- Exercice 4 Montrer que dans un anneau (A,+,.), pour tous éléments a et b on a:
a.0=0.a=0
a.(−b)=(−a).b=−(a.b)
où 0 est l'élément neutre de +, et que si 1 est l'élément neutre de . et A≠{0} on ne peut jamais avoir 1=0.
- Corrigé 4 Avant de commencer, il faut bien comprendre que les symboles qu'on utilise ici (+,.,0,1) ne sont rien de plus que des symboles, par exemple + n'est pas la vraie addition même si on va par abus de langage continuer à l'appeler addition, 0 n'est pas le nombre nul mais l'élément neutre de la loi qu'on a noté par +. Dans l'exercice précédant par exemple (l'anneau (P(E),Δ,∩)) on a:
+≐Δ
.≐∩
0≐∅
1 n'existe pas car l'anneau n'est pas unitaire
Les preuves de ces propositions sont simples à comprendre mais plutôt difficiles à trouver, c'est pour cela que je vais donner en détail l'acheminement des idées qui vont nous amener à trouver ces preuves.
Pour la première proposition, on voit qu'elle fait entrer en jeu la loi . et l'élément 0, la question qu'on doit se poser est donc: que savons-nous de ces deux objets quand on a affaire à un anneau?.
La réponse est bien sûr:- On sait que . est associative et distributive par rapport à +
- On sait que 0 est l'élément neutre de +
- On sait que . est distributive par rapport à +
- On sait que 0 est l'élément neutre de +
- On sait que . est associative et distributive par rapport à +
- Exercice 5 Dans Z2, définissons une addition et une multiplication par les relations suivantes: ∀(a,b),(c,d)∈(Z2)2:{(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b).(c,d)=(a.c,b.d)
- Prouver que Z2 muni de ces deux lois est un anneau commutatif unitaire.
- Quels sont les éléments inversibles de cet anneau?
- Est-il intègre?
- Soit H={(a,0),a∈Z}, montrer que c'est un sous-anneau unitaire de Z2
- que remarquez vous?
- Prouver que Z2 muni de ces deux lois est un anneau commutatif unitaire.
- Indications pour la correction 5
- Pour que (Z2,+,.) soit un anneau commutatif unitaire on doit avoir:
- (Z2,+,.) doit être un anneau c'est à dire:
- (Z2,+) doit être un groupe abélien, c'est à dire
- + est commutative
- + est une l.c.i
- + admet un élément neutre
- tout les éléments de Z2 sont symétrisable par rapport à +
- + est associative
- + est commutative
- . doit être associative et distributive par rapport à +
- (Z2,+) doit être un groupe abélien, c'est à dire
- pour qu'il soit commutative . doit être commutative
- pour qu'il soit unitaire . doit admettre un élément neutre.
Indications pour les démonstrations:
[Faites les démonstrations!]- + est commutative ssi: ∀(a,b),(c,d)∈(Z2)2:(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)
- + est une l.c.i ssi: ∀(a,b),(c,d)∈(Z2)2:(a,b)+(c,d)∈Z2
- + admet un élément neutre (le zéro de l'anneau) noté 0Z2=(e1,e2) ssi: ∀(a,b)∈Z2:(a,b)+(e1,e2)=(e1,e2)+(a,b)=(a,b)
- tout les éléments de Z2 sont symétrisable par rapport à + ssi: ∀(a,b)∈Z2,∃[−(a,b)]∈Z2:(a,b)+[−(a,b)]=[−(a,b)]+(a,b)=(e1,e2)
- + est associative ssi: ∀(a,b),(c,d),(e,f)∈(Z2)3:[(a,b)+(c,d)]+(e,f)=(a,b)+[(c,d)+(e,f)]
- . est associative ssi: ∀(a,b),(c,d),(e,f)∈(Z2)3:[(a,b).(c,d)].(e,f)=(a,b).[(c,d).(e,f)]
- . est distributive par rapport à + ssi: ∀(a,b),(c,d),(e,f)∈(Z2)3:[(a,b)+(c,d)].(e,f)=[(a,b).(e,f)]+[(c,d).(e,f)]
- . est commutative ssi: ∀(a,b),(c,d)∈(Z2)2:(a,b).(c,d)=(c,d).(a,b)
- . admet un élément neutre (le 1 de l'anneai) notée 1Z2=(e′1,e′2) ssi: ∀(a,b)∈Z2:(a,b)+(e′1,e′2)=(e′1,e′2)+(a,b)=(a,b))
- (Z2,+,.) doit être un anneau c'est à dire:
- Les éléments inversibles de cet anneau sont les éléments inversibles par rapport à ., c'est à dire ce sont les éléments (a,b)∈Z tels qu'il existe pour chacun d'entre eux un élément inverse noté (a,b)−1 qui vérifie: (a,b).(a,b)−1=(a,b)−1.(a,b)=(e′1,e′2) Il reste donc à chercher à quoi est égale (a,b)−1 et pour quels (a,b) il existe.[Faites le!]
- (Z2,+,.) est intègre s'il est différent de l'anneau nul {0} et ne possède aucun diviseur de zéro, c'est à dire ssi: ∀(a,b),(c,d)∈(Z2)2:(a,b).(c,d)=(e1,e2)⟹{(a,b)=(e1,e2)∨(c,d)=(e1,e2) Il suffit donc de montrer cette implication [Faites le!], où (e1,e2) est l'élément neutre de +, autrement dit c'est le zéro de l'anneau (0Z2), la relation qu'on a donné est concordante avec le fait de dire "ne possède pas de diviseur de zéro", en effet, si ce qui est à droite de l'implication n'arrive pas (c'est à dire si ni (a,b) ni (c,d) ne sont égaux au zéro de l'anneau 0Z2=(e1,e2)), on pourra écrire: (a,b)=(e1,e2)(c,d)=0Z2(c,d) C'est à dire qu'on peut diviser le 0Z2 par un élément (c,d), et l'anneau ne sera donc pas intègre.
- Pour que H soit un sous-anneau de Z2 il faut que:
- H≠∅
- ∀(a,0),(b,0)∈H2:(a,0)+[−(b,0)]∈H2
- ∀(a,0),(b,0)∈H2:(a,0).(b,0)∈H2
- H≠∅
- Que remarquer à propos des deux éléments neutres par rapport aux deuxièmes lois des deux anneaux (l'anneau et le sous-anneau)
- Pour que (Z2,+,.) soit un anneau commutatif unitaire on doit avoir:
- Exercice 6 (\mathcal{B}(E),+,\circ) désigne l'ensemble des applications bijéctives de E dans E muni de l'addition + des applications et de la composition d'applications \circ. Est-il un anneau? Rasions?
- Indications pour la correction 6 Pour que (\mathcal{B}(E),+,\circ) soit un anneau il faut que (on doit appliquer toutes les applications sur un élément x \in E):
- (\mathcal{B}(E),+) soit un groupe abélien c'est à dire
- + est commutative c-à-d; \forall (f,g) \in \mathcal{B}(E)^{2},\,\forall x \in E : (f+g)(x)=(g+f)(x)
- + est une l.c.i dans \mathcal{B}(E) \forall (f,g) \in \mathcal{B}(E)^{2},\,\forall x \in E : (f+g)(x) \in E
- + admet un élément neutre \exists e \in \mathcal{B}(E),\,: \forall f \in \mathcal{B}(E),\,\forall x \in E: (f + e)(x) = (e + f)(x) = f(x)
- chaque élément de \mathcal{B}(E) est symétrisable par rapport à + \forall f \in \mathcal{B}(E) : \exists [-f] \in \mathcal{B}(E),\,\forall x \in E, (f + [-f])(x) = ([-f] + f)(x) = e(x)
- + est associative \forall (f,g,h) \in \mathcal{B}(E)^{3},\,\forall x \in E :[(f+g)+h](x)=[f+(g+h)](x)
- + est commutative c-à-d; \forall (f,g) \in \mathcal{B}(E)^{2},\,\forall x \in E : (f+g)(x)=(g+f)(x)
- \circ est associative et distributive par rapport à + \forall(f,g,h)\in\mathcal{B}(E)^{3},\,\forall x\in E:\begin{cases} [(f\circ g)\circ h](x) & =[f\circ(g\circ h)](x)\\{} [(f+g)\circ h](x) & =[(f\circ h)+(g\circ h)](x)\end{cases}
Question (#Q-REX1) Si elle existe, laquelle de ces conditions n'est pas vérifiée? Et pourquoi? Répondre à la question (+points à la clé) [[Réponses]] - (\mathcal{B}(E),+) soit un groupe abélien c'est à dire
- Exercice 7 Dans l'anneau (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times) où l'on suppose que n\geq 2, quel est l'élément symétrique de \dot x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}. Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times) soit un corps.
- Corrigé 7 Rappelons que \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est l'ensemble des sacs (les classes d'équivalences), chaque sac regroupe tout les éléments de \mathbb{Z} qui sont équivalents (via une relation d'équivalence \mathcal{R}), cette équivalence dit que: deux éléments a et b de \mathbb{Z} sont équivalents via \mathcal{R} (a \mathcal{R} b) si et seulement si (a-b) est un multiple de n (a \star b^{-1} \equiv a - b \in n\mathbb{Z} dans ce cas n\mathbb{Z} est le sous-groupe par lequel on "quotionne")
Donc on veut savoir quel est le sac \dot{x}^{-1} qui est le symétrique du sac \dot x (par rapport à \otimes), pour rappel le sac \dot x est le sous-ensemble des éléments y \in \mathbb{Z} qui sont en relations avec x via \mathcal{R} (y \mathcal{R} x).
Maintenant, pour connaitre un symétrique, il faut d'abord savoir quel est l'élément neutre, ou le sac neutre. Par définition de \dot \times \dot a \dot \times \dot b = \dot{\overline{a\times b}} Donc à votre avis le sac neutre (appelons le 1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}) est le sac de quel élément? Prouvez le.
\forall \dot a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : \dot a \dot\times 1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} = 1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} \dot\times \dot a = \dot a La question est donc: 1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} est la classe d'équivalence de quel élément \epsilon \in \mathbb{Z}: 1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} = \dot\epsilon Pour ce faire, il faut résoudre les équations: \begin{eqnarray*} \forall\dot{a}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}:\begin{cases} \dot{a}\dot{\times}\dot{\epsilon} & =\dot{a}\\ \dot{\epsilon}\dot{\times}\dot{a} & =\dot{a}\end{cases} & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} \dot{\overline{a\times\epsilon}} & =\dot{a}\\ \dot{\overline{\epsilon\times a}} & =\dot{a}\end{cases}\\ & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} (a\times\epsilon)\,\mathcal{R}\,(a)\\ (\epsilon\times a)\,\mathcal{R}\,(a)\end{cases}\\ & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} a\times\epsilon-a & \in n\mathbb{Z}\\ \epsilon\times a-a & \in n\mathbb{Z}\end{cases}\\ & \iff & \forall a\in\mathbb{Z}:\begin{cases} a\times(\epsilon-1) & =nk\,\,\text{ avec }\,\,k\in\mathbb{Z}\\ (\epsilon-1)\times a & =nk\,\,\text{ avec }\,\,k\in\mathbb{Z}\end{cases}\end{eqnarray*} Dans la première ligne on a exploité le faite que dire "quelle que soit la classe d'équivalence de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}" est équivalent à dire "quel que l'élément de \mathbb{Z}" et on a aussi utilisé la définition de la loi \dot\times, dans la seconde ligne on a exploité le fait que si deux classes d'équivalences se confondent (sont les même) cela veux dire que les éléments qui les représentent sont en relation via \mathcal{R}, dans la troisième ligne on a explicité cette relation d'équivalence (celle qui définie le groupe quotient \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), maintenant dans la quatrième ligne on a par exemple: a\times(\epsilon-1) = nk quel que soit a, cela veut dire que (\epsilon-1) lui-même est un multiple de n: \begin{eqnarray*} \epsilon-1=nk & \iff & \epsilon=nk+1\\ & \iff & \epsilon\in\dot{1}\\ & \iff & \dot{\epsilon}=\dot{1}\end{eqnarray*} car les nombres qui s'écrivent sous la forme nk+1 forment la classe d'équivalence de 1 (en effet (nk+1)-1=nk\in n\mathbb{Z})
Donc l'élément neutre de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} par rapport à \dot\times est \dot 1
Ayant fait cela, voyez la définition du sac symétrique (\dot{x})^{-1} (supposons que (\dot{x})^{-1} est la classe d'équivalence d'un certain élément x^{*} c'est-à-dire (\dot{x})^{-1} \equiv \dot{\left(x^{*}\right)}, le tout est donc de trouver ce {x}^{*}) \begin{eqnarray*} \begin{cases} \dot{x}\dot{\times}\left(\dot{x}\right)^{-1} & =\dot{1}\\ \left(\dot{x}\right)^{-1}\dot{\times}\dot{x} & =\dot{1}\end{cases} & \iff & \begin{cases} \dot{x}\dot{\times}\dot{\left(x^{*}\right)} & =\dot{1}\\ \dot{\left(x^{*}\right)}\dot{\times}\dot{x} & =\dot{1}\end{cases}\\ & \iff & \begin{cases} \dot{\overline{(x\times x^{*})}} & =\dot{1}\\ \dot{\overline{(x^{*}\times x)}} & =\dot{1}\end{cases}\\ & \iff & \begin{cases} (x\times x^{*})-1 & =nk\,\,\text{ pour un }\,\, k\in\mathbb{Z}\\ (x^{*}\times x)-1 & =nk\,\,\text{ pour un }\,\, k\in\mathbb{Z}\end{cases}\\ & \iff & x^{*}=\frac{nk+1}{x}\,\,\text{ pour un }\,\, k\in\mathbb{Z}\end{eqnarray*} Mais le problème est que {x}^{*} doit être un élément de \mathbb{Z} (un entier relatif), mais dans la dernière relation, on n'est pas certain qu'on tombe sur un {x}^{*} entier à tout les coups! En fait, {x}^{*} s'avère être un entier pour seulement quelques valeurs de n, d'où la question suivante à propos du corps
Maintenant pour que (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times) soit un corps il faut que tout éléments de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} soient inversibles (par rapport à \dot\times bien sûr), autrement dit, il faut que le x^{*} qu'on vient de trouver soit toujours entier!.
Reprenons l'avant-dernière ligne des calculs qu'on vient de faire, le premier cas par exemple: (x^{*}\times x)-1=nk\iff x^{*}x-nk=1 k est un nombre quelconque de \mathbb{Z} sans grande importance, on peut alors faire une redéfinition k \to -k on aura alors: x^{*}x+nk=1 Et cela doit être le cas quel que soit le x qu'on choisit (rappelez vous, TOUT les éléments doivent être inversibles pour qu'il soit un corps), donc: \forall x\in\mathbb{Z}\,:\, x^{*}x+nk=1 Ceci est une équation a inconnus x^{*} et k, (en effet on a fixé le x pour lequel on veut chercher le symétrique et on connait le n qui définit \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), il existe un théorème qu'on appelle le théorème de Bézout (que normalement vous connaissez, sinon jetez un coup d'oeil ici) qui dit que:
L'équation ax+by=1 admet des solutions (pour x et y) si et seulement si a et b sont premiers entre eux (c'est-à-dire que le plus grand diviseur commun entre eux est 1)
Si on applique ce théorème à notre cas, cela veut dire que x et n doivent être premiers entre eux, mais cela doit se passer QUEL QUE SOIT x, c'est-à-dire que n lui-même doit être premier. (si c'est le cas, le plus grand diviseur commun entre les deux sera toujours 1 car n étant entier lui-même n'admet pour diviseur que le 1!)
Voila, on a répondu à la question: pour que (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \dot+, \dot\times) soit un corps il faut que n soit premier (exemples: \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, ...etc)
- Exercice 8 Dans \mathbb{R}^{2}, on définit pour tous couples (a,b) et (c,d) les opérations suivantes: \begin{cases} (a,b)\oplus(c,d) & =(a+b,c+d)\\ (a,b)\otimes(c,d) & =(ac-bd,ad+bc)\end{cases} Montrer que le triplet (\mathbb{R}^{2},\oplus,\otimes) est un corps commutatif et que \mathbb{R} en est un sous-corps.
- Indications pour la correction 7 [Bientôt...]
Anneaux
(P(E),Δ,∩) est un anneau commutatif
Dans cette séance on a résolu l'exercice n°03 de la fiche TD n°03, il s'agissait de montrer que (\mathcal{P}(E),\Delta,\cap) est un anneau commutatif, où \Delta est ce qu'on appelle la différence symétrique entre deux sous-ensembles (deux parties) et est définie par: \forall (A,B) \in \mathcal{P}(E)^{2} : A \Delta B = (A\backslash B) \cup (B\backslash A) Voici à quoi ressemble la différence symétrique pour deux cas concrets: 
- Exercice 3 Montrer que (\mathcal{P}(E),\Delta,\cap), où \mathcal{P}(E) désigne l'ensemble des parties de E, possède une structure d'anneau commutatif.
- Corrigé 3 Pour montrer que (\mathcal{P}(E),\Delta,\cap) est un anneau on doit montrer les choses suivantes:
- que (\mathcal{P}(E),\Delta) est un groupe abélien, c'est à dire que:
- \Delta est commutative
- \Delta est une l.c.i
- \Delta admet un élément neutre
- chaque élément de \mathcal{P}(E) est symétrisable par rapport à \Delta
- \Delta est associative
- \Delta est commutative
- que \cap est associative et distributive par rapport à \Delta
- \cap est commutative
Commutativité de \Delta
\Delta est commutative car: \begin{eqnarray*} \forall(A,B)\in\mathcal{P}(E)^{2}\,:\, A\Delta B & = & (A\backslash B)\cup(B\backslash A)\\ & = & (B\backslash A)\cup(A\backslash B)\text{ (car }\cup\text{ est commutative)}\\ & = & B\Delta A\end{eqnarray*}\Delta est une l.c.i
\Delta est une l.c.i car elle est définie par les deux l.c.i \backslash et \cup, en d'autres termes, la différence symétrique de deux sous-ensembles est aussi un sous-ensemble.Élément neutre de \Delta
\emptyset est l'élément neutre de \Delta car: \begin{eqnarray*} \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\, A\Delta\emptyset & = & (A\backslash\emptyset)\cup(\emptyset\backslash A)\\ & = & A\cup\emptyset\\ & = & A\end{eqnarray*} il en sera de même pour \emptyset \Delta A car on a déjà démontré que \Delta est commutative.Les Éléments inverses
Notons par A^{-1} l'élément inverse de A\in E, et cherchons à quoi est égale ce A^{-1}, par définition on a: \begin{eqnarray*} \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\, A\Delta A^{-1}=\emptyset & \iff & \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\,(A\backslash A^{-1})\cup(A^{-1}\backslash A)=\emptyset\\ & \iff & \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\,\begin{cases} (A\backslash A^{-1}) & =\emptyset\\ \wedge\\ (A^{-1}\backslash A) & =\emptyset\end{cases}\\ & \iff & \forall A\in\mathcal{P}(E)\,:\, A^{-1}=A\end{eqnarray*} pour passer de la première ligne à la deuxième on a utilisé le fait que si l'union de deux sous-ensembles est vide alors forcément que ces deux sous-ensembles sont eux-mêmes vides, le passage de la deuxième à la troisième ligne est évident. La condition A^{-1} \Delta A=\emptyset donnera forcément le même résultat car on a déjà vu que \Delta est commutative. Le symétrique de chaque élément par rapport à \Delta est donc ... lui même!\Delta est associative
On doit démontrer que \forall(A,B,C)\in\mathcal{P}(E)^{3}\,:\, A\Delta(B\Delta C)=(A\Delta B)\Delta C Démontrer cette relation en utilisant seulement la définition de \Delta s'avère être une tâche difficile, c'est pour cela qu'on va utiliser les fonctions indicatrices dont j'ai déjà parlé, c'est à dire qu'on va démontrer que: \forall(A,B,C)\in\mathcal{P}(E)^{3}\,:\,\phi_{A\Delta(B\Delta C)}=\phi_{(A\Delta B)\Delta C} Mais avant cela petit rappel: \phi_{A \cap B} = \phi_{A}\phi_{B} \phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B} \phi_{A\backslash B} = \phi_{A} - \phi_{A}\phi_{B} Maintenant, pour pouvoir calculer des expressions telles que \phi_{A\Delta(B\Delta C)} on a d'abord besoin de calculer \phi_{A \Delta B}, c'est ce qui va suivre: \begin{eqnarray*} \phi_{A\Delta B} & = & \phi_{(A\backslash B)\cup(B\backslash A)}\\ & = & \phi_{(A\backslash B)}+\phi_{(B\backslash A)}-\phi_{(A\backslash B)}\phi_{(B\backslash A)}\\ & = & (\phi_{A}-\phi_{A}\phi_{B})+(\phi_{B}-\phi_{B}\phi_{A})-(\phi_{A}-\phi_{A}\phi_{B})(\phi_{B}-\phi_{B}\phi_{A})\\ & = & \phi_{A}+\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{B}+(-\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}^{2}+\phi_{A}^{2}\phi_{B}-\phi_{A}^{2}\phi_{B}^{2})\end{eqnarray*} On va montrer maintenant que ce qui est entre parenthèses dans la dernière ligne est nul, pour ceci remarquons que puisque \phi ne peut prendre pour valeurs que le 0 ou le 1, et puisque 1^{n}=1 et 0^{n}=0, on à \phi^{n}=\phi, donc l'expression entre parenthèses est bien nulle: \begin{eqnarray*} -\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}^{2}+\phi_{A}^{2}\phi_{B}-\phi_{A}^{2}\phi_{B}^{2} & = & -\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{A}\phi_{B}-\phi_{A}\phi_{B}\\ & = & 0\end{eqnarray*} On obtient en fin de compte: \phi_{A\Delta B}=\phi_{A}+\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{B} Calculons maintenant \phi_{A\Delta(B\Delta C)} \begin{eqnarray*} \phi_{A\Delta(B\Delta C)} & = & \phi_{A}+\phi_{B\Delta C}-2\phi_{A}\phi_{B\Delta C}\\ & = & \phi_{A}+(\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C})-2\phi_{A}(\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C})\\ & = & \phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C}-2\phi_{A}\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{C}+4\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C}\end{eqnarray*} La prochaine étape serait de calculer aussi \phi_{(A\Delta B)\Delta C} et de comparer les deux résultats, c'est juste, mais ici je vais suivre un raccourcie, sans passer par le calcul de \phi_{(A\Delta B)\Delta C}. Réécrivons d'abord \phi_{A\Delta(B\Delta C)} d'une autre manière: \begin{eqnarray*} \phi_{A\Delta(B\Delta C)} & = & \phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C}-2\phi_{B}\phi_{C}-2\phi_{A}\phi_{B}-2\phi_{A}\phi_{C}+4\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C}\\ & = & (\phi_{A}+\phi_{B}+\phi_{C})-2(\phi_{A}\phi_{B}+\phi_{B}\phi_{C}+\phi_{C}\phi_{A})+4(\phi_{A}\phi_{B}\phi_{C})\end{eqnarray*} Je n'ai fait que réarranger les termes d'une autre manière, cette manière nous permet de voir que l’expression de \phi_{A\Delta(B\Delta C)} est invariante sous la permutation cyclique des éléments (A,B,C), mais d'abord, qu'est ce qu'une permutation cyclique? Rien ne vaut un schéma pour la comprendre:\cap est associative
On l'a vu dans le cours\cap est distributive par rapport à \Delta
Encore une fois, il serait difficile de le montrer en n'utilisant que la définition de \Delta, et encore une fois on va utiliser les fonctions indicatrices, c'est à dire qu'il faut montrer que: \forall(A,B,C)\in\mathcal{P}(E)^{3}\,:\, A\cap(B\Delta C)=(A\cap B)\Delta(A\cap C) Je vous laisse donc le soin de le faire [À faire absolument!]\cap est commutative
On l'a vu dans le cours On a donc réussi à montrer que (\mathcal{P}(E),\Delta) est un anneau commutatif. - que (\mathcal{P}(E),\Delta) est un groupe abélien, c'est à dire que:
Homomorphismes de groupes
Énoncé du test
Soit (G,\star) un groupe et soit \mathcal{A}_{\text{bij}}(G) l'ensemble des applications bijectives de G dans G. On définit une application f de G vers \mathcal{A}_{\text{bij}}(G) de la façon suivante: \begin{eqnarray*} f\,:\, G & \longrightarrow & \mathcal{A}_{\text{bij}}(G)\\ a & \longmapsto & f(a) \doteq f_{a}\end{eqnarray*} (le symbole \doteq veut dire "... est définie par ...")Telle que f_{a} soit définie par: \begin{eqnarray*} f_{a}\,:\, G & \longrightarrow & G\\ x & \longmapsto & f_{a}(x)=a\star x\star a^{-1}\end{eqnarray*} On a déjà montré que f_{a} est un homomorphisme du groupe (G,\star) vers lui-même (donc un endomorphisme), montrer maintenant que f elle même est aussi un homomorphisme du groupe (G,\star) vers le groupe (\mathcal{A}_{\text{bij}}(G),\circ) [Essayez de faire cet exercice]
Attention f n'est pas la même application que f_{a}, f_{a} est l'image de l'élément a \in G par l'application f, cette image f_{a} est elle-même une autre application, voila ce qui s'est passé: on a appliqué l'application f sur un élément a de G et on a trouvé une application f_{a}, on définit cette dernière en l'appliquant sur un autre élément x de G, elle nous donne alors aussi un élément de G.
Indications
Un homomorphisme du groupe (G,\star) vers le groupe (G',\Delta) est une application f de G vers G' telle que: f(x \star y) = f(x) \Delta f(y) pour tout x et y de G.Dans notre cas, le premier groupe est noté de la même façon ((G,\star)), mais (G',\Delta) représente le groupe (\mathcal{A}_{\text{bij}}(G),\circ).
Correction du test
On veut montrer que c'est un homomorphisme de (G,\star) vers (\mathcal{A}_{\text{bij}}(G),\circ), on prend donc deux éléments a et b de G, et on regarde l'image de leur composition via f qui est f_{a\star b}, si elle est égale à la composée des deux images (les deux applications) f_{a} \circ f_{b} alors on pourra dire que c'est un homomorphisme. C'est à dire on doit montrer que: \forall (a,b) \in G^{2} : f_{a \star b} = f_{a} \circ f_{b} Bien entendu, on ne peut pas travailler avec f_{a} toute seule, car c'est une application, il faudra l'appliquer sur un élément x de G: \forall (a,b,x) \in G^{3} : f_{a \star b}(x) = (f_{a} \circ f_{b})(x) Démontrons donc cela: \begin{eqnarray*} \forall(a,b,x)\in G^{3}\,:\, f_{a\star b}(x) & = & (a\star b)\star x\star(a\star b)^{-1}\\ & = & a\star b\star x\star b^{-1}\star a\text{ (car }\star\text{ est associative)}\\ & = & a\star(b\star x\star b^{-1})\star a\text{ (car }\star\text{ est associative)}\\ & = & a\star f_{b}(x)\star a\\ & = & f_{a}\left[f_{b}(x)\right]\\ & = & \left(f_{a}\circ f_{b}\right)(x)\end{eqnarray*} Et ceci esr valable quel que soit x, donc: \begin{eqnarray*} \forall(a,b)\in G^{2},\,\forall x\in G\,:\, f_{a\star b}(x) & = & \left(f_{a}\circ f_{b}\right)(x)\\ \Longrightarrow\forall(a,b)\in G^{2},\,:\, f_{a\star b} & = & f_{a}\circ f_{b}\end{eqnarray*}[Vous pouvez poser des questions, faire des commentaires ou signaler une erreur en cliquant sur Commentaires ci dessous, vous pouvez aussi écrire des éxpressions mathématiques, voir comment]
Addition modulo n et multiplication modulo n
Dans cette séance on a découvert que les lois \dot{+} et \dot{\times} définies dans l'exercice n°01 de la fiche TD n°03 sont en fait les lois de l'addition modulo 10 et de la multiplication modulo 10.
La définition des ces deux opérations est somme toute simple: deux nombres a et b sont égaux (ou équivalents) modulo n si leur différence est un multiple de n, ou, formulée d'une autre manière, si b est le reste de la division de a sur n. a \equiv b [n] \iff a = n . k + b \text{ (pour un certain } k \in \mathbb{Z} \text{)} Par exemple:
3 \equiv 13 [10]
5 \equiv 33 [14]
-1 \equiv 13 [14]
etc...
Il y a une relation très étroite entre cette définition du calcul modulo (c'est ce qu'on appelle l'arithmétique modulaire) et ce qu'on a vu la dernière fois concernant les groupes quotients \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, car, regardez bien:
La définition des ces deux opérations est somme toute simple: deux nombres a et b sont égaux (ou équivalents) modulo n si leur différence est un multiple de n, ou, formulée d'une autre manière, si b est le reste de la division de a sur n. a \equiv b [n] \iff a = n . k + b \text{ (pour un certain } k \in \mathbb{Z} \text{)} Par exemple:
3 \equiv 13 [10]
5 \equiv 33 [14]
-1 \equiv 13 [14]
etc...
Il y a une relation très étroite entre cette définition du calcul modulo (c'est ce qu'on appelle l'arithmétique modulaire) et ce qu'on a vu la dernière fois concernant les groupes quotients \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, car, regardez bien:
- On a dit que deux nombres (de \mathbb{Z}) sont égaux ou équivalents modulo n si leur différence a-b est un multiple de n (donc si la différence appartient à n\mathbb{Z}), c'est à dire si a \star b^{-1} \in \mathbb{Z} (avec \star \doteq + et b^{-1} \doteq -b, \doteq voulant dire est définie par...), cette dernière définition on la connait! Elle veut dire que a et b appartiennent à la même classe d'équivalence du groupe quotient \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} [se rafraîchir la mémoire avec le résumé de la séance].
Donc, faire de l'arithmétique (du calcul) modulaire revient à faire des opérations entre des classes d'équivalence du groupe quotient \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, par exemple si on dit que 3 \equiv 14 [11] cela veut dire que 3 et 14 appartiennent à la même classe d'équivalence du groupe quotient \mathbb{Z}/11\mathbb{Z}, cette classe d'équivalence qu'on peut représenter par le plus petit élément \dot{3} et qui vaut \dot{3} = \{\dots, -19, -8, 3, 14, 25, \dots\}, c'est parce que les deux éléments 3 et 14 appartiennent à une même classe d'équivalence de \mathbb{Z}/11\mathbb{Z} qu'on dit qu'ils sont égaux ou équivalents modulo 11, et le groupe quotient est l'ensemble des classes d'équivalence \mathbb{Z}/11\mathbb{Z} = \{\dot{0},\dot{1},\dot{2},\dot{3},\dot{4},\dot{5},\dot{6},\dot{7},\dot{8},\dot{9},\dot{10}\}
- Quand vous voulez vous connecter à un site (se trouvant dans un serveur) pour consulter par exemple votre boîte email, la connexion établie doit être cryptée pour qu'aucune personne ayant le contrôle d'un des ordinateurs qui permettent de faire le relais entre votre PC et le serveur ne soit en mesure de décrypter et lire les données, une des méthodes de cryptage possibles (et très sûre) est ce qu'on appelle le chiffrement RSA [voilà deux liens 1 et 2 pour lire de quoi il s'agit] qui est basé sur l’arithmétique modulaire, vous pouvez voir qu'on y utilise mod pour dire modulo (c'est la même chose que notre [...]), vous pouvez voir aussi que vous êtes en ce moment même surement entrain d'utiliser une connexion cryptée RSA qui utilise le calcul modulaire dont on parle ici (ouvrez votre boîte email, vous verrez que l'adresse internet, l'URL, ne commence plus par http:// mais https://, le "s" veut dire "sécurisée", si vous cliquez sur l'icone à coté, et que vous lisez bien, vous trouverez à coup sur le mot RSA)
Pour pouvoir décrypter ou cracker ce genre de clés, il est donc primordiale d'avoir de bonnes connaissances en mathématiques, en particulier en calcul combinatoire, en arithmétique modulaire (ce qu'on fait ici) et même en théorie de groupes (ce qu'on fait dans ce semestre), mais je vous rassure, les clés RSA que vous utilisez sont très sûres (enfin... officiellement...)
- Exercice 1 l'ensemble E = \{0,2,4,6,8\} est muni de deux lois \dot+ et \dot\times définies comme suit:
\forall (a,b) \in E^{2} : a \dot+ b = c \text{ } où c est le chiffre des unités de a+b
\forall (a,b) \in E^{2} : a \dot\times b = d \text{ } où d est le chiffre des unités de a\times b
- Construire les tables des opérations \dot+ et \dot\times
- Montrer que (E,\dot+,\dot\times) possède une structure d'anneau commutatif unitaire et que tout élément de E autre que 0 est symétrisable
- Calculer le nombre: x = \frac{4 \dot\times (4 \dot+ 8)^{2} \dot+ 8}{(2\dot+ 4)^{3} \dot+ 2}
- Construire les tables des opérations \dot+ et \dot\times
- Corrigé 1 Avant de répondre aux questions remarquons que les deux lois \dot+ et \dot\times peuvent être définies en utilisant l'arithmétique modulaire, en effet: \forall (a,b) \in E : \, a \dot+ b \equiv (a + b) [10] \forall (a,b) \in E : \, a \dot\times b \equiv (a \times b) [10] On aura besoin aussi d'une autre relation, démontrons la avant de commencer:
On remarque tout d'abord que si a \in E on peut écrire l'égalité a = a [10]
Maintenant, on sait que \forall (a,b) \in E^{2}:\; a \dot+ b \in E car \dot+ est une l.c.i, donc on peut écrire: (a \dot+ b) = (a \dot+ b) [10] Et on utilisant la définition de a \dot+ b on trouve: (a \dot+ b) [10] \equiv (a + b) [10] Cette relation veut dire que quand on travaille à l’intérieure d'une classe d'équivalence [10], on peut remplacer a \dot+ b par a + b, cela va nous être utile par la suite.
- Tables des opérations \dot+ et \dot\times
\dot+ 0 2 4 6 8 0 0 2 4 6 8 2 2 4 6 8 0 4 4 6 8 0 2 6 6 8 0 2 4 8 8 0 2 4 6 \dot\times 0 2 4 6 8 0 0 0 0 0 0 2 0 4 8 2 6 4 0 8 6 4 2 6 0 2 4 6 8 8 0 6 2 8 4 - Pour que (E,\dot+,\dot\times) soit un anneau commutatif unitaire on doit avoir:
- pour que (E,\dot+,\dot\times) soit un anneau
- (E,\dot+) doit être un groupe abélien c'est à dire:
- \dot+ doit être une l.c.i dans E
- \dot+ doit être commutative
- \dot+ doit admettre un élément neutre
- chaque élément de E doit être symétrisable par rapport à \dot+
- \dot+ doit être associative
- \dot+ doit être une l.c.i dans E
- \dot\times doit être associative et distributive par rapport à \dot+ dans E
- (E,\dot+) doit être un groupe abélien c'est à dire:
- pour qu'il soit commutatif
- \dot\times doit être commutative dans E
- pour qu'il soit unitaire
- \dot\times doit admettre un élément neutre dans E
- \dot+ est-elle une l.c.i? Oui, on peut le voir à partir de la table des opérations de \dot+: toutes les cases sont remplies par des éléments de E.
- \dot+ est-elle commutative? Oui, on peut le voir aussi à partir de la table des opérations de \dot+, elle est symétrique par rapport à la diagonale (par exemple 4 \dot+ 2 = 2 \dot+ 4, ...etc)
\dot+ 0 2 4 6 8 0 0 2 4 6 8 2 2 4 6 8 0 4 4 6 8 0 2 6 6 8 0 2 4 8 8 0 2 4 6 - \dot+ admet-elle un élément neutre? Oui, et c'est e=0, on le voit à partir de la tables des opérations de \dot+, la ligne 0,2,4,6,8 ne change pas pour l'élément 0
\dot+ 0 2 4 6 8 0 0 2 4 6 8 2 2 4 6 8 0 4 4 6 8 0 2 6 6 8 0 2 4 8 8 0 2 4 6 - chaque élément est-il symétrisable? Oui, car pour chaque colonne (ou ligne) on peut trouver une case remplie avec l'élément neutre 0 dans la table des opérations de \dot+, plus précisément on a: 0^{-1} = 0,\,2^{-1}=8,\,4^{-1}=6,\text{...etc}
\dot+ 0 2 4 6 8 0 0 2 4 6 8 2 2 4 6 8 0 4 4 6 8 0 2 6 6 8 0 2 4 8 8 0 2 4 6 - \dot+ est-elle associative? Oui, car: \begin{eqnarray*} \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{+}c & \equiv & \left((a\dot{+}b)+c\right)[10]\\ & \equiv & \left((a+b)+c\right)[10]\\ & \equiv & \left(a+(b+c)\right)[10]\\ & \equiv & \left(a+(b\dot{+}c)\right)[10]\\ & \equiv & a\dot{+}(b\dot{+}c)\end{eqnarray*} Mais comme \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{+}c\in E\;\wedge a\dot{+}(b\dot{+}c)\in E L'équivalence \equiv est en fait une égalité =, on a donc: \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{+}c=a\dot{+}(b\dot{+}c)
- \dot\times est-elle associative? Oui, car: \begin{eqnarray*} \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{\times}b)\dot{\times}c & \equiv & \left((a\dot{\times}b)\times c\right)[10]\\ & \equiv & \left((a\times b)\times c\right)[10]\\ & \equiv & \left(a\times(b\times c)\right)[10]\\ & \equiv & \left(a\times(b\dot{\times}c)\right)[10]\\ & \equiv & a\dot{\times}(b\dot{\times}c)\end{eqnarray*} Mais comme \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{\times}b)\dot{\times}c\in E\;\wedge a\dot{\times}(b\dot{\times}c)\in E L'équivalence \equiv est en fait une égalité =, on a donc: \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{\times}b)\dot{\times}c=a\dot{\times}(b\dot{\times}c)
- \dot\times est-elle distributive par rapport à \dot+? Oui, car: \begin{eqnarray*} \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{\times}c & \equiv & \left((a\dot{+}b)\times c\right)[10]\\ & \equiv & \left((a+b)\times c\right)[10]\\ & \equiv & \left((a\times c)+(b\times c)\right)[10]\\ & \equiv & \left((a\dot{\times}c)+(b\dot{\times}c)\right)[10]\\ & \equiv & (a\dot{\times}c)\dot{+}(b\dot{\times}c)\end{eqnarray*} Mais comme: \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{\times}c\in E\;\wedge(a\dot{\times}c)\dot{+}(b\dot{\times}c)\in E L'équivalence \equiv est en fait une égalité =, on a donc: \forall(a,b,c)\in E^{3}:\,(a\dot{+}b)\dot{\times}c=(a\dot{\times}c)\dot{+}(b\dot{\times}c)
- \dot\times est-elle commutative? Oui, on peut le voir à partir de la table des opérations de \dot\times, elle est symétrique par rapport à la diagonale (par exemple 4 \dot\times 2 = 2 \dot\times 4, ...etc)
\dot\times 0 2 4 6 8 0 0 0 0 0 0 2 0 4 8 2 6 4 0 8 6 4 2 6 0 2 4 6 8 8 0 6 2 8 4 - \dot\times admet-elle un élément neutre? Oui, car dans chaque colonne (ou ligne) d'un élément (autre que l'élément neutre de \dot+ qui est le 0) on peut trouver une case telle que la ligne (ou colonne) correspondante est celle du même élément. L'élément neutre est 6 et il est facile de le vérifier: 2 \dot\times 6 = 2,\,4 \dot\times 6 = 4,\,\text{...etc}
\dot\times 0 2 4 6 8 0 0 0 0 0 0 2 0 4 8 2 6 4 0 8 6 4 2 6 0 2 4 6 8 8 0 6 2 8 4
- pour que (E,\dot+,\dot\times) soit un anneau
- Calcul du nombre x \begin{eqnarray*} x & = & \frac{4\dot{\times}(4\dot{+}8)^{2}\dot{+}8}{(2\dot{+}4)^{3}\dot{+}2}\\ & = & \frac{4\dot{\times}(2)^{2}\dot{+}8}{(6)^{3}\dot{+}2}\\ & = & \frac{4\dot{\times}2\dot{\times}2\dot{+}8}{6\dot{\times}6\dot{\times}6\dot{+}2}\\ & = & \frac{8\dot{\times}2\dot{+}8}{6\dot{+}2}\text{ (car 6 est element neutre par rapport a }\dot{\times}\text{)}\\ & = & \frac{6\dot{+}8}{6\dot{+}2}\\ & = & \frac{4}{8}\text{ (ici la division represente l'operation inverse de }\dot{\times}\text{)}\\ & = & 4\dot{\times}8^{-1}\\ & = & 4\dot{\times}2\text{ (car dans la table des operations de }\dot{\times}\text{ on a }8\dot{\times}2=6=e\text{)}\\ & = & 8\end{eqnarray*}
- Tables des opérations \dot+ et \dot\times
Les fonctions caractéristiques (ou fonctions indicatrices)
Ce sont des fonctions définies en théorie des ensembles qui peuvent être très utiles pour démontrer certaines égalités.
\phi_{F}(c) = 0
\phi_{F \cap G}(a) = 0
\phi_{F \cap G}(b) = 1
\phi_{F \cup G}(d) = 0
\phi_{F \cup G}(a) = 1
\phi_{F \Delta G}(b) = 0
\phi_{E}(a) = \phi_{E}(b) = \phi_{E}(c) = \phi_{E}(d) = 1
Vous pouvez simplement vérifier (avec des exemples) les identités suivantes: (à partir de maintenant, on se fixe des sous-ensembles (F,G,H,\dots) d'un ensemble E et on imagine un point x qui peut être n'importe où dans E)
\phi_{\bar{A}}=1-\phi_{A}
\phi_{A \cap B} = \phi_{A}\phi_{B}
\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B}
\phi_{A\backslash B} = \phi_{A} - \phi_{A}\phi_{B}
où \bar{A} est le complément de A dans E. Vérifions par exemple la fonction indicatrice d'une union de deux sous-ensembles F et G, les deux configurations qu'on peut avoir sont:
En utilisant ces relations, montrer que [À faire]: \phi_{A \Delta B} = \phi_{A} + \phi_{B} - 2\phi_{A}\phi_{B} Cette relation est très importante car on va l'utiliser pour montrer que (\mathcal{P},\Delta,\cup) est un anneau$
[Vous pouvez poser des questions, faire des commentaires ou signaler une erreur en cliquant sur Commentaires ci dessous, vous pouvez aussi écrire des éxpressions mathématiques, voir comment]
- Définition La fonction caractéristique d'un sous-ensemble F d'un ensemble E pour un point x \in E est noté \phi_{F}(x) et est définie par:
\begin{eqnarray*}
\phi_{F}\,:\, E & \longrightarrow & \{0,1\}\\
x & \longmapsto & \phi_{F}(x)=\begin{cases}
1 & \text{si }x\in F\\
0 & \text{si }x\not\in F\end{cases}\end{eqnarray*}
C'est à dire qu'elle nous indique si un point x appartient ou pas au sous-ensemble F. Elle donne 1 si il lui appartient, 0 sinon.
Généralement, on évite d'écrire l'argument (x) de la fonction, et on écrit tout simplement \phi_{F}, en gardant en tête qu'elle nous indique si oui ou non un certain élément x appartient à F ou pas.
Quelques exemples
\phi_{F}(c) = 0
\phi_{F \cap G}(a) = 0
\phi_{F \cap G}(b) = 1
\phi_{F \cup G}(d) = 0
\phi_{F \cup G}(a) = 1
\phi_{F \Delta G}(b) = 0
\phi_{E}(a) = \phi_{E}(b) = \phi_{E}(c) = \phi_{E}(d) = 1
Quelques identités
Vous pouvez simplement vérifier (avec des exemples) les identités suivantes: (à partir de maintenant, on se fixe des sous-ensembles (F,G,H,\dots) d'un ensemble E et on imagine un point x qui peut être n'importe où dans E)
\phi_{\bar{A}}=1-\phi_{A}
\phi_{A \cap B} = \phi_{A}\phi_{B}
\phi_{A \cup B} = \phi_{A} + \phi_{B} - \phi_{A}\phi_{B}
\phi_{A\backslash B} = \phi_{A} - \phi_{A}\phi_{B}
où \bar{A} est le complément de A dans E. Vérifions par exemple la fonction indicatrice d'une union de deux sous-ensembles F et G, les deux configurations qu'on peut avoir sont:
En utilisant ces relations, montrer que [À faire]: \phi_{A \Delta B} = \phi_{A} + \phi_{B} - 2\phi_{A}\phi_{B} Cette relation est très importante car on va l'utiliser pour montrer que (\mathcal{P},\Delta,\cup) est un anneau$
[Vous pouvez poser des questions, faire des commentaires ou signaler une erreur en cliquant sur Commentaires ci dessous, vous pouvez aussi écrire des éxpressions mathématiques, voir comment]
Groupes quotients, Z/nZ
La raison pour laquelle j'ai décidé de consacrer tout une séance à la notion de groupes quotients est que je juge que cette notion est très importante, et parfois difficile à assimiler, je vais donc essayer de bien la faire comprendre en illustrant avec des exemples (les fameux \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}).
Soit (G,\star) un groupe et G' un sous-groupe de G. La définition d'un groupe quotient passe par trois étapes:
Soit (G,\star) un groupe et G' un sous-groupe de G. La définition d'un groupe quotient passe par trois étapes:
- D'abord on définit une relation d'équivalence sur G
- \forall (a,b) \in G : a \mathcal{R} b \iff a \star b^{-1} \in G'
- En utilisant cette relation, on construit le quotient de l'ensemble G : G/\mathcal{R}, on le note habituellement G/G' au lieu de G/\mathcal{R}, on note les éléments de G/G' par leurs représentants avec un point au dessus (\dot{a}, \dot{b}, \dot{c}, ...\text{etc}), on muni ensuite ce nouvel ensemble d'une loi notée \oplus définie par:
- \forall (\dot{a},\dot{b}) \in {(G/G')}^{2} : \dot{a} \oplus \dot{b} = \dot{\overline{a\star b}}
- \oplus n'est pas forcément une l.c.i dans G/G', elle devient une l.c.i si \star est commutative, ce serait un très bon exercice de le démontrer [faites le]
Maintenant donc, si (G,\star) est un groupe abélien, alors (G/G',\oplus) devient un groupe abélien, on l'appelle le groupe de quotient de G par G', ce serait un très bon exercice de le démontrer [faites le]
Explications
- Que fait-on vraiment quand on quotienne un ensemble par une relation d’équivalence? Prenons un exemple simple:
J'ai l'ensemble suivante: E = \{33, 64, 87, 100, 60, 12, 555, 6, 1, 44, 8, 55\}
J'ai la relation d'équivalence suivante: \forall(a,b)\in E^{2}:a\mathcal{R}b\iff\left(\overset{\text{la somme des chiffres composant }a}{\underset{\text{la somme des chiffres composant }b}{=}}\right) Il est facile de voir que c'est bien une relation d'équivalence (puisque s'appuyant sur une relation d’équivalence bien connue: =). Si on applique cette relation sur les éléments de E on trouve: 33\;\mathcal{R}\;60\;\mathcal{R}\;6 64\;\mathcal{R}\;55 87\;\mathcal{R}\;555 100\;\mathcal{R}\;1 44\;\mathcal{R}\;8 Et 12 qui n'est lié à aucun autre élément.
Autrement dit, l'ensemble quotient E/\mathcal{R} est: E /\mathcal{R} = \{ \{33, 60, 6\}, \{64, 55\}, \{87, 555\}, \{100, 1\}, \{44, 8\}, \{12\} \} Il faut bien comprendre que les éléments de E/\mathcal{R} sont des sous-ensembles:
Maintenant, tout les éléments d'un même sac sont équivalents, c'est à dire qu'ils sont considérés comme égaux en quelque sort, ce qu'on va faire donc, c'est choisir dans chaque sac un élément pour représenter ses compagnons dans le sac, on dit que c'est un représentant et on le note généralement avec un point au dessus de la tête.
L'ensemble constituant le sac est appelé une classe d'équivalence.
Par exemple on peut choisir le représentant du sac \{33, 60, 6\} le premier élément, au lieu d'écrire \{33, 60, 6\} on écrira \dot{33}. On peut aussi choisir \dot{60} ou \dot{6}, tout les trois peuvent être représentants. Littéralement on a: \dot{33} \equiv \dot{60} \equiv \dot{6} \equiv \{33, 60, 6\} Alors au lieu de voir E/\mathcal{R} comme un ensemble constitué de sous ensembles, il est préférable de le voir comme un ensemble constitué de représentants ou si vous préférez de classes d'équivalences:
On fait la même chose pour obtenir un groupe quotient G/G', sauf que la relation d'équivalence qu'on choisit est liée au sous-groupe G': a \mathcal{R} b \iff a \star b^{-1} \in G' Vous voyez que le G' apparaît dans la définition de la relation d'équivalence \mathcal{R}, d'ailleurs c'est pour cette raison qu'on note l'ensemble quotient G/G' au lieu de G/\mathcal{R}, car \mathcal{R} est intimement liée à G'.
Comment construire G/G'? Je choisis un élément x de G est je commence à tester sa composition (en utilisant \star) avec les symétriques de tout les autres éléments, si jamais je trouve un élément y tel que x \star y^{-1} \in G' je met cet élément y dans le même sac que x et ainsi de suite.... quand j'aurais vérifié tout les éléments, je passe à un autre élément x' et je commence à remplir son sac, quand je finis je passe à un troisième élément x'', ...etc jusqu'à ce que tout les éléments de G soient dans un des sacs. L'ensemble constitué de ces sac est alors appelé l'ensemble quotient G/G' (on n'a pas encore montré que c'est un groupe)Question (#Q-GRQ1)
Si a \in G', à quoi est égale la classe d'équivalence \dot{a}?
La réponse était \dot a = G' lui-même - Que veut dire la loi \oplus ? Cette loi est définie par: \forall (\dot{a},\dot{b}) \in {(G/G')}^{2} : \dot{a} \oplus \dot{b} = \dot{\overline{a\star b}} C'est une loi définie non pas entre les éléments de G mais entre les éléments de G/G', c'est à dire entre les sacs. Elle veut dire que si je compose entre deux sacs représentés par \dot{a} et \dot{b} (avec \oplus) je trouverais le sac dans lequel se trouve l'élément a \star b.
- Quand est-ce que G/G' devient-il un groupe? D'abord, avant tout il faut que la loi \oplus soit une l.c.i dans l'ensemble quotient G/G', on peut vérifier [faites le] que \oplus devient une l.c.i si la loi \star est commutative, les autres propriétés du groupe (associativité, élément neutre et symétrisablilité des éléments) découlent des mêmes propriétés qui définissent le groupe G [faites le].
Exemples
Les exemples les plus connus de quotients de groupes sont les \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} (pour la loi +). On va maintenant voir que représentent vraiment ces groupes avec des exemples, mais d'abord une petite définition:- Ensemble n\mathbb{Z} C'est l'ensemble des entiers relatifs multiples de n, c'est à dire ceux qui s'écrivent comme nk pour k \in \mathbb{Z} par exemple:
- 2\mathbb{Z} est l'ensemble des entier relatifs paires 2\mathbb{Z} = \{\dots,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots\}
- 3\mathbb{Z} est l'ensemble des entier relatifs paires 3\mathbb{Z} = \{\dots,-6,-3,0,3,6,\dots\}
- ...etc
- 2\mathbb{Z} est l'ensemble des entier relatifs paires 2\mathbb{Z} = \{\dots,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots\}
- On a le groupe (\mathbb{Z},+) et on a le sous-groupe (2\mathbb{Z},+) (ce dernier est bien un sous-groupe parce que + y reste associative, e=0 s'y trouve, chaque élément est symétrisable et + est une l.c.i car la somme de deux nombres paires est aussi paire):
- Choisissons un élément x de 2\mathbb{Z} (donc x est paire) et cherchons les éléments qui lui sont équivalents (remplissons son sac), y est équivalent à x si x + y^{-1} \in 2\mathbb{Z}, mais y^{-1} pour la loi + c'est simplement l'opposé y^{-1} \equiv -y, il faut donc chercher les éléments y de \mathbb{Z} tels que x-y \in 2\mathbb{Z}, autrement dit tels que x-y soit paire. Il est claire que pour que x-y soit paire pour x paire (x \in 2\mathbb{Z}) il faut que y soit aussi paire, donc les éléments qui sont équivalents à x \in 2\mathbb{Z} sont tout les élément de 2\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z} forme donc à lui seul un sac (on dit une classe d'équivalence).
- Choisissons maintenant un élément x en dehors de 2\mathbb{Z} c'est à dire un élément impaire, et cherchons tout les y de \mathbb{Z} tels que x-y \in 2\mathbb{Z}, c'est à dire tels que x-y soit paire, il est claire que y doit être impaire, donc les éléments qui sont équivalents à un nombre impaire x sont tout les nombres impaires \mathbb{Z} \backslash 2\mathbb{Z} qu'on note aussi 2\mathbb{Z}+1
- On a le groupe (\mathbb{Z},+) et on a le sous-groupe (10\mathbb{Z},+) des nombres multiples de 10 (ce dernier est bien un sous-groupe parce que + y reste associative, e=0 s'y trouve, chaque élément est symétrisable et + est une l.c.i car la somme de deux nombres multiples de 10 est aussi multiple de 10):
- Choisissons un élément x de 10\mathbb{Z} (donc x est de la forme 10k pour k \in \mathbb{Z}) et cherchons les éléments qui lui sont équivalents (remplissons son sac), y est équivalent à x si x + y^{-1} \in 10\mathbb{Z}, mais y^{-1} pour la loi + c'est simplement l'opposé y^{-1} \equiv -y, il faut donc chercher les éléments y de \mathbb{Z} tels que x-y \in 10\mathbb{Z}, autrement dit tels que x-y soit multiple de 10. Il est claire que pour que x-y soit multiple de 10 pour x aussi multiple de 10 (x \in 10\mathbb{Z}) il faut que y soit aussi multiple de 10, donc les éléments qui sont équivalents à x \in 10\mathbb{Z} sont tout les élément de 10\mathbb{Z}, 10\mathbb{Z} forme donc à lui seul un sac (on dit une classe d'équivalence).
- Choisissons maintenant un élément x en dehors de 10\mathbb{Z}, et cherchons tout les y de \mathbb{Z} tels que x-y \in 10\mathbb{Z}, c'est à dire tels que x-y soit multiple de 10, il est claire que y doit être de la forme y = 10k + x pour k \in \mathbb{Z}, donc les éléments qui sont équivalents à un nombre x sont ceux de la forme y = 10k + x, par exemple: \dot{1} = \{\dots,-21,-11,-1,1,11,21,\dots\} \dot{2} = \{\dots,-22,-12,-2,2,12,22,\dots\} \dot{7} = \{\dots,-27,-17,-7,7,17,27,\dots\} Et la classe le groupe quotient est: \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} = \{\dot{0},\dot{1},\dot{2},\dot{3},\dot{4},\dot{5},\dot{6},\dot{7},\dot{8},\dot{9}\}
Sous-groupes et endomorphismes de groupes
Au cours de cette séance on a démontré une propriété très importante des sous-groupes, qui nous permet de démontrer qu'un sous-ensemble non vide H d'un groupe (G,\star) est un sous-groupe seulement en vérifiant une condition \forall (x,y) \in H^{2} : x \star y^{-1} \in H
On a aussi vu les morphismes de groupes, sous forme d'un teste.
Quelques définitions:
On a aussi vu les morphismes de groupes, sous forme d'un teste.
Quelques définitions:
- Groupe Un ensemble G muni d'une loi de composition \star forment un groupe (noté (G,\star)) ssi:
- \star est une l.c.i
- \star est associative
- \star admet un élément neutre e
- Chaque élément de G est symétrisable (càd qu'il admet un élément symétrique) par rapport à \star
- \star est une l.c.i
- Sous-groupe Soit (G,\star) un groupe et H une partie de G (H \subset G), on dit que H est un sous-groupe si lui-même forme un groupe quand il est muni de la restriction de la l.c.i \star, en d'autres termes, ssi:
- H \not= \emptyset
- \forall a,b \in H: a\star b \in H
- \forall a \in H: a^{-1} \in H
- H \not= \emptyset
- Homomorphismes de groupes Soient (G,\star) et (H,\bullet) deux groupes, e et h sont leurs éléments neutres respectifs.
Une application f: G \longrightarrow H est appelée homomorphisme des groupes ssi: \forall (a,b) \in G^{2}: f(a \star b) = f(a) \bullet f(b)- Si en plus f est bijective, on dit que c'est un isomorphisme de groupes et on dit que G et H sont isomorphes
- Si G=H on dit que c'est un endomorphisme (le préfixe endo. veut dire à l’intérieur, car f agit à l'intérieur de G)
- Si les deux conditions précédentes sont réunies on dit que f est une automorphisme
Pour bien comprendre ce qu'est un homomorphisme de groupes, prenons une exemple d'une application qui n'est pas un homomorphisme, schématiquement ça donne ça: - Si en plus f est bijective, on dit que c'est un isomorphisme de groupes et on dit que G et H sont isomorphes
- Exrcice 4 Montrer qu'un sous-ensemble non vide H d'un groupe (G,\star) est un sous-groupe ssi: \forall (x,y) \in H^{2} : x \star y^{-1} \in H
- Corrigé 4 Ce qu'il faut qu'on démontre c'est l'équivalence suivante: \left((H,\star)\text{ est un sous-groupe}\right)\iff\begin{cases} H\not=\emptyset\\ \forall(x,y)\in H^{2}: & x\star y^{-1}\in H\end{cases}
- Démonstration de \left((H,\star)\text{ est un sous-groupe}\right)\Longrightarrow\begin{cases} H\not=\emptyset\\ \forall(x,y)\in H^{2}: & x\star y^{-1}\in H\end{cases} Supposons que H est un sous groupe et essayons de montrer que ça implique les deux conditions dans l'accolade:
- Est-ce que H \not= \emptyset ?
Puisque H est un groupe il contient automatiquement au moins un élément qui est l'élément neutre e, il ne peux donc jamais être nul.
- Est-ce que \forall(x,y)\in H^{2}: x\star y^{-1}\in H ?
On a: \forall(a,b)\in H:b^{-1}\in H\text{ (parceque }H\text{ est stable par passage à l'élément inverse)} Maintenant puisque a et b^{-1} sont tout deux dans H on aura: a \star b^{-1} \in H \text{ (parce que }H\text{ est stable par }\star\text{)} On a donc montré que \forall(a,b)\in H: a \star b^{-1} \in H
- Est-ce que H \not= \emptyset ?
- Démonstration de \begin{cases} H\not=\emptyset & \text{#1}\\ \forall(x,y)\in H^{2}:x\star y^{-1}\in H & \text{#2}\end{cases}\Longrightarrow\left((H,\star)\text{ est un sous-groupe}\right) Supposons donc que les deux hypothèses #1 et #2 sont vraies, et voyons si ça implique que H soit un groupe, càd si ça implique les 4 conditions qui définissent un groupe (voir début de la page), on va vérifier une par une ces conditions:
- Est-ce qu'il existe un élément neutre dans H ? H est un sous-ensemble de G, les éléments de H sont donc aussi éléments de G, le seul élément qui peut être élément neutre pour les éléments de H est donc l'élément neutre e de (G,\star). La question est donc, est-ce que cet élément neutre e appartient à H?
On va jouer avec la liberté que nous donne l’expression \forall (x,y) \in H^{2} dans l'hypothèse #2 pour choisir a et b de telle façon qu'on arrive à notre but.
On choisit a = x et b = x pour un certain élément x arbitraire, l'hypothèse #1 nous assure qu'on pourra toujours trouver au moins un tel élément x, et l'hypothèse #2 devient: \forall x \in H, x \star x^{-1} = e \in H On a donc montré que e appartient à H.
- Est-ce que chaque élément de H possède un symétrique? On sait que e \in H, jouons encore une fois avec la liberté de choix qu'on a dans l'hypothèse #2 pour choisir a et b.
Choisissons a = e et b = x pour un certain élément x arbitraire, encore une fois, l'hypothèse #1 nous assure qu'on pourra toujours trouver au moins un tel élément x, et l'hypothèse #2 devient: \forall y \in H : e \star y^{-1} = y^{-1} \in H On donc démontré que chaque élément y possède un symétrique y^{-1} qui est dans H.
- Est-ce que la loi \star est interne dans H ? on vient de démontré que chaque élément possède son symétrique dans H: \forall (x,y) \in H^{2} : y^{-1} \in H Maintenant si x \in H et y^{-1} \in H l'hypothèse #2 nous dit: x \star (y^{-1})^{-1} \in H C'est à dire: x \star y \in H On vient donc de démontrer que: \forall (x,y) \in H^{2} : x \star y \in H Donc la lois \star est bien une l.c.i
- Est-ce que la loi \star est associative dans H ? Oui, parce qu'elle est associative dans G, et H est un sous-ensemble de G, plus précisément on a l'implication suivante:
\forall (x,y,z) \in G: (x \star y) \star z = x \star (y \star z) \Longrightarrow \forall (x,y,z) \in H: (x \star y) \star z = x \star (y \star z)
- Est-ce qu'il existe un élément neutre dans H ? H est un sous-ensemble de G, les éléments de H sont donc aussi éléments de G, le seul élément qui peut être élément neutre pour les éléments de H est donc l'élément neutre e de (G,\star). La question est donc, est-ce que cet élément neutre e appartient à H?
- Démonstration de \left((H,\star)\text{ est un sous-groupe}\right)\Longrightarrow\begin{cases} H\not=\emptyset\\ \forall(x,y)\in H^{2}: & x\star y^{-1}\in H\end{cases} Supposons que H est un sous groupe et essayons de montrer que ça implique les deux conditions dans l'accolade:
- Exercice 5 Soit G un groupe doté d'une l.c.i notée multiplicativement, on fait correspondre à chaque élément a de G un application de f_{a}:E \longrightarrow E définie par: \forall x \in G: f_{a}(x) = a^{-1}xa Montrer que f_{a} est un endomorphisme dans G
- Corrigé 5 Un endomorphisme est simplement un homomorphisme défini à l’intérieur d'un même groupe. Ce qu'il faut qu'on vérifie c'est donc: \forall (a,x,y) \in G^{2} : f_{a}(xy) = f_{a}(x)\,f_{a}(y) Voyons cela: \begin{eqnarray*} \forall(a,x,y)\in G^{2}:f_{a}(xy) & = & a^{-1}xya\\ & = & a^{-1}xeya\\ & = & a^{-1}xaa^{-1}ya\\ & = & f_{a}(x)f_{a}(y)\text{ CQFD}\end{eqnarray*} La proposition est donc vraie.
- Exercice 6 Soit f un application entre deux groupes (G,\star) et (H,\bullet) qui ont respectivement e et h comme éléments neutres: f:\, G \longrightarrow H On appelle noyau de f le sous-ensemble des éléments de G qui ont h comme image: ker(f)=\{x\in G:\, f(x)=h\} Montrer que ker(f) est un sous-groupe de G, puis montrer que f est bijective ssi ker(f)={e}
- Corrigé 6 [Bientôt...]
L'ensemble des éléments symétrisables d'un groupe est un sous-groups
Dans cette séance on a entamé la 2nde fiche TD qui concerne les groupes
On a découvert la notion de stabilité par rapport à la l.c.i ou par rapport au passage à l'élément inverse, mais d'abord, la définition d'un groupe et d'un sous groupe:
On a découvert la notion de stabilité par rapport à la l.c.i ou par rapport au passage à l'élément inverse, mais d'abord, la définition d'un groupe et d'un sous groupe:
- Groupe Un ensemble G muni d'une loi de composition \star forment un groupe (noté (G,\star)) ssi:
- \star est une l.c.i
- \star est associative
- \star admet un élément neutre e
- Chaque élément de G est symétrisable (càd qu'il admet un élément symétrique) par rapport à \star
- \star est une l.c.i
- Sous-groupe Soit (G,\star) un groupe et H une partie de G (H \subset G), on dit que H est un sous-groupe si lui-même forme un groupe quand il est muni de la restriction de la l.c.i \star, en d'autres termes, ssi:
- H \not= \emptyset
- \forall a,b \in H: a\star b \in H
- \forall a \in H: a^{-1} \in H
- H \not= \emptyset
- En premier lieu bien sûr en mathématique où ils permettent par exemple de résoudre des équations différentielles
- Leur utilisation la plus spectaculaire est sans doute dans la physique moderne, en effet, les groupes permettent de mettre en lumière des symétries qui existent dans notre univers, de la plus petite particule aux galaxies, la théorie des groupes a permit des classifier les particules, de mettre à nu des symétries de l'espace-temps, de faire des progrès grandioses dans la nano-technologie, ...etc
- On peut utiliser les groupes en économie!
- On peut utiliser les groupes en sociologie!
- On peut même utiliser les groupes en psychologie!
- etc...
- Exercice 1 Soit G un ensemble muni d'une l.c.i notée \star vérifiant les conditions suivantes:
- \forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (z \star y)
- Il existe un élément neutre à gauche
- Chaque élément admet un symétrique à gauche
- \forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (z \star y)
- Corrigé 1 Que doit-on démontrer? On doit démontrer les quatre conditions pour que G soit un groupe qui sont:
- \star est une l.c.i
- \star est associative
- \star admet un élément neutre e
- Chaque élément de G est symétrisable (càd qu'il admet un élément symétrique) par rapport à \star
- Il existe un élément neutre e à gauche
- \forall x \in G : e \star x = x
- Chaque élément admet un symétrique à gauche
- \forall x \in G : \exists x^{-1} \in G , x^{-1} \star x = e
Mais on a besoin de montrer qu'il existe un élément neutre pas seulement à gauche, mais à gauche et à droite, et on a aussi besoin de montrer qu'il existe un élément symétrique pour chaque élément de G pas seulement à gauche, mais à gauche et à droite, c'est à dire qu'on a besoin de montrer que:
BLOC 2- Il existe un élément neutre e
- \forall x \in G : e \star x = x = x \star e
- Chaque élément admet un symétrique
- \forall x \in G : \exists x^{-1} \in G , x^{-1} \star x = e = x \star x^{-1}
On voit bien que pour arriver à passer du BLOC 1 au BLOC 2 il suffit de montrer que \star est commutative! D’ailleurs c'est demandé dans la question: Montrer que (G,\star) est un groupe commutatif. On remarque aussi que si \star est commutatif, la donnée 1. de l'exercice devient de fait l'associativité, car on peut interchanger z et y \forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (z \star y) \iff \forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (y \star z) Alors, on a bien compris que le seul but qu'on a maintenant, c'est de montrer que \star est commutative, càd de montrer que: \forall x,y \in G: x \star y = y \star x À partir de quelle relation donnée (dans l'exercice) on peut dériver cette relation? Il n'y a qu'un seule, c'est forcément elle qu'on doit utiliser, c'est: \forall (x,y,z) \in G^{3} : (x \star y) \star z = x \star (z \star y) et il faut arriver à: \forall x,y \in G: x \star y = y \star x Le problème c'est que dans l'une, on a 3 éléments qui apparaissent et dans l'autre seulement deux, il faut donc éliminer un élément, on a essayé dans la séance d'éliminer en composant (à gauche) avec les symétriques, ça n'a pas marché. On a alors réfléchis à cette question:
J'ai trois éléments x,y,z et je veux éliminer un (sans passer par la composition avec le symétrique)
Deux étudiants (de deux groupes différents) m'ont proposé de mettre l'un des élément égale à 1 ou 0 (l'un a dit 1 puis 0 et l'autre à dit le contraire ce que j'ai trouvé très marrant :-)), l'idée est bonne, mais elle n'est pas générale, car il ne faut pas oublier que ces élément x,y,z peuvent être n'importe quoi, des nombres, des ensembles, des planètes, des humains, ...etc. Alors que représentent vraiment les 1 et 0? Ce sont les éléments neutres des l.i.c \times et + respectivement, mais là on a une l.c.i quelconque, donc la réponse est:
Mettre l'un des éléments égale à l'élément neutre e
Maintenant la question est: lequel mettre égale à e, vous pouvez tester les 3 si vous voulez et voir lequel va vous donner le résultat escompté, mais si vous réfléchissez juste un peu, vous remarquerez que pour le moment e est élément neutre seulement à gauche, il ne peut donc agir qu'à gauche, donc il faut mettre égale à e l'élément qui est le plus à gauche des x,y,z dans la relation 1. de l'exercice, càd mettre (fixer) x=e: \forall(y,z)\in G^{2}:(e\star y)\star z=e\star(z\star y)\iff\forall(y,z)\in G^{2}:y\star z=z\star y Remarquez bien que e agit ici à gauche, sinon on n'aurait pas pu le faire disparaître. Remarquez aussi que puisqu'on a fixé x, elle n'apparaît plus dans le \forall.
Pourquoi on a le droit de choisir x comme on veut dans cette relation, parce que cette relation dit précisément quel que soit x (\forall x).
On a donc réussit à montrer que \star est commutative, de ce faite les relations données dans l'exercice se transforment en les relations définissant le groupe, et G devient un groupe commutatif ou aussi appelé un groupe Abélien.
- \star est une l.c.i
- Exercice 2 Soit M un ensemble muni d'une l.c.i notée multiplicativement, associative et admettant un élément neutre noté e. En désignant par U l'ensemble des éléments symétrisables de M, montrer que la restriction de la l.c.i à U lui confère une structure de groupe.
- Corrigé 2 D'abord lisons bien l'énoncé:
- Notée multiplicativement veut simplement dire qu'on va noter cette loi par \times ay lieu de la traditionnelle \star, ça n'a pas grande importance.
- On remarque que cette loi:
- est une l.c.i
- est associative
- admet un élément neutre
- est une l.c.i
- \times est une l.c.i
- \times est associative
- \times admet un élément neutre
- tout les élément sont symétrisables par rapport à \times
- Est-ce que \times est une l.c.i? U est le sous-ensemble des éléments symétrisables, la question est donc: si je prend deux éléments a et b de U, donc symétrisables (a^{-1} et b^{-1} existent), est-ce-que (a \times b) est aussi symétrisable? La réponse est oui, on l'a démontré dans la fiche TD numéro 1, on a montré que si a et b sont symétrisables, (a \times b) le sera aussi et son symétrique est: (a \times b)^{-1}=b^{-1} \times a^{-1} Donc \times est bien une l.c.i dans U
- Est-ce que \times est associative? On sait (énoncé de l'exercice) qu'elle est associative dans M, cette associativité se translate naturellement en une associativité dans U car: \forall (x,y,z) \in M^{3}: (x \times y) \times z = x \times (y \times z) \;\;\;\Longrightarrow \forall (x,y,z) \in U^{3}: (x \times y) \times z = x \times (y \times z) Donc \times est associative dans U
- Est ce que \times admet un élément neutre? le seul élément susceptible d'être un élément neutre pour les éléments de U est l'élément neutre de \times dans M, car les éléments de U sont avant tout des éléments de M aussi, donc la question est: est-ce que l'élément neutre e (de \times dans M) se trouve à l'intérieur de U ? La réponse est oui, parce qu'il est symétrisable (son symétrique est lui même car e \times e = e donc e^{-1} = e). On a donc montré que l’élément neutre se trouve dans U.
- Est-ce que tout les éléments de U sont symétrisables? bien sûr que oui, car la définition même de U est qu'il englobe tout les éléments symétrisables
- Notée multiplicativement veut simplement dire qu'on va noter cette loi par \times ay lieu de la traditionnelle \star, ça n'a pas grande importance.
- Exercice 3 Soit (\mathcal{F}(E),\circ) l'ensemble des applications de E dans lui-même. Quel est l'ensemble de ses éléments inversibles?
- Corrigé 3 Cet exercice ressemble au précédent (\mathcal{F}(E) est l'ensemble des applications de E vers E), suivez bien:
- \circ est une l.c.i dans \mathcal{F}(E), en effet si on compose deux applications f et g, on obtient aussi une application f \circ g
- Il est facile de montrer que \circ est associative, en effet si on a trois applications f, g et h: \forall (f,g,h) \in \mathcal{F}(E)^{3}: (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) [démontrez ça]
- Cherchons l'élément neutre:
Soit e l'élément neutre dans \mathcal{F}(E) (il faut garder en tête que e est une application), sa définition est: \forall f \in \mathcal{F}(E): f \circ e = e \circ f = f Appliquons par exemple f \circ e = f sur un élément x de E (car il ne faut pas oublier que les deux parties de cette égalité sont de applications de E vers E, donc elle s'appliquent sur des éléments de E): \begin{eqnarray*} (f\circ e)(x)=f(x) & \iff & f[e(x)]=f(x)\\ & \iff & e(x)=x\end{eqnarray*} Donc e est l'application qui fait correspondre à chaque élément l'élément lui-même, on l'appelle l'application identité et on la note usuellement par \mathbb{I} ou Id...etc
Donc l'application identité est l'élément neutre de la l.c.i \circ dans \mathcal{F}(E)
- \circ est une l.c.i dans \mathcal{F}(E), en effet si on compose deux applications f et g, on obtient aussi une application f \circ g
Distributivité, l.c.i, élément inverse
Le thème de la séance tournait autour de:
- La distrributivité
- La confusion que font les étudiants en ce qui concerne l'élément symétrique a^{-1}
- La l.c.i vue comme une application
- Distributivité vous trouverez la définition dans le billet précédant, j'ai parlé dans le cours de comment savoir écrire la distributivité d'une loi \star sur une loi \nabla en copiant à partir de ce qu'on sait déjà, à savoir la distributivité de la loi \times sur la loi +: \forall a,b,c \in E: (a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c) Regardez bien, on dit que c'est \times qui est distributive parce que c'est elle qui a été distribuée (on la retrouve deux fois dans le second membre de l'équation)
En suivant donc cette règle la distributivité de la loi \star sur la loi \nabla s'écrit: \forall a,b,c \in E: (a \nabla b) \star c = (a \star c) \nabla (b \star c) Attention, si la loi n'est pas à priori commutative, il faudra aussi tester: \forall a,b,c \in E: c \star (a \nabla b) = (c \star a) \nabla (c \star b)
- Grave confusion à propos de a^{-1} Alors j'ai été surpris de voir que tous les étudiants (sans exception) croient que [FAUX] a^{-1} = \frac{1}{a} [FAUX]!!! Alors que c'est faux! a peut être n'importe quoi (pas forcément un nombre), si a est un ensemble, croyez vous qu'on peut écrire \frac{1}{un\;ensemble}?? Impossible!
Alors, s'il vous plait je ne veux plus revoir cette bêtise.
a^{-1} n'a qu'une seule et unique définition, et c'est: Définition a^{-1} est l'élément inverse de l'élément a par rapport à la l.c.i \star qui a e comme élément neutre ssi: a^{-1} \star a = a \star a^{-1} = e
- La l.c.i vue en tant qu'application maintenant on va voir qu'on peut imaginer une l.c.i d'une autre manière, on peut la voir comme une application, par exemple ne plus voir 4+5=9 mais une certaine application qu'on note + et qui donne +(4,5)=9
Bon, maintenant, qu'est ce que c'est qu'une application? En fait c'est la même chose qu'une fonction, sauf qu'on réserve le terme fonction seulement quand il s'agit de nombres, vous connaissiez les fonctions qui prennent un seul argument x notées f(x), mais il existe des fonctions qui peuvent prendre plusieurs arguments, par exemple deux arguments f(x,y).
Par exemple ici +(4,5)=9 on peut l'appeler application ou fonction, c'est comme on veut car 4 et 5 sont des nombres. Mais si par exemple j'ai la l.c.i intersection: \{3,4,5\} \cap \{1,4,5,10\} = \{4,5\} Je peux la voir comme ceci: \bigcap\;(\{3,4,5\},\{1,4,5,10\}) = \{4,5\} Mais on ne peut plus l'appeler fonction mais application, car il ne s'agit plus de nombres mais d'ensembles. Voila comment on peut voir une application, je donne quand même sa définition mathématique rigoureuse:
Définition Une application de l'ensemble E vers l'ensemble F est une relation entre ces deux ensembles, qui fait correspondre à chaque élément de E un seul élément de F.
Voici quelques exemples pour bien voir ce qu'est une application:
- Cardinal de l'ensemble \mathcal{A}(E,F) des applications on peut avoir plusieurs applications différentes entre deux ensembles, par exemple si j'ai les deux ensembles E et F suivants:
On peut avoir un application A_{1} entre les deux comme ceci:
Comme on peut avoir une autre application A_{2} comme celle ci:
Par exemple on a A_{1}(A)= D,\;A_{1}(B)= D,\;A_{1}(C)= E
On peut savoir combien il y'a de telles applications, le nombre d'applications différentes est par définition le nombre d'éléments dans l'ensemble \mathcal{A}(E,F) des applications, c'est à dire que le nombre des applications différentes est card(\mathcal{A}(E,F)), on sait à quoi il est égale, il est égale à: card(\mathcal{A}(E,F)) = card(F)^{card(E)} Ici ça donne: card(\mathcal{A}(E,F)) = 2^{3} = 8 On peut le vérifier explicitement:
Si vous n'avez pas encore compris ce que veut dire l'ensemble des applications entre E et F \mathcal{A}(E,F) voila une expression explicite: \mathcal{A}(E,F) = \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6},A_{7},A_{8}\} C'est à dire que les éléments sont des applications, si vous n'avez toujours pas compris, voila à quoi ressemble \mathcal{A}(E,F):
On voit bien qu'il y a 8 éléments, ce qui correspond bien à ce qu'on a trouvé: card(\mathcal{A}(E,F)) = 2^{3} = 8
- Exercice 4 Considérons la l.c.i \star définie dans E associative et admettant un élément neutre. Montrer que si a et b sont symétrisables, il en sera de même pour (a \star b) et qu'on aura (a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}.
- Correction 4 Bon, voyons tout d'abord ce que sont les données de l'exercice:
- On a une l.c.i \star définie dans E
- Elle est associative
- Elle admet un élément neutre, on va l'appeler e
- Deux éléments a et b sont symétrisables, c'est à dire qu'il admettent des éléments symétriques qu'on va noter (comme d'habitude) a^{-1} et b^{-1} qui vérifient: a^{-1} \star a = a \star a^{-1} = e b^{-1} \star b = b \star b^{-1} = e
- On a une l.c.i \star définie dans E
- Exercice 5 La l.c.i définie sur \mathbb{R} par a \star b = \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}} est-elle distributive pour la multiplication? Etudier l'inverse.
- Correction 5 pour que la l.c.i \star soit distributive pour la \times il faut qu'on ait: \forall a,b,c \in \mathbb{R}: (a\times b)\star c=(a\star c) \times (b\star c) et \forall a,b,c \in \mathbb{R}: c\star(a\times b)=(c\star a)\times(c\star b) Mais, on remarque que la l.c.i \star est commutative, en effet: \forall a,b \in \mathbb{R}: a\star b=\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}=\sqrt[3]{b^{3}+a^{3}}=b\star a On voit que la source de cette commutativité est la commutativité de l'addition +.
Donc, on n'a pas besoin de démontrer les deux, démontrer seulement une est suffisant (je n'ai pas précisé ce point en cours). Donc essayons de démontrer le premier par exemple, le premier membre est égale à: \begin{eqnarray*} c\star(a\times b) & = & \sqrt[3]{c^{3}+(a\times b)^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{c^{3}+a^{3}b^{3}}\end{eqnarray*} Quand au deuxième membre, il vaut: \begin{eqnarray*} (c\star a)\times(c\star b) & = & \sqrt[3]{c^{3}+a^{3}}\times\sqrt[3]{c^{3}+b^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{(c^{3}+a^{3})\times(c^{3}+b^{3})}\\ & = & \sqrt[3]{c^{6}+a^{3}c^{3}+c^{3}b^{3}+a^{3}b^{3}}\end{eqnarray*} On voit bien qu'ils ne sont pas égaux, donc la l.c.i \star n'est pas distributive pour la l.c.i \times.
Étudions maintenant l'inverse, est-ce que la l.c.i \times est distributive pour la l.c.i \star? C'est à dire est-ce qu'on a la relation suivante: \forall a,b,c\in\mathbb{R}:(a\star b)\times c=(a\times c)\star (b\times c) Le premier membre est égale à: \begin{eqnarray*} (a\star b)\times c & = & \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}\times c\\ & = & \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}\times\sqrt[3]{c^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})\times c^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{a^{3}c^{3}+b^{3}c^{3}}\end{eqnarray*} Le second membre vaut: \begin{eqnarray*} (a\times c)\star(b\times c) & = & \sqrt[3]{(ac)^{3}+(bc)^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{a^{3}c^{3}+b^{3}c^{3}}\end{eqnarray*} On voit donc que les deux membres sont égaux, cela veut dire qu’effectivement, la loi \times est distributive pour la loi \star.
- Exercice 2 Combien peut-on définir de l.c.i différentes dans un ensemble E à n éléments? Dans le cas particulier E=\{a,b\} écrire les tables des lois commutatives.
- Correction 2 Si on voit une l.c.i \star comme une application de E \times E vers E, au lieu d'écrire: a\star b = c On écrit: \begin{eqnarray*} \star:E\times E & \to & E\\ (a,b) & \mapsto & \star(a,b)=c\end{eqnarray*} Le nombre de l.c.i possibles est donc le même que le nombre d'applications possibles entre E\times E et E, c'est à dire sera égale à: \begin{eqnarray*} card(\mathcal{A}(E\times E,E)) & = & card(E)^{card(E\times E)}\\ & = & card(E)^{card(E)\times card(E)}\\ & = & card(E)^{card(E)^{2}}\\ & = & n^{n^{2}}\end{eqnarray*} Pour le cas E=\{a,b\} on aura alors 2^{2^{2}}=16 l.c.i donc 16 tables de lois, donc 8 tables de lois commutatives, voici un exemple de table:
\star a b a a b b b b - Exercice 6 Vérifier que les deux l.c.i \cup et \cap sont distributives l'une par rapport à l'autre dans \mathcal{P}(E)
- Corrigé 6 \cup est distributive par rapport à \cap si et seulement si: \forall S_{1},S_{2},S_{3}\in\mathcal{P}(E):\;(S_{1}\cap S_{2})\cup S_{3}=(S_{1}\cup S_{3})\cap(S_{2}\cup S_{3}) Pas la peine de montrer: \forall S_{1},S_{2},S_{3}\in\mathcal{P}(E):\; S_{3}\cup(S_{1}\cap S_{2})=(S_{3}\cup S_{1})\cap(S_{3}\cup S_{2}) Parce qu'on sait déjà que \cup est commutative. Donc on se propose de montrer la première relation, il faut bien savoir qu'ici il s'agit d'ensembles, et pour montrer que deux ensembles E et F sont égaux il faut montrer que E \subset F et F \subset E, maintenant, pour montrer que E \subset F il faut montrer que: x \in E \Rightarrow x \in F Et pour montrer l'inverse il faut montrer que: x \in F \Rightarrow x \in E C'est à dire qu'il faut montrer l'équivalence: x \in E \iff x \in F Essayons de montrer cette équivalence: \begin{eqnarray*} x\in(S_{1}\cap S_{2})\cup S_{3} & \iff & x\in(S_{1}\cap S_{2})\vee x\in S_{3}\\ & \iff & [x\in S_{1}\wedge x\in S_{2}]\vee x\in S_{3}\\ & \iff & [x\in S_{1}\vee x\in S_{3}]\wedge[x\in S_{2}\vee x\in S_{3}]\\ & \iff & x\in(S_{1}\cup S_{3})\wedge x\in(S_{2}\cup S_{3})\\ & \iff & x\in(S_{1}\cup S_{3})\cap(S_{2}\cup S_{3})\end{eqnarray*} Tout est question de logique, dire que x \in E \cup F c'est la même chose que dire que x appartient à (\in) E ou (\vee) à F. Dans la troisième ligne on a utilisé le fait que \vee (ou) est distributive par rapport à \wedge (et), en effet, si P_{1}, P_{2} et P_{3} sont trois propositions logiques on a: (P_{1}\wedge P_{2})\vee P_{3}=(P_{1}\vee P_{3})\wedge(P_{2}\vee P_{3}) De telles égalités logiques n'ont même pas besoin d'être démontrées, on peut les comprendre juste avec l’esprit, par exemple:
- P_{1} = (je\;mets\;ma\;chemise\;bleue)
- P_{2} = (je\;mets\;mon\;pantalon\;bleu)
- P_{3} = (je\;ne\;sors\;pas)
- Je mets ma chemise bleue et mon pantalon bleu, ou alors je ne sors pas
- Je mets ma chemise bleue ou alors je ne sors pas, et aussi, je mets mon pantalon bleu ou alors je ne sors pas.
- P_{1} = (je\;mets\;ma\;chemise\;bleue)
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