Les fonctions caractéristiques (ou fonctions indicatrices)

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Ce sont des fonctions définies en théorie des ensembles qui peuvent être très utiles pour démontrer certaines égalités.

• Définition La fonction caractéristique d'un sous-ensemble $F$ d'un ensemble $E$ pour un point $x \in E$ est noté $\phi_{F}(x)$ et est définie par: $$\begin{eqnarray*} \phi_{F}\,:\, E & \longrightarrow & \{0,1\}\\ x & \longmapsto & \phi_{F}(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }x\in F\\ 0 & \text{si }x\not\in F\end{cases}\end{eqnarray*}$$ C'est à dire qu'elle nous indique si un point $x$ appartient ou pas au sous-ensemble $F$. Elle donne $1$ si il lui appartient, $0$ sinon.
  Généralement, on évite d'écrire l'argument $(x)$ de la fonction, et on écrit tout simplement $\phi_{F}$, en gardant en tête qu'elle nous indique si oui ou non un certain élément $x$ appartient à $F$ ou pas.

Quelques exemples

$\phi_{F}(a) = 1$
$\phi_{F}(c) = 0$
$\phi_{F \cap G}(a) = 0$
$\phi_{F \cap G}(b) = 1$
$\phi_{F \cup G}(d) = 0$
$\phi_{F \cup G}(a) = 1$
$\phi_{F \Delta G}(b) = 0$
$\phi_{E}(a) = \phi_{E}(b) = \phi_{E}(c) = \phi_{E}(d) = 1$

Quelques identités

Vous pouvez simplement vérifier (avec des exemples) les identités suivantes: (à partir de maintenant, on se fixe des sous-ensembles $(F,G,H,\dots)$ d'un ensemble $E$ et on imagine un point $x$ qui peut être n'importe où dans $E$)

$\phi_{\bar{A}}=1-\phi_{A}$
$\phi_{A \cap B} = \phi_{A}\phi_{B}$
$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B}$
$\phi_{A\backslash B} = \phi_{A} - \phi_{A}\phi_{B}$

où $\bar{A}$ est le complément de $A$ dans $E$. Vérifions par exemple la fonction indicatrice d'une union de deux sous-ensembles $F$ et $G$, les deux configurations qu'on peut avoir sont: le point $x$ imaginé peut être dans l'un des états suivants, on va vérifier la véracité de l'égalité $\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B}$ pour chaque état: $$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B} = 1 + 0 - 1 . 0 = 1$$ $$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B} = 1 + 1 - 1 . 1 = 1$$ $$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B} = 0 + 0 - 0 . 0 = 0$$ $$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B} = 1 + 0 - 1 . 0 = 1$$ $$\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B} = 0 + 0 - 0 . 0 = 0$$ Vous pouvez vérifier facilement que toutes autres égalités sont vraies.
En utilisant ces relations, montrer que [À faire]: $$\phi_{A \Delta B} = \phi_{A} + \phi_{B} - 2\phi_{A}\phi_{B}$$ Cette relation est très importante car on va l'utiliser pour montrer que $(\mathcal{P},\Delta,\cup)$ est un anneau$

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