Distributivité, l.c.i, élément inverse

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Le thème de la séance tournait autour de:

• La distrributivité
  
• La confusion que font les étudiants en ce qui concerne l'élément symétrique $a^{-1}$
  
• La l.c.i vue comme une application

Quelques rectifications sont donc nécessaires:

• Distributivité vous trouverez la définition dans le billet précédant, j'ai parlé dans le cours de comment savoir écrire la distributivité d'une loi $\star$ sur une loi $\nabla$ en copiant à partir de ce qu'on sait déjà, à savoir la distributivité de la loi $\times$ sur la loi $+$: $$ \forall a,b,c \in E: (a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c) $$ Regardez bien, on dit que c'est $\times$ qui est distributive parce que c'est elle qui a été distribuée (on la retrouve deux fois dans le second membre de l'équation)
  En suivant donc cette règle la distributivité de la loi $\star$ sur la loi $\nabla$ s'écrit: $$ \forall a,b,c \in E: (a \nabla b) \star c = (a \star c) \nabla (b \star c) $$ Attention, si la loi n'est pas à priori commutative, il faudra aussi tester: $$ \forall a,b,c \in E: c \star (a \nabla b) = (c \star a) \nabla (c \star b) $$
  
• Grave confusion à propos de $a^{-1}$ Alors j'ai été surpris de voir que tous les étudiants (sans exception) croient que [FAUX] $a^{-1} = \frac{1}{a}$ [FAUX]!!! Alors que c'est faux! $a$ peut être n'importe quoi (pas forcément un nombre), si $a$ est un ensemble, croyez vous qu'on peut écrire $\frac{1}{un\;ensemble}$?? Impossible!
  Alors, s'il vous plait je ne veux plus revoir cette bêtise.
  $a^{-1}$ n'a qu'une seule et unique définition, et c'est: Définition $a^{-1}$ est l'élément inverse de l'élément $a$ par rapport à la l.c.i $\star$ qui a $e$ comme élément neutre ssi: $$a^{-1} \star a = a \star a^{-1} = e$$
  
• La l.c.i vue en tant qu'application maintenant on va voir qu'on peut imaginer une l.c.i d'une autre manière, on peut la voir comme une application, par exemple ne plus voir $4+5=9$ mais une certaine application qu'on note $+$ et qui donne $+(4,5)=9$
  Bon, maintenant, qu'est ce que c'est qu'une application? En fait c'est la même chose qu'une fonction, sauf qu'on réserve le terme fonction seulement quand il s'agit de nombres, vous connaissiez les fonctions qui prennent un seul argument $x$ notées $f(x)$, mais il existe des fonctions qui peuvent prendre plusieurs arguments, par exemple deux arguments $f(x,y)$.
  Par exemple ici $+(4,5)=9$ on peut l'appeler application ou fonction, c'est comme on veut car $4$ et $5$ sont des nombres. Mais si par exemple j'ai la l.c.i intersection: $$\{3,4,5\} \cap \{1,4,5,10\} = \{4,5\}$$ Je peux la voir comme ceci: $$\bigcap\;(\{3,4,5\},\{1,4,5,10\}) = \{4,5\}$$ Mais on ne peut plus l'appeler fonction mais application, car il ne s'agit plus de nombres mais d'ensembles. Voila comment on peut voir une application, je donne quand même sa définition mathématique rigoureuse:
  Définition Une application de l'ensemble $E$ vers l'ensemble $F$ est une relation entre ces deux ensembles, qui fait correspondre à chaque élément de $E$ un seul élément de $F$.
  Voici quelques exemples pour bien voir ce qu'est une application:
  
  
• Cardinal de l'ensemble $\mathcal{A}(E,F)$ des applications on peut avoir plusieurs applications différentes entre deux ensembles, par exemple si j'ai les deux ensembles $E$ et $F$ suivants:
  
  On peut avoir un application $A_{1}$ entre les deux comme ceci:
  
  Comme on peut avoir une autre application $A_{2}$ comme celle ci:
  
  Par exemple on a $A_{1}(A)= D,\;A_{1}(B)= D,\;A_{1}(C)= E$
  On peut savoir combien il y'a de telles applications, le nombre d'applications différentes est par définition le nombre d'éléments dans l'ensemble $\mathcal{A}(E,F)$ des applications, c'est à dire que le nombre des applications différentes est $card(\mathcal{A}(E,F))$, on sait à quoi il est égale, il est égale à: $$card(\mathcal{A}(E,F)) = card(F)^{card(E)}$$ Ici ça donne: $$card(\mathcal{A}(E,F)) = 2^{3} = 8$$ On peut le vérifier explicitement:
  
  Si vous n'avez pas encore compris ce que veut dire l'ensemble des applications entre $E$ et $F$ $\mathcal{A}(E,F)$ voila une expression explicite: $$\mathcal{A}(E,F) = \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6},A_{7},A_{8}\}$$ C'est à dire que les éléments sont des applications, si vous n'avez toujours pas compris, voila à quoi ressemble $\mathcal{A}(E,F)$:
  
  On voit bien qu'il y a 8 éléments, ce qui correspond bien à ce qu'on a trouvé: $$card(\mathcal{A}(E,F)) = 2^{3} = 8$$

Maintenant passons aux corrections:

• Exercice 4 Considérons la l.c.i $\star$ définie dans $E$ associative et admettant un élément neutre. Montrer que si $a$ et $b$ sont symétrisables, il en sera de même pour $(a \star b)$ et qu'on aura $(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$.
  
• Correction 4 Bon, voyons tout d'abord ce que sont les données de l'exercice:
  • On a une l.c.i $\star$ définie dans $E$
    
  • Elle est associative
    
  • Elle admet un élément neutre, on va l'appeler $e$
    
  • Deux éléments $a$ et $b$ sont symétrisables, c'est à dire qu'il admettent des éléments symétriques qu'on va noter (comme d'habitude) $a^{-1}$ et $b^{-1}$ qui vérifient: $$a^{-1} \star a = a \star a^{-1} = e$$ $$b^{-1} \star b = b \star b^{-1} = e$$
  Et on nous demande de montrer que si $a$ et $b$ sont symétrisables il en sera de même pour $(a \star b)$ et qu'on aura: $$(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$$ Commençons la démonstration: Par définition $(a \star b)^{-1}$ vérifie: $$(a \star b)^{-1} \star (a \star b) = e$$ et $$(a \star b) \star (a \star b)^{-1} = e$$ Commençons par la première relation: $$\begin{eqnarray*} (a\star b)^{-1}\star(a\star b)=e & \iff & [(a\star b)^{-1}\star a]\star b=e\\ & \iff & [(a\star b)^{-1}\star a]\star b\star b^{-1}=e\star b^{-1}\\ & \iff & [(a\star b)^{-1}\star a]\star e=b^{-1}\\ & \iff & (a\star b)^{-1}\star a=b^{-1}\\ & \iff & (a\star b)^{-1}\star a\star a^{-1}=b^{-1}\star a^{-1}\\ & \iff & (a\star b)^{-1}\star e=b^{-1}\star a^{-1}\\ & \iff & (a\star b)^{-1}=b^{-1}\star a^{-1}\end{eqnarray*}$$ Dans la première ligne on a utilisé l'associativité de la loi. Dans la deuxième ligne on a composé à droite par $b^{-1}$ (faites attention à l'ordre des éléments car on ne sait pas si cette loi est commutative ou non!). Le reste est claire, remarquez que l'origine de l'inversion des éléments est justement le fait qu'on ait fait attention à l'ordre des éléments! Le deuxième relation se résout de la même façon: $$\begin{eqnarray*} (a\star b)\star(a\star b)^{-1}=e & \iff & a\star[b\star(a\star b)^{-1}]=e\\ & \iff & a^{-1}\star a\star[b\star(a\star b)^{-1}]=a^{-1}\star e\\ & \iff & e\star[b\star(a\star b)^{-1}]=a^{-1}\\ & \iff & b\star(a\star b)^{-1}=a^{-1}\\ & \iff & b^{-1}\star b\star(a\star b)^{-1}=b^{-1}\star a^{-1}\\ & \iff & e\star(a\star b)^{-1}=b^{-1}\star a^{-1}\\ & \iff & (a\star b)^{-1}=b^{-1}\star a^{-1}\end{eqnarray*}$$ Le fait que les deux relations donnent le même résultat $(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$ veut dire que ce résultat est valide, on a donc réussi à répondre à la question.
• Exercice 5 La l.c.i définie sur $\mathbb{R}$ par $a \star b = \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}$ est-elle distributive pour la multiplication? Etudier l'inverse.
  
• Correction 5 pour que la l.c.i $\star$ soit distributive pour la $\times$ il faut qu'on ait: $$\forall a,b,c \in \mathbb{R}: (a\times b)\star c=(a\star c) \times (b\star c)$$ et $$\forall a,b,c \in \mathbb{R}: c\star(a\times b)=(c\star a)\times(c\star b)$$ Mais, on remarque que la l.c.i $\star$ est commutative, en effet: $$\forall a,b \in \mathbb{R}: a\star b=\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}=\sqrt[3]{b^{3}+a^{3}}=b\star a$$ On voit que la source de cette commutativité est la commutativité de l'addition $+$.
  Donc, on n'a pas besoin de démontrer les deux, démontrer seulement une est suffisant (je n'ai pas précisé ce point en cours). Donc essayons de démontrer le premier par exemple, le premier membre est égale à: $$\begin{eqnarray*} c\star(a\times b) & = & \sqrt[3]{c^{3}+(a\times b)^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{c^{3}+a^{3}b^{3}}\end{eqnarray*}$$ Quand au deuxième membre, il vaut: $$\begin{eqnarray*} (c\star a)\times(c\star b) & = & \sqrt[3]{c^{3}+a^{3}}\times\sqrt[3]{c^{3}+b^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{(c^{3}+a^{3})\times(c^{3}+b^{3})}\\ & = & \sqrt[3]{c^{6}+a^{3}c^{3}+c^{3}b^{3}+a^{3}b^{3}}\end{eqnarray*}$$ On voit bien qu'ils ne sont pas égaux, donc la l.c.i $\star$ n'est pas distributive pour la l.c.i $\times$.
  Étudions maintenant l'inverse, est-ce que la l.c.i $\times$ est distributive pour la l.c.i $\star$? C'est à dire est-ce qu'on a la relation suivante: $$\forall a,b,c\in\mathbb{R}:(a\star b)\times c=(a\times c)\star (b\times c)$$ Le premier membre est égale à: $$\begin{eqnarray*} (a\star b)\times c & = & \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}\times c\\ & = & \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}\times\sqrt[3]{c^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})\times c^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{a^{3}c^{3}+b^{3}c^{3}}\end{eqnarray*}$$ Le second membre vaut: $$\begin{eqnarray*} (a\times c)\star(b\times c) & = & \sqrt[3]{(ac)^{3}+(bc)^{3}}\\ & = & \sqrt[3]{a^{3}c^{3}+b^{3}c^{3}}\end{eqnarray*}$$ On voit donc que les deux membres sont égaux, cela veut dire qu’effectivement, la loi $\times$ est distributive pour la loi $\star$.
  
• Exercice 2 Combien peut-on définir de l.c.i différentes dans un ensemble $E$ à $n$ éléments? Dans le cas particulier $E=\{a,b\}$ écrire les tables des lois commutatives.
  
• Correction 2 Si on voit une l.c.i $\star$ comme une application de $E \times E$ vers $E$, au lieu d'écrire: $$a\star b = c$$ On écrit: $$\begin{eqnarray*} \star:E\times E & \to & E\\ (a,b) & \mapsto & \star(a,b)=c\end{eqnarray*}$$ Le nombre de l.c.i possibles est donc le même que le nombre d'applications possibles entre $E\times E$ et $E$, c'est à dire sera égale à: $$\begin{eqnarray*} card(\mathcal{A}(E\times E,E)) & = & card(E)^{card(E\times E)}\\ & = & card(E)^{card(E)\times card(E)}\\ & = & card(E)^{card(E)^{2}}\\ & = & n^{n^{2}}\end{eqnarray*}$$ Pour le cas $E=\{a,b\}$ on aura alors $2^{2^{2}}=16$ l.c.i donc $16$ tables de lois, donc $8$ tables de lois commutatives, voici un exemple de table:
  

  $\star$	$a$	$b$
  $a$	$a$	$b$
  $b$	$b$	$b$

• Exercice 6 Vérifier que les deux l.c.i $\cup$ et $\cap$ sont distributives l'une par rapport à l'autre dans $\mathcal{P}(E)$
  
• Corrigé 6 $\cup$ est distributive par rapport à $\cap$ si et seulement si: $$\forall S_{1},S_{2},S_{3}\in\mathcal{P}(E):\;(S_{1}\cap S_{2})\cup S_{3}=(S_{1}\cup S_{3})\cap(S_{2}\cup S_{3})$$ Pas la peine de montrer: $$\forall S_{1},S_{2},S_{3}\in\mathcal{P}(E):\; S_{3}\cup(S_{1}\cap S_{2})=(S_{3}\cup S_{1})\cap(S_{3}\cup S_{2})$$ Parce qu'on sait déjà que $\cup$ est commutative. Donc on se propose de montrer la première relation, il faut bien savoir qu'ici il s'agit d'ensembles, et pour montrer que deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux il faut montrer que $E \subset F$ et $F \subset E$, maintenant, pour montrer que $E \subset F$ il faut montrer que: $$x \in E \Rightarrow x \in F$$ Et pour montrer l'inverse il faut montrer que: $$x \in F \Rightarrow x \in E$$ C'est à dire qu'il faut montrer l'équivalence: $$x \in E \iff x \in F$$ Essayons de montrer cette équivalence: $$\begin{eqnarray*} x\in(S_{1}\cap S_{2})\cup S_{3} & \iff & x\in(S_{1}\cap S_{2})\vee x\in S_{3}\\ & \iff & [x\in S_{1}\wedge x\in S_{2}]\vee x\in S_{3}\\ & \iff & [x\in S_{1}\vee x\in S_{3}]\wedge[x\in S_{2}\vee x\in S_{3}]\\ & \iff & x\in(S_{1}\cup S_{3})\wedge x\in(S_{2}\cup S_{3})\\ & \iff & x\in(S_{1}\cup S_{3})\cap(S_{2}\cup S_{3})\end{eqnarray*}$$ Tout est question de logique, dire que $x \in E \cup F$ c'est la même chose que dire que $x$ appartient à ($\in$) $E$ ou ($\vee$) à $F$. Dans la troisième ligne on a utilisé le fait que $\vee$ (ou) est distributive par rapport à $\wedge$ (et), en effet, si $P_{1}$, $P_{2}$ et $P_{3}$ sont trois propositions logiques on a: $$(P_{1}\wedge P_{2})\vee P_{3}=(P_{1}\vee P_{3})\wedge(P_{2}\vee P_{3})$$ De telles égalités logiques n'ont même pas besoin d'être démontrées, on peut les comprendre juste avec l’esprit, par exemple:
  • $P_{1} = (je\;mets\;ma\;chemise\;bleue)$
    
  • $P_{2} = (je\;mets\;mon\;pantalon\;bleu)$
    
  • $P_{3} = (je\;ne\;sors\;pas)$
  Le premier membre $(P_{1}\wedge P_{2})\vee P_{3}$ peut être exprimé ainsi:
  • Je mets ma chemise bleue et mon pantalon bleu, ou alors je ne sors pas
  Le deuxième membre $(P_{1}\vee P_{3})\wedge(P_{2}\vee P_{3})$ s'exprime ainsi:
  • Je mets ma chemise bleue ou alors je ne sors pas, et aussi, je mets mon pantalon bleu ou alors je ne sors pas.
  On voit bien que ces deux phrases veulent dire la même chose, elle sont seulement exprimées de manières différentes. On a donc réussi à montrer que: $$\forall S_{1},S_{2},S_{3}\in\mathcal{P}(E):\;(S_{1}\cap S_{2})\cup S_{3}=(S_{1}\cup S_{3})\cap(S_{2}\cup S_{3})$$ Maintenant montrons l'inverse, c'est à dire que $\cap$ est distributive par rapport à $\cup$: $$\forall S_{1},S_{2},S_{3}\in\mathcal{P}(E):\;(S_{1}\cup S_{2})\cap S_{3}=(S_{1}\cap S_{3})\cup(S_{2}\cap S_{3})$$ On peut le faire de la même manière que tout à l'heure: $$\begin{eqnarray*} x\in(S_{1}\cup S_{2})\cap S_{3} & \iff & x\in(S_{1}\cup S_{2})\wedge x\in S_{3}\\ & \iff & [x\in S_{1}\vee x\in S_{2}]\wedge x\in S_{3}\\ & \iff & [x\in S_{1}\wedge x\in S_{3}]\vee[x\in S_{2}\wedge x\in S_{3}]\\ & \iff & x\in(S_{1}\cap S_{3})\vee x\in(S_{2}\cap S_{3})\\ & \iff & x\in(S_{1}\cap S_{3})\cup(S_{2}\cap S_{3})\end{eqnarray*}$$

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