Sous-groupes et endomorphismes de groupes

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Au cours de cette séance on a démontré une propriété très importante des sous-groupes, qui nous permet de démontrer qu'un sous-ensemble non vide $H$ d'un groupe $(G,\star)$ est un sous-groupe seulement en vérifiant une condition $\forall (x,y) \in H^{2} : x \star y^{-1} \in H$
On a aussi vu les morphismes de groupes, sous forme d'un teste.
Quelques définitions:

• Groupe Un ensemble $G$ muni d'une loi de composition $\star$ forment un groupe (noté $(G,\star)$) ssi:
  1. $\star$ est une l.c.i
     
  2. $\star$ est associative
     
  3. $\star$ admet un élément neutre $e$
     
  4. Chaque élément de $G$ est symétrisable (càd qu'il admet un élément symétrique) par rapport à $\star$
• Sous-groupe Soit $(G,\star)$ un groupe et $H$ une partie de $G$ ($H \subset G$), on dit que $H$ est un sous-groupe si lui-même forme un groupe quand il est muni de la restriction de la l.c.i $\star$, en d'autres termes, ssi:
  1. $H \not= \emptyset$
     
  2. $\forall a,b \in H: a\star b \in H$
     
  3. $\forall a \in H: a^{-1} \in H$
  Les conditions 2. et 3. sont souvent appelées: stabilité de $H$ par la loi $\star$ et stabilité de $H$ par passage à l'élément inverse (retenez bien ce vocabulaire).
• Homomorphismes de groupes Soient $(G,\star)$ et $(H,\bullet)$ deux groupes, $e$ et $h$ sont leurs éléments neutres respectifs.
  Une application $f: G \longrightarrow H$ est appelée homomorphisme des groupes ssi: $$\forall (a,b) \in G^{2}: f(a \star b) = f(a) \bullet f(b)$$
  • Si en plus $f$ est bijective, on dit que c'est un isomorphisme de groupes et on dit que $G$ et $H$ sont isomorphes
    
  • Si $G=H$ on dit que c'est un endomorphisme (le préfixe endo. veut dire à l’intérieur, car $f$ agit à l'intérieur de $G$)
    
  • Si les deux conditions précédentes sont réunies on dit que $f$ est une automorphisme
Pour bien comprendre ce qu'est un homomorphisme de groupes, prenons une exemple d'une application qui n'est pas un homomorphisme, schématiquement ça donne ça: Cela veut dire que $f(a \star b)$ n'est pas forcément égale à $f(a) \bullet f(b)$. Mais si par hasard elle sont égales pour toutes paire $(a,b)$ $$\forall (a,b) \in G^{2}: f(a \star b) = f(a) \bullet f(b)$$ Alors on appelle $f$ homomorphisme.

Maintenant passons à la correction:

• Exrcice 4 Montrer qu'un sous-ensemble non vide $H$ d'un groupe $(G,\star)$ est un sous-groupe ssi: $$\forall (x,y) \in H^{2} : x \star y^{-1} \in H$$
  
• Corrigé 4 Ce qu'il faut qu'on démontre c'est l'équivalence suivante: $$\left((H,\star)\text{ est un sous-groupe}\right)\iff\begin{cases} H\not=\emptyset\\ \forall(x,y)\in H^{2}: & x\star y^{-1}\in H\end{cases}$$
  1. Démonstration de $\left((H,\star)\text{ est un sous-groupe}\right)\Longrightarrow\begin{cases} H\not=\emptyset\\ \forall(x,y)\in H^{2}: & x\star y^{-1}\in H\end{cases}$ Supposons que $H$ est un sous groupe et essayons de montrer que ça implique les deux conditions dans l'accolade:
     1. Est-ce que $H \not= \emptyset$ ?
        Puisque $H$ est un groupe il contient automatiquement au moins un élément qui est l'élément neutre $e$, il ne peux donc jamais être nul.
        
     2. Est-ce que $\forall(x,y)\in H^{2}: x\star y^{-1}\in H$ ?
        On a: $$\forall(a,b)\in H:b^{-1}\in H\text{ (parceque }H\text{ est stable par passage à l'élément inverse)}$$ Maintenant puisque $a$ et $b^{-1}$ sont tout deux dans $H$ on aura: $$a \star b^{-1} \in H \text{ (parce que }H\text{ est stable par }\star\text{)}$$ On a donc montré que $\forall(a,b)\in H: a \star b^{-1} \in H$
     On a fini de démontrer la première implication, passons à la deuxième:
  2. Démonstration de $\begin{cases} H\not=\emptyset & \text{#1}\\ \forall(x,y)\in H^{2}:x\star y^{-1}\in H & \text{#2}\end{cases}\Longrightarrow\left((H,\star)\text{ est un sous-groupe}\right)$ Supposons donc que les deux hypothèses #1 et #2 sont vraies, et voyons si ça implique que $H$ soit un groupe, càd si ça implique les 4 conditions qui définissent un groupe (voir début de la page), on va vérifier une par une ces conditions:
     1. Est-ce qu'il existe un élément neutre dans $H$ ? $H$ est un sous-ensemble de $G$, les éléments de $H$ sont donc aussi éléments de $G$, le seul élément qui peut être élément neutre pour les éléments de $H$ est donc l'élément neutre $e$ de $(G,\star)$. La question est donc, est-ce que cet élément neutre $e$ appartient à $H$?
        On va jouer avec la liberté que nous donne l’expression $\forall (x,y) \in H^{2}$ dans l'hypothèse #2 pour choisir $a$ et $b$ de telle façon qu'on arrive à notre but.
        On choisit $a = x$ et $b = x$ pour un certain élément $x$ arbitraire, l'hypothèse #1 nous assure qu'on pourra toujours trouver au moins un tel élément $x$, et l'hypothèse #2 devient: $$\forall x \in H, x \star x^{-1} = e \in H$$ On a donc montré que $e$ appartient à $H$.
        
     2. Est-ce que chaque élément de $H$ possède un symétrique? On sait que $e \in H$, jouons encore une fois avec la liberté de choix qu'on a dans l'hypothèse #2 pour choisir $a$ et $b$.
        Choisissons $a = e$ et $b = x$ pour un certain élément $x$ arbitraire, encore une fois, l'hypothèse #1 nous assure qu'on pourra toujours trouver au moins un tel élément $x$, et l'hypothèse #2 devient: $$\forall y \in H : e \star y^{-1} = y^{-1} \in H$$ On donc démontré que chaque élément $y$ possède un symétrique $y^{-1}$ qui est dans $H$.
        
     3. Est-ce que la loi $\star$ est interne dans $H$ ? on vient de démontré que chaque élément possède son symétrique dans $H$: $$\forall (x,y) \in H^{2} : y^{-1} \in H$$ Maintenant si $x \in H$ et $y^{-1} \in H$ l'hypothèse #2 nous dit: $$x \star (y^{-1})^{-1} \in H$$ C'est à dire: $$x \star y \in H$$ On vient donc de démontrer que: $$\forall (x,y) \in H^{2} : x \star y \in H$$ Donc la lois $\star$ est bien une l.c.i
        
     4. Est-ce que la loi $\star$ est associative dans $H$ ? Oui, parce qu'elle est associative dans $G$, et $H$ est un sous-ensemble de $G$, plus précisément on a l'implication suivante:
        $\forall (x,y,z) \in G: (x \star y) \star z = x \star (y \star z)$ $$\Longrightarrow \forall (x,y,z) \in H: (x \star y) \star z = x \star (y \star z)$$
     On a donc fini de démontrer que $(H,\star)$ est un groupe (plus précisément un sous-groupe)
• Exercice 5 Soit $G$ un groupe doté d'une l.c.i notée multiplicativement, on fait correspondre à chaque élément $a$ de $G$ un application de $f_{a}:E \longrightarrow E$ définie par: $$\forall x \in G: f_{a}(x) = a^{-1}xa$$ Montrer que $f_{a}$ est un endomorphisme dans $G$
  
• Corrigé 5 Un endomorphisme est simplement un homomorphisme défini à l’intérieur d'un même groupe. Ce qu'il faut qu'on vérifie c'est donc: $$\forall (a,x,y) \in G^{2} : f_{a}(xy) = f_{a}(x)\,f_{a}(y)$$ Voyons cela: $$\begin{eqnarray*} \forall(a,x,y)\in G^{2}:f_{a}(xy) & = & a^{-1}xya\\ & = & a^{-1}xeya\\ & = & a^{-1}xaa^{-1}ya\\ & = & f_{a}(x)f_{a}(y)\text{ CQFD}\end{eqnarray*}$$ La proposition est donc vraie.
  
• Exercice 6 Soit $f$ un application entre deux groupes $(G,\star)$ et $(H,\bullet)$ qui ont respectivement $e$ et $h$ comme éléments neutres: $$f:\, G \longrightarrow H$$ On appelle noyau de $f$ le sous-ensemble des éléments de $G$ qui ont $h$ comme image: $$ker(f)=\{x\in G:\, f(x)=h\}$$ Montrer que $ker(f)$ est un sous-groupe de $G$, puis montrer que $f$ est bijective ssi $ker(f)={e}$
  
• Corrigé 6 [Bientôt...]

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