ admet un élément neutre? le seul élément susceptible d'être un élément neutre pour les éléments de $U$ est l'élément neutre de $\times$ dans $M$, car les éléments de $U$ sont avant tout des éléments de $M$ aussi, donc la question est: est-ce que l'élément neutre $e$ (de $\times$ dans $M$) se trouve à l'intérieur de $U$ ? La réponse est oui, parce qu'il est symétrisable (son symétrique est lui même car $e \times e = e$ donc $e^{-1} = e$). On a donc montré que l’élément neutre se trouve dans $U$.
     
  4. Est-ce que tout les éléments de $U$ sont symétrisables? bien sûr que oui, car la définition même de $U$ est qu'il englobe tout les éléments symétrisables
  On a donc montré que $U$ est bel et bien un groupe, c'est ce qu'on appelle le groupe des unités
• Exercice 3 Soit $(\mathcal{F}(E),\circ)$ l'ensemble des applications de $E$ dans lui-même. Quel est l'ensemble de ses éléments inversibles?
  
• Corrigé 3 Cet exercice ressemble au précédent ($\mathcal{F}(E)$ est l'ensemble des applications de $E$ vers $E$), suivez bien:
  1. $\circ$ est une l.c.i dans $\mathcal{F}(E)$, en effet si on compose deux applications $f$ et $g$, on obtient aussi une application $f \circ g$
     
  2. Il est facile de montrer que $\circ$ est associative, en effet si on a trois applications $f$, $g$ et $h$: $$\forall (f,g,h) \in \mathcal{F}(E)^{3}: (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$$ [démontrez ça]
     
  3. Cherchons l'élément neutre:
     Soit $e$ l'élément neutre dans $\mathcal{F}(E)$ (il faut garder en tête que $e$ est une application), sa définition est: $$\forall f \in \mathcal{F}(E): f \circ e = e \circ f = f$$ Appliquons par exemple $f \circ e = f$ sur un élément $x$ de $E$ (car il ne faut pas oublier que les deux parties de cette égalité sont de applications de $E$ vers $E$, donc elle s'appliquent sur des éléments de $E$): $$\begin{eqnarray*} (f\circ e)(x)=f(x) & \iff & f[e(x)]=f(x)\\ & \iff & e(x)=x\end{eqnarray*}$$ Donc $e$ est l'application qui fait correspondre à chaque élément l'élément lui-même, on l'appelle l'application identité et on la note usuellement par $\mathbb{I}$ ou $Id$...etc
     Donc l'application identité est l'élément neutre de la l.c.i $\circ$ dans $\mathcal{F}(E)$
  Mais, tout les éléments de $\mathcal{F}(E)$ ne sont pas symétrisables, il faut donc trouver le sous-ensemble de $\mathcal{F}(E)$ des éléments symétrisables. On va pour une fois noter le symétrique d'une application $f$ de $\mathcal{F}(E)$ par $\bar{f}$ (pour ne pas confondre, pour l'instant, avec l'application réciproque $f^{-1}$), sa définition est: $$\forall f \in \mathcal{F}(E) : f \circ \bar{f} = \bar{f} \circ f = e$$ Commençons par $f \circ \bar{f} = e$: $$\begin{eqnarray*} f\circ\bar{f}=e & \iff & (f\circ\bar{f})(x)=e(x)\\ & \iff & f[\bar{f}(x)]=x\end{eqnarray*}$$ notre but est de trouver $\bar{f}$, dans la dernière ligne, on peut la faire sortir en composant à gauche avec l'application réciproque $f^{-1}$, mais on n'est pas sûr que cette application existe toujours, la question est donc, pour quelles applications $f$ l'application réciproque $f^{-1}$ existe? La réponse est évidement pour les applications bijectives. En effet, il faut qu'un application soit bijective (càd injective et surjective au même temps) pour qu'elle admette une application réciproque (voir le cours). Donc, $(\mathcal{F}(E),\circ)$ ne peut pas former un groupe (toutes les applications ne sont pas symétrisables parce qu'elles ne sont pas toutes bijectives) mais on peut trouver un sous ensemble $U(\mathcal{F}(E))$ de $\mathcal{F}(E)$ qui lui est un groupe, c'est le sous-ensemble des applications bijectives. $$\bar{f} = f^{-1}$$ La réponse à la question de l'exercice est donc: le sous-ensemble des éléments inversibles (ou symétrisables) est le sous-ensemble des applications bijectives. $$U(\mathcal{F}(E)) = \mathcal{F}_{bij}(E)$$ Vous pouvez vérifier qu'on arrive à la même conclusion en travaillant la deuxième condition de la symétrisabilité $\bar{f} \circ f = e$.

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Distributivité, l.c.i, élément inverse

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Le thème de la séance tournait autour de:

• La distrributivité
  
• La confusion que font les étudiants en ce qui concerne l'élément symétrique $a^{-1}$
  
• La l.c.i vue comme une application

Quelques rectifications sont donc nécessaires:

• Distributivité vous trouverez la définition dans le billet précédant, j'ai parlé dans le cours de comment savoir écrire la distributivité d'une loi $\star$ sur une loi $\nabla$ en copiant à partir de ce qu'on sait déjà, à savoir la distributivité de la loi $\times$ sur la loi $+$: $$ \forall a,b,c \in E: (a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c) $$ Regardez bien, on dit que c'est $\times$ qui est distributive parce que c'est elle qui a été distribuée (on la retrouve deux fois dans le second membre de l'équation)
  En suivant donc cette règle la distributivité de la loi $\star$ sur la loi $\nabla$ s'écrit: $$ \forall a,b,c \in E: (a \nabla b) \star c = (a \star c) \nabla (b \star c) $$ Attention, si la loi n'est pas à priori commutative, il faudra aussi tester: $$ \forall a,b,c \in E: c \star (a \nabla b) = (c \star a) \nabla (c \star b) $$
  
• Grave confusion à propos de $a^{-1}$ Alors j'ai été surpris de voir que tous les étudiants (sans exception) croient que [FAUX] $a^{-1} = \frac{1}{a}$ [FAUX]!!! Alors que c'est faux! $a$ peut être n'importe quoi (pas forcément un nombre), si $a$ est un ensemble, croyez vous qu'on peut écrire $\frac{1}{un\;ensemble}$?? Impossible!
  Alors, s'il vous plait je ne veux plus revoir cette bêtise.
  $a^{-1}$ n'a qu'une seule et unique définition, et c'est: Définition $a^{-1}$ est l'élément inverse de l'élément $a$ par rapport à la l.c.i $\star$ qui a $e$ comme élément neutre ssi: $$a^{-1} \star a = a \star a^{-1} = e$$
  
• La l.c.i vue en tant qu'application maintenant on va voir qu'on peut imaginer une l.c.i d'une autre manière, on peut la voir comme une application, par exemple ne plus voir $4+5=9$ mais une certaine application qu'on note $+$ et qui donne $+(4,5)=9$
  Bon, maintenant, qu'est ce que c'est qu'une application? En fait c'est la même chose qu'une fonction, sauf qu'on réserve le terme fonction seulement quand il s'agit de nombres, vous connaissiez les fonctions qui prennent un seul argument $x$ notées $f(x)$, mais il existe des fonctions qui peuvent prendre plusieurs arguments, par exemple deux arguments $f(x,y)$.
  Par exemple ici $+(4,5)=9$ on peut l'appeler application ou fonction, c'est comme on veut car $4$ et $5$ sont des nombres. Mais si par exemple j'ai la l.c.i intersection: $$\{3,4,5\} \cap \{1,4,5,10\} = \{4,5\}$$ Je peux la voir comme ceci: $$\bigcap\;(\{3,4,5\},\{1,4,5,10\}) = \{4,5\}$$ Mais on ne peut plus l'appeler fonction mais application, car il ne s'agit plus de nombres mais d'ensembles. Voila comment on peut voir une application, je donne quand même sa définition mathématique rigoureuse:
  Définition Une application de l'ensemble $E$ vers l'ensemble $F$ est une relation entre ces deux ensembles, qui fait correspondre à chaque élément de $E$ un seul élément de $F$.
  Voici quelques exemples pour bien voir ce qu'est une application:
  
  
• Cardinal de l'ensemble $\mathcal{A}(E,F)$ des applications on peut avoir plusieurs applications différentes entre deux ensembles, par exemple si j'ai les deux ensembles $E$ et $F$ suivants:
  
  On peut avoir un application $A_{1}$ entre les deux comme ceci:
  
  Comme on peut avoir une autre application $A_{2}$ comme celle ci:
  
  Par exemple on a $A_{1}(A)= D,\;A_{1}(B)= D,\;A_{1}(C)= E$
  On peut savoir combien il y'a de telles applications, le nombre d'applications différentes est par définition le nombre d'éléments dans l'ensemble $\mathcal{A}(E,F)$ des applications, c'est à dire que le nombre des applications différentes est $card(\mathcal{A}(E,F))$, on sait à quoi il est égale, il est égale à: $$card(\mathcal{A}(E,F)) = card(F)^{card(E)}$$ Ici ça donne: $$card(\mathcal{A}(E,F)) = 2^{3} = 8$$ On peut le vérifier explicitement:
  
  Si vous n'avez pas encore compris ce que veut dire l'ensemble des applications entre $E$ et $F$ $\mathcal{A}(E,F)$ voila une expression explicite: $$\mathcal{A}(E,F) = \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6},A_{7},A_{8}\}$$ C'est à dire que les éléments sont des applications, si vous n'avez toujours pas compris, voila à quoi ressemble $\mathcal{A}(E,F)$:
  
  On voit bien qu'il y a 8 éléments, ce qui correspond bien à ce qu'on a trouvé: $$card(\mathcal{A}(E,F)) = 2^{3} = 8$$

Maintenant passons aux corrections:

• Exercice 4 Considérons la l.c.i $\star$ définie dans $E$ associative et admettant un élément neutre. Montrer que si $a$ et $b$ sont symétrisables, il en sera de même pour $(a \star b)$ et qu'on aura $(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$.
  
• Correction 4 Bon, voyons tout d'abord ce que sont les données de l'exercice:
  • On a une l.c.i $\star$ définie dans $E$
    
  • Elle est associative
    
  • Elle admet un élément neutre, on va l'appeler $e$
    
  • Deux éléments $a$ et $b$ sont symétrisables, c'est à dire qu'il admettent des éléments symétriques qu'on va noter (comme d'habitude) $a^{-1}$ et $b^{-1}$ qui vérifient: $$a^{-1} \star a = a \star a^{-1} = e$$ $$b^{-1} \star b = b \star b^{-1} = e$$
  Et on nous demande de montrer que si $a$ et $b$ sont symétrisables il en sera de même pour $(a \star b)$ et qu'on aura: $$(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$$ Commençons la démonstration: Par définition $(a \star b)^{-1}$ vérifie: $$(a \star b)^{-1} \star (a \star b) = e$$ et $$(a \star b) \star (a \star b)^{-1} = e$$ Commençons par la première relation: $$\begin{eqnarray*} (a\star b)^{-1}\star(a\star b)=e & \iff & [(a\star b)^{-1}\star a]\star b=e\\ & \iff & [(a\star b)^{-1}\star a]\star b\star b^{-1}=e\star b^{-1}\\ & \iff & [(a\star b)^{-1}\star a]\star e=b^{-1}\\ & \iff & (a\star b)^{-1}\star a=b^{-1}\\ & \iff & (a\star b)^{-1}\star a\star a^{-1}=b^{-1}\star a^{-1}\\ & \iff & (a\star b)^{-1}\star e=b^{-1}\star a^{-1}\\ & \iff & (a\star b)^{-1}=b^{-1}\star a^{-1}\end{eqnarray*}$$ Dans la première ligne on a utilisé l'associativité de la loi. Dans la deuxième ligne on a composé à droite par $b^{-1}$ (faites attention à l'ordre des éléments car on ne sait pas si cette loi est commutative ou non!). Le reste est claire, remarquez que l'origine de l'inversion des éléments est justement le fait qu'on ait fait attention à l'ordre des éléments! Le deuxième relation se résout de la même façon: $$\begin{eqnarray*} (a\star b)\star(a\star b)^{-1}=e & \iff & a\star[b\star(a\star b)^{-1}]=e\\ & \iff & a^{-1}\star a\star[b\star(a\star b)^{-1}]=a^{-1}\star e\\ & \iff & e\star[b\star(a\star b)^{-1}]=a^{-1}\\ & \iff & b\star(a\star b)^{-1}=a^{-1}\\ & \iff & b^{-1}\star b\star(a\star b)^{-1}=b^{-1}\star a^{-1}\\ & \iff & e\star(a\star b)^{-1}=b^{-1}\star a^{-1}\\ & \iff & (a\star b)^{-1}=b^{-1}\star a^{-1}\end{eqnarray*}$$ Le fait que les deux relations donnent le même résultat $(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$ veut dire que ce résultat est valide, on a donc réussi à répondre à la question.
• Exercice 5 La l.c.i définie sur $\mathbb{R}$ par $a \star b = \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}$ est-elle distributive pour la multiplication? Etudier l'inverse.
  
• Correction 5 pour que la l.c.i $\star$ soit distributive pour la $\times$ il faut qu'on ait: $$\forall a,b,c \in \mathbb{R}: (a\times b)\star c=(a\star c) \times (b\star c)$$ et $$\forall a,b,c \in \mathbb{R}: c\star(a\times b)=(c\star a)\times(c\star b)$$ Mais, on remarque que la l.c.i $\star$ est commutative, en effet: $$\forall a,b \in \mathbb{R}: a\star b=\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}=\sqrt[3]{b^{3}+a^{3}}=b\star a$$ On voit que la source de cette commutativité est la commutativité de l'addition $+$.
  Donc, on n'a pas besoin de démontrer les deux, démontrer seulement une est suffisant (je n'ai pas précisé ce point en cours). Donc essayons de démontrer le premier par exemple, le premier membre est égale à: $$\begin{eqnarray*} c\star(a\times b) & = & \sqrt[3]{c^{3}+(a\times b)^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{c^{3}+a^{3}b^{3}}\end{eqnarray*}$$ Quand au deuxième membre, il vaut: $$\begin{eqnarray*} (c\star a)\times(c\star b) & = & \sqrt[3]{c^{3}+a^{3}}\times\sqrt[3]{c^{3}+b^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{(c^{3}+a^{3})\times(c^{3}+b^{3})}\\ & = & \sqrt[3]{c^{6}+a^{3}c^{3}+c^{3}b^{3}+a^{3}b^{3}}\end{eqnarray*}$$ On voit bien qu'ils ne sont pas égaux, donc la l.c.i $\star$ n'est pas distributive pour la l.c.i $\times$.
  Étudions maintenant l'inverse, est-ce que la l.c.i $\times$ est distributive pour la l.c.i $\star$? C'est à dire est-ce qu'on a la relation suivante: $$\forall a,b,c\in\mathbb{R}:(a\star b)\times c=(a\times c)\star (b\times c)$$ Le premier membre est égale à: $$\begin{eqnarray*} (a\star b)\times c & = & \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}\times c\\ & = & \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}\times\sqrt[3]{c^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})\times c^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{a^{3}c^{3}+b^{3}c^{3}}\end{eqnarray*}$$ Le second membre vaut: $$\begin{eqnarray*} (a\times c)\star(b\times c) & = & \sqrt[3]{(ac)^{3}+(bc)^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{a^{3}c^{3}+b^{3}c^{3}}\end{eqnarray*}$$ On voit donc que les deux membres sont égaux, cela veut dire qu’effectivement, la loi $\times$ est distributive pour la loi $\star$.
  
• Exercice 2 Combien peut-on définir de l.c.i différentes dans un ensemble $E$ à $n$ éléments? Dans le cas particulier $E=\{a,b\}$ écrire les tables des lois commutatives.
  
• Correction 2 Si on voit une l.c.i $\star$ comme une application de $E \times E$ vers $E$, au lieu d'écrire: $$a\star b = c$$ On écrit: $$\begin{eqnarray*} \star:E\times E & \to & E\\ (a,b) & \mapsto & \star(a,b)=c\end{eqnarray*}$$ Le nombre de l.c.i possibles est donc le même que le nombre d'applications possibles entre $E\times E$ et $E$, c'est à dire sera égale à: $$\begin{eqnarray*} card(\mathcal{A}(E\times E,E)) & = & card(E)^{card(E\times E)}\\ & = & card(E)^{card(E)\times card(E)}\\ & = & card(E)^{card(E)^{2}}\\ & = & n^{n^{2}}\end{eqnarray*}$$ Pour le cas $E=\{a,b\}$ on aura alors $2^{2^{2}}=16$ l.c.i donc $16$ tables de lois, donc $8$ tables de lois commutatives, voici un exemple de table:
  

  $\star$	$a$	$b$
  $a$	$a$	$b$
  $b$	$b$	$b$

• Exercice 6 Vérifier que les deux l.c.i $\cup$ et $\cap$ sont distributives l'une par rapport à l'autre dans $\mathcal{P}(E)$
  
• Corrigé 6 $\cup$ est distributive par rapport à $\cap$ si et seulement si: $$\forall S_{1},S_{2},S_{3}\in\mathcal{P}(E):\;(S_{1}\cap S_{2})\cup S_{3}=(S_{1}\cup S_{3})\cap(S_{2}\cup S_{3})$$ Pas la peine de montrer: $$\forall S_{1},S_{2},S_{3}\in\mathcal{P}(E):\; S_{3}\cup(S_{1}\cap S_{2})=(S_{3}\cup S_{1})\cap(S_{3}\cup S_{2})$$ Parce qu'on sait déjà que $\cup$ est commutative. Donc on se propose de montrer la première relation, il faut bien savoir qu'ici il s'agit d'ensembles, et pour montrer que deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux il faut montrer que $E \subset F$ et $F \subset E$, maintenant, pour montrer que $E \subset F$ il faut montrer que: $$x \in E \Rightarrow x \in F$$ Et pour montrer l'inverse il faut montrer que: $$x \in F \Rightarrow x \in E$$ C'est à dire qu'il faut montrer l'équivalence: $$x \in E \iff x \in F$$ Essayons de montrer cette équivalence: $$\begin{eqnarray*} x\in(S_{1}\cap S_{2})\cup S_{3} & \iff & x\in(S_{1}\cap S_{2})\vee x\in S_{3}\\ & \iff & [x\in S_{1}\wedge x\in S_{2}]\vee x\in S_{3}\\ & \iff & [x\in S_{1}\vee x\in S_{3}]\wedge[x\in S_{2}\vee x\in S_{3}]\\ & \iff & x\in(S_{1}\cup S_{3})\wedge x\in(S_{2}\cup S_{3})\\ & \iff & x\in(S_{1}\cup S_{3})\cap(S_{2}\cup S_{3})\end{eqnarray*}$$ Tout est question de logique, dire que $x \in E \cup F$ c'est la même chose que dire que $x$ appartient à ($\in$) $E$ ou ($\vee$) à $F$. Dans la troisième ligne on a utilisé le fait que $\vee$ (ou) est distributive par rapport à $\wedge$ (et), en effet, si $P_{1}$, $P_{2}$ et $P_{3}$ sont trois propositions logiques on a: $$(P_{1}\wedge P_{2})\vee P_{3}=(P_{1}\vee P_{3})\wedge(P_{2}\vee P_{3})$$ De telles égalités logiques n'ont même pas besoin d'être démontrées, on peut les comprendre juste avec l’esprit, par exemple:
  • $P_{1} = (je\;mets\;ma\;chemise\;bleue)$
    
  • $P_{2} = (je\;mets\;mon\;pantalon\;bleu)$
    
  • $P_{3} = (je\;ne\;sors\;pas)$
  Le premier membre $(P_{1}\wedge P_{2})\vee P_{3}$ peut être exprimé ainsi:
  • Je mets ma chemise bleue et mon pantalon bleu, ou alors je ne sors pas
  Le deuxième membre $(P_{1}\vee P_{3})\wedge(P_{2}\vee P_{3})$ s'exprime ainsi:
  • Je mets ma chemise bleue ou alors je ne sors pas, et aussi, je mets mon pantalon bleu ou alors je ne sors pas.
  On voit bien que ces deux phrases veulent dire la même chose, elle sont seulement exprimées de manières différentes. On a donc réussi à montrer que: $$\forall S_{1},S_{2},S_{3}\in\mathcal{P}(E):\;(S_{1}\cap S_{2})\cup S_{3}=(S_{1}\cup S_{3})\cap(S_{2}\cup S_{3})$$ Maintenant montrons l'inverse, c'est à dire que $\cap$ est distributive par rapport à $\cup$: $$\forall S_{1},S_{2},S_{3}\in\mathcal{P}(E):\;(S_{1}\cup S_{2})\cap S_{3}=(S_{1}\cap S_{3})\cup(S_{2}\cap S_{3})$$ On peut le faire de la même manière que tout à l'heure: $$\begin{eqnarray*} x\in(S_{1}\cup S_{2})\cap S_{3} & \iff & x\in(S_{1}\cup S_{2})\wedge x\in S_{3}\\ & \iff & [x\in S_{1}\vee x\in S_{2}]\wedge x\in S_{3}\\ & \iff & [x\in S_{1}\wedge x\in S_{3}]\vee[x\in S_{2}\wedge x\in S_{3}]\\ & \iff & x\in(S_{1}\cap S_{3})\vee x\in(S_{2}\cap S_{3})\\ & \iff & x\in(S_{1}\cap S_{3})\cup(S_{2}\cap S_{3})\end{eqnarray*}$$

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