Sous-espaces vectoriels

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• Exercice 5 Est-ce que $\mathbb{Q}$ est un sous espace vectoriel de $\mathbb{R}$?
  
• Correction 5 On doit utiliser le théorème de caractérisation d'un sev, que j'ai déjà donné ici, dans ce théorème, on voit qu'on doit connaître sur quel corps on travaille, ce qui n'a pas été donné dans l'exercice, on va donc considérer les deux cas:
  • $\mathbb{R}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel: c'est à dire que les vecteurs sont des réels et les scalaires aussi
    
  • $\mathbb{R}$ est un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel: c'est à dire que les vecteurs sont des réels mais les scalaires sont des rationnels
  On commence donc:
  1. $\mathbb{R}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel
     
     • $\forall (v,v') \in \mathbb{Q} : v + v' \in \mathbb{Q}$ (toujours vérifiée)
       
     • $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall v \in \mathbb{Q} : \alpha . v \in \mathbb{Q}$ (pas toujours vérifiée exemple: $\sqrt{2}.v \not\in \mathbb{Q}$)
     On voit donc que $\mathbb{Q}$ est fermé sous l'addition vectoriel mais n'est pas fermé sous la multiplication par un scalaire, il ne peut donc pas être un sev de $\mathbb{R}$
  2. $\mathbb{R}$ est un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel
     
     • $\forall (v,v') \in \mathbb{Q} : v + v' \in \mathbb{Q}$ (toujours vérifiée)
       
     • $\forall \alpha \in \mathbb{Q}, \forall v \in \mathbb{Q} : \alpha . v \in \mathbb{Q}$ (toujours vérifiée)
     On voit donc que $\mathbb{Q}$ est fermé sous les deux opérations, l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire.
  Cet exercice confirme donc ce que j'ai déjà dénoncé, que dire: $E$ est un espace vectoriel. SANS préciser sur quel corps $\mathbb{K}$ il est défini est un manque d'information.
• Exercice 6 Est-ce que $\mathbb{R}$ est un sous espace vectoriel de $\mathbb{C}$?
  
• Correction 6 On doit utiliser le théorème de caractérisation d'un sev, que j'ai déjà donné ici, dans ce théorème, on voit qu'on doit connaître sur quel corps on travaille, ce qui n'a pas été donné dans l'exercice, on va donc considérer les deux cas:
  • $\mathbb{C}$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel: c'est à dire que les vecteurs sont des complexes et les scalaires aussi
    
  • $\mathbb{C}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel: c'est à dire que les vecteurs sont des complexes mais les scalaires sont des réels
  On commence donc:
  1. $\mathbb{C}$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel
     
     • $\forall (v,v') \in \mathbb{R} : v + v' \in \mathbb{R}$ (toujours vérifiée)
       
     • $\forall \alpha \in \mathbb{C}, \forall v \in \mathbb{R} : \alpha . v \in \mathbb{R}$ (pas toujours vérifiée exemple: $i.v \not\in \mathbb{R}$)
     On voit donc que $\mathbb{R}$ est fermé sous l'addition vectoriel mais n'est pas fermé sous la multiplication par un scalaire, il ne peut donc pas être un sev de $\mathbb{C}$
  2. $\mathbb{C}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel
     
     • $\forall (v,v') \in \mathbb{R} : v + v' \in \mathbb{R}$ (toujours vérifiée)
       
     • $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall v \in \mathbb{R} : \alpha . v \in \mathbb{R}$ (toujours vérifiée)
     On voit donc que $\mathbb{R}$ est fermé sous les deux opérations, l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire.